057 đề thi hsg toán 9 2019 2020 tỉnh phú thọ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – TỈNH PHÚ THỌ KHỐI – THCS NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu 1) Giải phương trình nghiệm nguyên : x  3xy  y 25 n n 2) Tìm tất số nguyên dương n cho A n.4  7 Câu 2 10  30  2  : 10  2 3 1) Rút gọn biểu thức 2) Cho số thực dương a, b, c, x, y, z khác thỏa mãn x  yz y  zx z  xy   a b c a  bc b  ca c  ab   x y z Chứng minh : A Câu 1) Cho phương trình x  x  m 0 (với m tham số) Tìm m để hệ phương 2 trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 12 8 x3 y  27 18 x3  2 2) Giải hệ phương trình 4 x y  x  y Câu 1) Cho đường tròn  O  đường kính BD 2 R, dây cung AC đường trịn  O  thay đổi ln vng góc cắt BD H Gọi P, Q, R, S chân đường vng góc hạ từ H xuống AB, AD, CD, CB 2 2 a) Chứng minh : HA  HB  HC  HD không đổi b) CMR: PQRS tứ giác nội tiếp 2) Cho hình vng ABCD MNPQ có đỉnh M , N , P, Q thuộc cạnh AB, BC , CD, DA hình vng Chứng minh rằng: MN  NP  PQ  QM S ABCD  AC Câu Cho a, b, c số thực dương CMR : ab bc ca a b c    a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b ĐÁP ÁN Câu 1.1)8 x  3xy  y 25  y  3x   8 x  25 x  25 25  y  y 24 x  40   3x  3x  25   x; y      10;  31 ;   2;   ;  0;    Khi x  ước 1.2) Với n chẵn n 2k A 2k 42 k  32 k  2k  1 k   16k  k  7  2k  17  k 7t   n 14t  14m   m   Với n lẻ, n 2k  A  2k  1 k 1  32 k 1 2k 42 k 1   42 k 1  32 k 1  7  2k 7  k 7t  n 14m  1 m   Vậy n 14m  n 14m  1 n   A7 Câu 2.1) 10  30  2  10  2 2    2   1 51  6 :  51 31 3 2 3  2 42 3  1  1   2 2 x  yz y  zx z  xy 2.2)   a b c a b c a2     x  yz y  xz z  xy x  x yz  y z  bc a  bc  2   1 y z  xy  xz  x yz x  x  y  z  3xyz  Tương tự : b2 ac b  ac    2 y  y xz  x z x z  x y  yz  xy z y  x  y  z  3xyz  c2 ab c  ab    3 z  xyz  x y x y  x z  y z  xyz z  x  y  z  3xyz  Từ  1 ,   ,  3  dfcm Câu 3.1 Để phương trình có nghiệm   ' 0  m  định lý Vi – et ta có:  x1  x2 6   x1.x2  m   2  x1  x2 12  x1  x2 6   x1 x2  m   x  x 2  (*) Mặt khác, áp dụng  x1 4   x1 x2  m  m  8(tmdkxd )  x 2  8 x y  27 18 y  2 3.2) 4 x y  x  y y 0 không nghiệm hệ vế PT (1) cho y , PT (2) cho y Ta có hệ  27 8 x  y 18   4 x  x 1  y y2 Đặt 2 x a  3  y b  Ta có hệ :    x, y    Vậy hệ có nghiệm  ; 3 a  b 18   2 a b  ab   a  b 3  ab 1   3   ;  ;  3      Câu 4.1) A Q P B O H D S R C a) Theo định lý Pytago HA2  HB  AB ; HC  HB BC ; HC  HD CD ; HA2  HD  AD Suy đpcm b) Tứ giác HPBS nội tiếp nên HPS HBS DBC Tứ giác HPAQ hình chữ nhật nên HPQ HAQ CAD CBD Do SPQ HPS  HPQ 2CBD Tương tự : SQR 2DBC Do DBC  BDC 180  SPQ  SRQ 180  Tứ giác PQRS nội tiếp 4.2) A M B I Q N K L D P C Gọi T , K , L trung điểm MQ, MP, NP , theo tính chất đường trung bình trung tuyến tam giác vng ta có: MN  NP  PQ  QM 2  KL  CL  IK  AI  2 AC  dfcm Câu Dự đoán a b c tách mẫu để a  c b  c 2b Ta có áp dụng BĐT  1 1 1 1     9       x  y  z 9 x y z  x y z  x  y  z  ab ab ab  1   ab ab a            1 a  3b  2c  a  c    b  c   2b  a  c b  c 2b   a  c b  c  Tương tự: bc bc bc  1   bc bc b            2 2a  b  3c  a  b    a  c   2c  a  c b  c 2c   a  b b  c  ac ac ac  1   ac ac c            3 3a  2b  c  a  b    b  c   2a  a  b b  c 2a   a  b b  c  Từ  1 ,   ,    ac  bc ab  ac bc  ab a  b  c  a  b  c P      9 a b bc a c  Dấu " " xảy a b c