027 đề thi hsg toán 9 2019 2020 trường vu lan

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS VU LAN Năm học 2019-2020 Câu  x2  x    x2  x    3x2 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2 2) Cho a, b số thỏa mãn a  b  a  a b  ab  6b 0 Tính giá trị a  4b B b  4a biểu thức Câu 2.Giải phương trình: 3  x 3 1)     x  3 16  x 2 13 2)   3x  x  3x  x  x Câu 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 20 y  xy 150  15 x 2 2) Tìm số nguyên tố p cho số p  1;2 p  3;3 p  số nguyên tố Câu Cho tam giác ABC , M điểm thuộc cạnh BC , qua M kẻ đường thẳng song song với AC , AB Chúng cắt AB, AC tương ứng N , P 1) Gọi O trung điểm NP Chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng MB  2) Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC Q MC Tính tỉ số QB QC 3) Tìm vị trí M để diện tích tam giác MNP có giá trị lớn Câu Cho a; b; c 2 thỏa mãn điều kiện : a  b  c 3 Tính giá trị lớn 3 biểu thức A a  b  c ĐÁP ÁN Câu 1) A  x  x   x   x  x   x   3x 2  x  x    x  3x  x  x    x 2  x  x     x   x  x   x   x  x   x   x  3x    x  x    x  3x    x  1  x   2)a  a 2b  ab  6b3 0   a  2b   a  ab  3b  0  * 2 a  b   a  ab  b    *  a 2b Vì a  4b 16b  4b 12  B    b  4a b  64b  63 21 Vậy biểu thức Câu 1) ĐKXĐ: x 2 3  x  3    x  PT    x     x  x  x   1 16    x  3    x  3     3  16 x  x      Đặt  x  3 t x 2 , ta được: t  3t  16 0  *  *   t  4t    t  16  0  t  t     t    t   0   t    t  t   0  t    x  3 x Vậy x 1   x  x   x   x 1(tm) 13 6     x 1; x  ; x 0  3x  5x  3x  x  x   13   6 2 3x   3x   x x 3x   a x Đặt ta có phương trình: 2) 2 13  6  a 3   a  3  13  a  3 6  a  3  a  3 a  a 3  a   2a  5a  0   a  1  2a   0    a  (tm)  2 a   x     x  x  0(VN ) x Với   x  (tm)  7 a   x     x  11x  0   x  x  (tm)  Với x  ,x  Vậy nghiệm phương trình Câu 1) Ta có: 150  15 x 20 y  xy  xy  15 x 20 y  150  x  y   5  y  25   25   y    10 y  25  x  25 Xét trường hợp sau: 2 y  1 )   10 y  25  x 25  x 10 2 y  25  x 58 (tm) )   (tm)   y 3 10 y  25  x 1  y 15 70   y  10 2 y   2 y  5 x   )    ( ktm) )  74 (ktm) 10 y  25  x  25  y 2 10 y  25  x   x    70  2 y  5 x  )   ( ktm) 10 y  25  x    y 5 Vậy  x; y    10;3 ;  58;15  2 2) Vì p số phương nên p chia cho có số dư 0;1;2;4 Nếu p 7  p7  p 7 2 Khi p  2.7  97 số nguyên tố p  2.7  101 số nguyên tố p  3.7  151 số nguyên tố  p   7 suy trái với đề +)Nếu p chia dư ) Nếu p chia dư  p  1 7 suy trái với đề 2 p  1 7  p +)Nếu chia dư suy trái với đề Vậy p 7 Câu A P N Q B O C M MP / / AN ( gt )    APMN AP / / MN ( gt )  a) Xét tứ giác APMN có: hình bình hành có O trung điểm đường chéo NP nên O trung điểm đường chéo AM Vậy ba điểm A, O, M thẳng hàng b) Theo giả thiết: MB BM BN MN AP AP          MC BC BA AC AC PC QM MN    QM MC QC PC MC QB BM   MB QB   QC Mà c) Kẻ đường thẳng vng góc với MN , AC H , K Ta có: S MNP  S ANMP  S ANMP lớn S ANMP lớn S AMNP 2MN HK MN HK  2 S ANMP MN HK , S ABC  BK AC  S BK AC AC BK ABC Ta có: BM x, MC  y  Đặt  MN x HK y  ;  AC x  y BK x  y S AMNP xy xy 1     S AMNP  S ABC  S MNP  S ABC S ABC  x  y  xy 2 S  S NMP lớn ABC x  y hay M trung điểm BC Câu Vai trò a, b, c nhau, giả sử a b c Ta có: 3a a  b  c 3  a 1 Do a 1   a  1  a   0  a  3a  0 M a  b3  c3 a  b3  c  3b 2c  3bc a   b  c  3 a    a  9a  27 a  27 9  a  3a    9 Vậy giá trị lớn M  a, b, c   2,1,0  hoán vị chúng