047 đề thi hsg toán 9 2019 2020 huyện nghi xuân

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2019 – 2020 – HUYỆN NGHI XUÂN Câu a) Tính giá trị biểu thức : A    14  b) Tìm x, y thỏa mãn : x  y  xy  x  0 Câu 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên : x  y  x y  85 0  P  x  2012    y  2013   z  2014   x , y , z b) Cho số nguyên  S x  y  3z  2013 Chứng minh P chia hết cho 30 S30 Câu Cho số x, y, z khác thỏa mãn:  x  y  z   1 1 4  2 2 2 x y z xyz  1 1    0 x y z P  y 2009  z 2009   z 2011  x 2011   x 2013  y 2013  Tính giá trị biểu thức : Câu a) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I Giao điểm đường trung trực O, trung điểm BC M IO  OM 2 Tính giá trị biểu thức IH  HA b) Cho xOy Một đường thẳng d thay đổi cắt tia Ox, Oy M , N Biết 1  giá trị biểu thức OM ON không đổi đường thẳng d thay đổi Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định Câu a) Cho số x, y, z không âm, không đồng thời thỏa mãn: 1   1 x 1 y  z  P x  y  z  x yz Tìm giá trị nhỏ biểu thức : b) Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện : xy  yz  zx 671 Chứng minh : x y z    x  yz  2013 y  zx  2013 z  xy  2013 x  y  z ĐÁP ÁN Câu a) A    14     51  3 5   13  2  x 0, y   b) DK XD :   x  0; y 0 Xét x 0  y  4(tm) Xét Vậy x  0, y   PT   x y    x  0  x  y 4(tm)  x; y    0;   ;  4;4   Câu a) Phương trình cho tương đương với x 85   y  x  x 85  44 , x    x   ;14 ;24 ;34  Lập luận : x 04  y 85(ktm) x 14   y   84( ktm) x 24   y   71( ktm)  y  18 2  y 20  x 3 x 34   y  18  4     y  18   y 16  x  x; y     3;20  ;   3;20  ;  3;16  ;   3;16   Vậy phương trình có nghiệm ngun  b) Đặt a x  2012, b 2 y  2013, c 3 z  2014  P a  b5  c  Ta có:  S a  b  c Xét P  S  a  a    b5  b    c  c   m5  m  30 , : Ta có: với số ngun m m5  m m  m  1 m  m  1  m  1  m  m  1  m  1  m    m    5m  m  1  m  1 (1) Với số nguyên m m; m  1; m  1; m  2; m  số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 30 Hay m  m  1  m  1  m    m   30 (2) Và m;  m  1 ;  m  1 ;  m   ;  m   tích số nguyên liên tiếp nên chia hết 5m  m  1  m  1 30 (3) Từ (1), (2), (3) suy Với số nguyên m m  m chia hết cho 30 Do P  S  a  a    b5  b    c  c  chia hết cho 30 với a, b, c số nguyên Câu Từ giả thiết ta suy : 4 1 1 1 2 x  y  z         x y z xyz x y z xyz  1 1 1   1 1             x y z  xy yz zx   x y z  1 1 1       2 (1) x y z Mà x y z 1 x yz  2 x  y  z Mặt khác : Từ  1 ,    (2) 1 1     3 x y z xyz Biến đổi:  3   x  y   y  z   z  x  0  x  y 0   z  y 0    z  x 0  x  y  y  z    z  x  x 2013  y 2013  2009  z 2009  P 0 y  z 2011  x 2011  Câu A H K I O B M C a) Ta có: MO / / HA   BC  , OK / / BH   AC   KOM BHA (góc có cạnh tương ứng song song ) MK / / AB (M, K trung điểm BC , AC )  HAB OMK ( góc có cạnh tương ứng song song ) MO MK   AH AB MO MI   , OMI HAI Xét AIH MIO có: AH AI (so le trong) IO IO OM  AIH ∽ MIO      IH IH HA  ABH ∽ MKO   IO OM IO  OM     IH HA2 IH  HA2 IO  OM  IH  OA2 d E x M I N O y D 1    1 b) Giả sử OM ON a ( a số dương cho trước) Lấy điểm D Oy cho OD a OD  ON Vẽ DI / / Ox  I  MN  Lấy E Ox cho OE ID Khi OEID hình bình hành OE OD NI EI NI MI OE 1      1      2 ON OD.OM OD a Ta có: OM ON NM ON NM MN OE OE   1  OE OD a OD Từ (1) (2) suy OM OD.OM không đổi, mà D  Oy, E  Ox nên D; E cố định Mặt khác O cố định OEID hình bình hành nên I cố định Vậy d qau I cố định (đfcm) Câu a) Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức , với a, b, c  R x, y, z  ta có: a b2 c  a  b  c     x y z xyz  * , Dấu " " xảy  a b2  a  b    x , y  x y xy a , b  R Thật vậy, với ta có: 2 (**)   a y  b x   x  y  xy  a  b    bx  ay  0 Áp dụng bất đẳng thức  ** ta có: a b c   x y z (luôn đúng) 2 a b c a b2 c  a  b  c2  a  b  c         x y z x y z xy z x  y  z Dấu " " xảy Áp dụng với a b c 1 ta có: 1    1  1    x 1 y  z  x  y  z  x  y  z   x  y  z  9  x  y  z 3 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho hai số dương … Ta có: P x  y  z   8 x  y  z  x  y  z 1    x yz 9 x yz 8.3 x yz 10 2  9 x yz Dấu " " xảy số x, y, z không âm không đồng thời