062 đề thi hsg toán 9 2019 2020 tỉnh khánh hòa

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI MÔN TỐN – TỈNH KHÁNH HỊA – NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1   x2 A  1  x  1  x    x 1   x2 a) Rút gọn biểu thức 2 b) Cho a b số thỏa mãn a  b  a  a b  ab  6b 0 a  4b B b  4a Tính giá trị biểu thức Câu a) Giải phương trình x  x   4  x x   x 2 x  y  b) Giải hệ phương trình :  y 2 y  x Câu a) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình xy  xy  x 32 y 2 b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a  a 3b  b Chứng minh 2a  2b  số phương Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O; R  H điểm di động đoạn OA  H  A  Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt cung nhỏ AB M Gọi K hình chiếu M OB a) Chứng minh HKM 2AMH b) Các tiếp tuyến  O; R  A B cắt tiếp tuyến M  O; R  D, E.OD, OE cắt AB F , G Chứng minh OD.GF OG.DE c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác MAB theo R Câu Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2ab  6bc  2ac 7abc Tìm giá 4ab 9ac 4bc C   a  2b a  4c b  c trị nhỏ biểu thức ĐÁP ÁN Câu a) A      x2  x   x   x2   x2     x2  x   x        x2  x   x      x2    x   2x2  x b)a  a 2b  ab  6b 0   a  2b   a  ab  3b  0 Vì  * a  b   a  ab  3b    *  a 2b a  4b 16b  4b 12b 4 B    b  4a b  64b  63b 21 Vậy Câu t2 t x x   t 2  x  x   x  x    a) Đặt  t  t 4  t  t  2t  0    t 2 Ta phương trình Với  x  x  t   x x       x  2 x  x  16 x  x        x  x  t 2  x x  2     x 3  4 2 x  x  x  x        Với x3  y  x   y  x  y    x  y   xy  x  y  0 b) Từ hệ ta có :  x y   x  y   x  y  0    x  y 2 2     x  y   x; y    0;0  ; 3; ;  3;    x  y  x; y  0;0 ; 1;  ;  1;1            Vậy hệ phương trình có nghiệm :  x; y    0;0  ;    3; ;  3;  ;   1;1 ;  1;  1  Câu a) xy  xy  x 32 y  x  y  1 32 y 32 y  0  x  y  1  y Do nguyên dương nên   y  1 4   y; y  1 1   y  1 U (32)     y  1 16 Vì  y 1; x 8  y 3; x 6  2 b) 2a  a 3b  b   a  b   2a  2b  1 b  * Gọi d ước chung  a  b;2a  2b  1 , d  N *, thì:  a  b  d   a  b   2a  2b  1 d   2a  2b  1 d  b d  bd Mà  a  b  d  ad   2a  2b  d   2a  2b  1 d  1d  d 1 Do  a  b,2a  2b  1 1 Từ  * ta a  b 2a  2b  số phương  2a  2b  số phương Câu a) Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax  O  Ta có : 1 A1  O1  sd AM (1) 2 Có Ax / / MH   OA   A1 M    Tứ giác MHOK nội tiếp  O1 K1 (cùng chắn MH )(3) M  K1  HKM 2AMH Từ (1), (2), (3) ta có: b) Có tứ giác AOMD nội tiếp (4)   A1  sd BM , O1 O2  sd BM 2  A1 O1  AMGO tứ giác nội tiếp (5) Từ (4) (5) ta có điểm A, D, M , G, O nằm đường tròn  G1 D2 D1  OGF ∽ ODE  OG GF   OD.GF OG.DE OD DE c) Trên đoạn MC lấy điểm A ' cho MA ' MA  AMA '  A1 A2  600  BAA '  MAB A ' AC  MB  A ' C  MA  MB MC Chu vi tam giác MAB MA  MB  AB MC  AB 2 R  AB Đẳng thức xảy MC đường kính  O   M điểm cung AM  H trung điểm đoạn AO Vậy giá trị lớn chu vi tam giác MAB 2R  AB AB AO, BC  AI  R   AB R 2 Gọi I giao điểm Giá trị lớn chu vi tam giác MAB   R  AB   R Câu Từ giả thiết : 2ab  6bc  2ac 7abc a, b, c  Chia hai vế cho Đặt abc   1 x  ,y  ,z   a b c C Khi  C   7 c b b  x, y , z   2 z  x  y 7 4ab 9ac 4bc      a  2b a  4c b  c x  y x  z y  z  2x  y   4x  z   y  z   2x  y  4x  z  y  z  2x  y 4x  z yz     x  2y    x  2y       4x  z  Vậy MinC 17  a 2, b c 1   4x  z       yz  y  z   17 17  