KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2019 – 2020 TỈNH PHÚ YÊN Bài 3 3 34 9 a) Chứng minh đẳng thức : x 2013 y 2012 1 x y 2012 2013 b) Giải hệ phương trình: Bài Cho hàm số bậc y mx m 1 * (với m tham số) a) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số * tạo với trục tọa độ Oxy tam giác có diện tích b) Chứng minh đồ thị hàm số * qua điểm cố định với giá trị m Bài 3.Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xyz 1 A Tìm giá trị lớn biểu thức 1 3 3 x y y z z x3 Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I điểm cung nhỏ AB ( I không trùng với A B) Gọi M , N , P theo thứ tự hình chiếu điểm I đường thẳng BC , AC , AB a) Chứng minh ba điểm M , N , P thẳng hàng b) Xác định vi trí điểm I để đoạn thẳng MN có độ dài lớn Bài Giải phương trình : x 3 x 12 x x 28 ĐÁP ÁN Bài a) Đặt a a 3 Đẳng thức cần chứng minh tương đương với a a2 a 1 a 1 a a a a 1 9 a 1 Biến đổi vế trái : a a 1 a a 1 a a 1 3 a 1 a a 1 3 a 1 a 1 a a 1 3 a 1 a 1 3 a 1 1 9 a 1 Vậy đẳng thức chứng minh b) Ta thấy x 0 không nghiệm, hệ phương trình tương đương với : 2013 y 2012 x * 2013 y 2012 x t 2013 y 2012 0 t , * t 2013 y y 2013t x y 2013t 2012 0 Đặt y t t y t y 2013 0 y t 2013 t1 1 *) y t t 2013t 2012 0 t2 2012 *) y t 2013 t 2013t 20132 2012 0(VN ) ;2012 2012 x; y 1;1 ; Vậy Bài a) Vì * hàm số bậc nên m 0 Điều kiện để đồ thị * tạo với trục tọa độ Oxy tam giác m 1 Gọi A giao điểm đường thẳng * với trục tung A 0; m 1 nên độ dài OA m Gọi B giao điểm đường thẳng * với trục hoành 1 m 1 m B ;0 OB m m S ABC 2 OA.OB 2 OA.OB 4 2 m 1 4 m m m 2m 4m m 6m 0 m 3 2 2 m m 2m 4m m 2m 0 m Vậy m 1;3 2 b) Gọi M x0 ; y0 điểm cố định thuộc đồ thị * : y0 mx0 m (với m ) x0 1 m y0 1 0 ( với m ) x0 0 x0 y0 0 y0 Vậy đồ thị (*) qua điểm M 1; 1 cố định với số thực Bài Ta có : x y 0 với x, y x xy y xy Mà x, y x y x3 y x y x xy y x y xy Mà x3 y x y xyz x y xy xyz x3 y xy x y z Tương tự chứng minh : y z yz x y z 0, z x zx x y z A 1 xy x y z yz x y z xz x y z A x yz A 1 xyz x y z xyz Vậy Max A 1 x y z 1 Bài N A I P O B M C a) Từ giả thiết ta có : IPA INA 180 IPAN tứ giác nội tiếp IPN IAN (cùng chắn cung IN ) 1 Lại có IPB IMB 90 IPMB tứ giác nội tiếp MPI IBM 180 Vì I O CAI IBM 180 3 4 Từ (2) (3) suy MPI CAI Từ (4) (1) suy MPI IPN CAI IAN 180 Suy M , P, N thẳng hàng b) Tứ giác IPMB tứ giác nội tiếp IBA IMN (cùng chắn cung IP) Tứ giác INAP tứ giác nội tiếp nên INM IAB (cùng chắn cung IP) MN IM IN 1 MN AB BA IB IA Từ (5) (6) suy IMN ∽ IBA M B IAC IBC 900 N A Dấu " " xảy CI đường kính O Vậy MN lớn AB I đối xứng với C qua O Bài x 3 x 12 x x 28 * Điều kiện xác định: 12 x 4 x u; x 12 x v Đặt u v x x 48 x 57 x u v 2 28 x Theo đề ta có uv 28 x (1) 2 2 u v 2uv u v 1 Từ (1) (2) ta có: u v x 12 x x x 31(tm) u v 1 u v u v x 12 x x x 2(tm) S 2; 31