KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TỈNH THÁI NGUYÊN – NĂM HỌC 2019 – 2020 Bài Chứng minh tổng bình phương số nguyên liên tiếp khơng số phương Bài Giải phương trình hệ phương trình sau : a) x x 1 xy z 2 b) yz x 2 xz y 2 Bài 3.Cho ABC có góc nhọn Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC ; R, r theo thứ tự độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp ABC , M , N , P hình chiếu vng góc O AB, BC , AC a) Chứng minh : BN OM BM ON BO.MN b) Đặt ON d1 , OM d , OP d3 Tính R r theo d1 , d , d Bài Lấy số tự nhiên có 2chữ số chia cho số có hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại thương dư 15 Nếu lấy số trừ số tổng bình phương chữ số tạo thành ĐÁP ÁN Bài Gọi số nguyên liên tiếp n 2, n 1, n, n 1, n với n nguyên, dễ thấy n2 tổng bình phương số cho 25 nên khơng thể số phương chia hết cho không chia hết Bài a3 b2 1 (I ) a b a) Đặt a x , b x 0 Ta có: a a 2a 0 a a a 0 a 0 b 1 a 1 b 0 a b 3 Nên phương trình cho có nghiệm x 2;1;10 xy z 2 (1) yz x 2 (2) xz y 2 (3) b) Từ (1), (2) ta có : x y x y z 0 5 Từ (2), (3) ta có: y z x y z 0 Từ (3),(4), (5) ta có hệ : x z x y z 0 y z x y z 0 xz y 2 Để giải hệ trên, ta giải hệ : x z 0 y x 0 ( A) xz y 2 x z 0 x y z 0( B ) xz y 2 y x 0 x y z 0 x y z 0 C x y z 0 D xz y 2 xz y 2 Giải hệ ta nghiệm hệ phương trình : 1;1;1 ; 1; 1; 1 ; 2;0; ; 2;0; ; 2; 2;0 ; 0; 2; ; 0; 2; 2; 2;0 Bài A d2 d3 O d1 M E B P C N a) Ta có BMO BNO 90 OMBN tứ giác nội tiếp Trên BO lấy E cho BME OMN BME ∽ NMO BM NM BM NO BE.NM BE NO Chứng minh tương tự: BN OM OE.MN Cộng theo vế : BM ON BN ON MN BO b) Đặt a, b, c độ dài cạnh BC , AC , AB ABC a c b d1 d R 2 Theo câu a ta có: Áp dụng câu a tam giác OMAP, ONCD ta có: b c a a b c d1 d3 R ; d3 d R 2 2 2 Cộng theo vế : R a b c d1b d 2b d3c d3a d1a d 2c 2 r S ABC a b c d1c d 3b d 2a 2 Mặt khác: Do R r a b c a b c d1 d d3 Hay R r d1 d d3 Bài Gọi số phải tìm ab ( a, b ,1 a, b 9) ab 4.ba 15 (1) 2 Ta có hệ : ab a b (2) Từ (1) ta thấy b 2 4ba 15 4.21 15 ab 99 ab 99 a b 9 không thỏa mãn 1 , Vậy b 1, thay vào (2) ta : a1 a 10a a a 1 a b(ktm) a 10a 0 a 9 ab 91(tm) Vậy số cần tìm 91