KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TỈNH VĨNH PHÚC NĂM 2019 – 2020 Câu a 16 a a 1 a a a a Tìm tất giá trị a) Cho biểu thức : nguyên a để giá trị M số nguyên b) Cho đa thức P x ax bx c thỏa mãn đồng thời điều kiện P x 0 với số thực x b a Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c Q b a M Câu Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau vô nghiệm: x 1 x x m 1 x m 19545 Câu Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh số p cho 60 chia hết Câu 4.Cho đường trịn O có tâm O bán kính R Hai điểm phân biệt B, C cố định nằm O cho BC a R Gọi A điểm thuộc cung lớn BC O , A không trùng với B, C Gọi D chân đường phân giác kẻ từ A tam giác ABC Hai điểm E , F lần lược tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB ADC a) Chứng minh hai tam giác AEO ADC đồng dạng b) Tính diện tích tứ giác AEOF theo a R c) Chứng minh điểm A thay đổi E di chuyển đường thẳng cố định Câu Trên đường tròn cho 21 điểm phân biệt Mỗi điểm tô màu: xanh, đỏ, tím, vàng Giữa cặp điểm nối với đoạn thẳng tô màu: nâu đen Chứng minh ln tồn tam giác có ba đỉnh tơ màu (xanh, đỏ, tím vàng) ba cạnh tô màu (nâu đen) ĐÁP ÁN Câu a 0 a) DKXD : a 4; a 16 M a 16 a a 8 a 16 a 4 a a 1 a a a 8 a a M a a 1 a a a a a 1 a a 1 1 , M a a a a U (5) 1; 4 a 25;9;81 (tm) a b 4ac 0 P ( x ) 0, x R b) Từ với , ta chứng minh c Do đó: b2 b2 a b c 4a 4ab b a b c a b 4a 4a b a 4a b a Lại có: 2 4a 4ab b 16a 8ab b 12a b a 4a b 3 3 4a b a 4a b a 4a b a Vậy Qmin 3 b c 4a Câu x m x m ĐKXĐ: 2 Khi pt de x m 3 x m x m x 2m x m ** Nếu m 1, ** x 1,VN PTVN Nếu m ** x m2 2m , phương trình cho vơ nghiệm nếu: m2 m (1) 2m m2 m (2) 2m m 0 Th1: 1 m 2m m 2 m 2 Th2 : m 2m 6m 2m 5m 0 m 2 Vậy có giá trị m để phương trình vơ nghiệm : 1;0; 2; Câu Trước hết ta dê dàng chứng minh 19545 4m m Ta chứng minh bào m 60 với moi số nguyên tố p số nguyên dương m toán tổng quát: p Thật vậy, ta có: m p m p 1m p 1 A p 1 p 1 p 1 A A Do p lẻ nên p 1; p hai số chẵn liên tiếp suy p 1 p 1 4 1 Lại có : p 1 p p 1 3 mà p không chia hết p 1 p 1 3 Do p không chia hết p có dạng 5k 1;5k 2 2 Nếu p 5k 1 p 25k 10k 5n 2 Nếu p 5k 2 p 25k 20k 5l 1 k , n, l p 5q hay p 1 p 1 p 1 5 3 Từ (1) , (2), (3) 3,5,4 số đôi nguyên tố nên : p 1 p 1 p 1 3.5.4 p 160 4m Vậy p 160(dfcm) Câu AOE AOB ACB a) Trong đường trịn O ta có : Trong đường trịn ADB ta có: 1 1 AEO sd ADB 3600 2.ADB 1800 ADB ADC 2 2 Từ (1) (2) suy AEO ∽ ADC b) Tương tự phần a, AFO ∽ ADB , đó: AEO ADC , AFO ADB AEO ADB 1800 AEOF tứ giác nội tiếp E , F nằm hai phía AO, suy : OE.AB OF AC 3 OE AO AO.CD OE 4 CD AC AC Lại có: OF AO AO.BD OF 5 BD AB AB AO.CD AO.BD S AB AC AEOF AC AB Thay , vào (3) ta : S AEOF S AOE S AOF AB DB 7 AC DC ABC AD Vì phân giác nên ta có : Thế (7) vào (6) ta được: AB AC BD CD 4S AEOF AO. CD BD AO CD BD AC AB CD BD R.a AO. BD CD AO.BC R.a S AEOF (dvdt ) c) Đường trung trực BC cắt cung lớn BC H, cắt cung nhỏ BC K Khi H , K cố định điểm cung tương ứng Gọi M , N tương ứng trung điểm BD, AB suy BNE BME 90 Do B, M , N , E nằm đường trịn đường kính BE BEM BNM BAD sd BKC BHK sd BKC BEM BHK (8) Lại có EM / / HK BC , H , E phía so với BC (9) Kéo dài BE HK H ' BEM BH ' K (10) Từ (8), (9), (10) H H ' B, E , H thẳng hàng nên E BH cố định Câu B E A C F D Vì điểm phân biệt nằm đường trịn nên ba điểm tạo thành tam giác - Có 21 điểm tơ màu, có điểm có màu Giả sử có điểm màu đỏ A, B, C , D, E , F - Nối đoạn AB, AC , AD, AE , AF tơ hai màu nâu, đen có đoạn màu, giả sử AB, AC , AD tô màu đen Xét BCD , xảy hai khả năng: Th1: Nếu cạnh BC , BD, DC tơ màu nâu tam giác BCD có ba đỉnh màu đỏ, ba cạnh màu nâu (thỏa mãn) Th2: Nếu ba cạnh BC , BD, DC có cạnh màu đen, giả sử BC đen, tam giác ABC có ba đỉnh màu đỏ, ba cạnh màu đen (thỏa mãn) Vậy ln có tam giác có ba đỉnh màu ba cạnh màu