065 đề thi hsg toán 9 2019 2020 tỉnh hà nam

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TOÁN TỈNH HÀ NAM – NĂM HỌC 2019 – 2020 Bài P Cho biểu thức x   x  y 1 y    y x y     x 1 xy  x 1  y  1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị x, y nguyên thỏa mãn P 2 Bài 1) Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn 18a  4b 2013 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm : 18ax  4bx  671  9a 0 3 2) Tìm tất nghiệm nguyên x, y phương trình x  x  x   y Bài 1) Cho p,2 p  hai số nguyên tố lớn Chứng minh p  1là hợp số 2) Giải phương trình : x  x  4 x  3x  2 x  Bài Cho góc xOy có số đo 60 Đường trịn có tâm K nằm góc xOy tiếp xúc với tia Ox M tiếp xúc với tia Oy N Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP 3OM Tiếp tuyến đường tròn  K  qua P cắt tia Oy Q khác O Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN E Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN F 1) Chứng minh MPE ∽ KPQ 2) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp đường tròn 3) Gọi D trung điểm đoạn PQ Chứng minh tam giác DEF tam giác Bài Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1   3  b2  c2  a ĐÁP ÁN Bài 1) ĐK: x 0, y 0, y 1; x  y 0   x  y    x x  y y   xy  x  y   x  y   x   y   x  y   x   y   x  y  x  y  x  xy  y  xy   x  x  1  y  x  1  y  x  1  x    x  y   x   y    x   y  x   y   y   y   y  x y y y x    x  xy  y P    1 y  xy  x y y 2) P 2    x 1 x  y 1 1 x  xy     x 1 y  Do  y 1  Thay vào P ta có y y 2  y  1     x  1  y 1 x  1   x 4  x   0;1;2;3;4  x; y    4;0  ;  2;2   thỏa mãn Bài 1)Th1: a 0  pt (2)  4bx  671 0  671 pt (1)  b 0  x  4b Th2 : a 0   ' 4b  18a  671  9a  4b  6a.2013  162a 2 4b  6a  18a  4b   162a 4b  24ab  54a  2b  6a   16a 0  a, b  Vậy phương trình ln có nghiệm 3  y  x 2 x  3x  2  x      x  y  1 4  2) Ta có: 3 2 15  x    y 4 x  x   x      y  x     16  3 Từ (1) (2)  x  y  x  mà x, y nguyên nên y x   x   y 0    x 1  y 2 Thay y x  vào phương trình ban đầu Bài 1) Do p số nguyên tố lớn nên p có dạng p 3k 1 *) Nếu p 3k   p  6k  3  2k  1  p  hợp số (vô lý) *)Nếu p 3k  1, k 2  p  12k  3  4k  1 Do 4k  7 nên p  hợp số PT  x  3x  4 x x   2 x  3.2) x     2x      x  x x   x    2 x   x  0 x 3    1 2 x  x     x    2 x  0  x x   x 1(tmdk )   x   Bài y Q N E O D K M x P F 1) PK phân giác QPO  MPE KPQ  * OMN  EMP 120  QK phân giác OQP  QKP 1800   KQP  KPQ  Mà 2KQP  2KPQ 180  60 120  QKP 120  EMP QKP  ** Từ  * ,  **  MPE ∽ KPQ( g.g ) 2) Do MPE ∽ KPQ  cmt   MEP KQP Hay FEP FQP  PQEF tứ giác nội tiếp PM PE PM PK MPE ∽ KPQ     PK PQ PE PQ 3) Do Ngoài MPK EPQ  MPK ∽ EPQ  PEQ PMK 90 Suy D tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQEF Vì DEF cân D Ta có: FDP 2FQD OQD; EDQ 2EPD OPQ  FDE 1800   FDP  EDQ  POQ 600 Từ đó, DEF Bài Theo bất đẳng thức Cô si ta có  b 2b nên: b  a  1 b  a  1 a 1 ab  b  a    a    a        b2 b2  2b a 1 ab  b  a    1 1 b Tương tự ta có b 1 bc  c b    2 1 c c 1 ca  a c    3 1 a Cộng vế theo vế  1 ,   ,   ta được: a 1 b 1 c 1 a  b  c  ab  bc  ca   3   * 2 1 b 1 c 1 a 2 Mặt khác : Nên  *   ab  bc  ca   a  b  c  9  a  b  c  ab  bc  ca 0 a 1 b 1 c 1   3  dfcm   a b c 1  b2  c2  a