ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS VU LAN Năm học 2019-2020 Câu x2 x x2 x 3x2 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2 2) Cho a, b số thỏa mãn a b a a b ab 6b 0 Tính giá trị a 4b B b 4a biểu thức Câu 2.Giải phương trình: 3 x 3 1) x 3 16 x 2 13 2) 3x x 3x x x Câu 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 20 y xy 150 15 x 2 2) Tìm số nguyên tố p cho số p 1;2 p 3;3 p số nguyên tố Câu Cho tam giác ABC , M điểm thuộc cạnh BC , qua M kẻ đường thẳng song song với AC , AB Chúng cắt AB, AC tương ứng N , P 1) Gọi O trung điểm NP Chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng MB 2) Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC Q MC Tính tỉ số QB QC 3) Tìm vị trí M để diện tích tam giác MNP có giá trị lớn Câu Cho a; b; c 2 thỏa mãn điều kiện : a b c 3 Tính giá trị lớn 3 biểu thức A a b c ĐÁP ÁN Câu 1) A x x x x x x 3x 2 x x x 3x x x x 2 x x x x x x x x x x 3x x x x 3x x 1 x 2)a a 2b ab 6b3 0 a 2b a ab 3b 0 * 2 a b a ab b * a 2b Vì a 4b 16b 4b 12 B b 4a b 64b 63 21 Vậy biểu thức Câu 1) ĐKXĐ: x 2 3 x 3 x PT x x x x 1 16 x 3 x 3 3 16 x x Đặt x 3 t x 2 , ta được: t 3t 16 0 * * t 4t t 16 0 t t t t 0 t t t 0 t x 3 x Vậy x 1 x x x x 1(tm) 13 6 x 1; x ; x 0 3x 5x 3x x x 13 6 2 3x 3x x x 3x a x Đặt ta có phương trình: 2) 2 13 6 a 3 a 3 13 a 3 6 a 3 a 3 a a 3 a 2a 5a 0 a 1 2a 0 a (tm) 2 a x x x 0(VN ) x Với x (tm) 7 a x x 11x 0 x x (tm) Với x ,x Vậy nghiệm phương trình Câu 1) Ta có: 150 15 x 20 y xy xy 15 x 20 y 150 x y 5 y 25 25 y 10 y 25 x 25 Xét trường hợp sau: 2 y 1 ) 10 y 25 x 25 x 10 2 y 25 x 58 (tm) ) (tm) y 3 10 y 25 x 1 y 15 70 y 10 2 y 2 y 5 x ) ( ktm) ) 74 (ktm) 10 y 25 x 25 y 2 10 y 25 x x 70 2 y 5 x ) ( ktm) 10 y 25 x y 5 Vậy x; y 10;3 ; 58;15 2 2) Vì p số phương nên p chia cho có số dư 0;1;2;4 Nếu p 7 p7 p 7 2 Khi p 2.7 97 số nguyên tố p 2.7 101 số nguyên tố p 3.7 151 số nguyên tố p 7 suy trái với đề +)Nếu p chia dư ) Nếu p chia dư p 1 7 suy trái với đề 2 p 1 7 p +)Nếu chia dư suy trái với đề Vậy p 7 Câu A P N Q B O C M MP / / AN ( gt ) APMN AP / / MN ( gt ) a) Xét tứ giác APMN có: hình bình hành có O trung điểm đường chéo NP nên O trung điểm đường chéo AM Vậy ba điểm A, O, M thẳng hàng b) Theo giả thiết: MB BM BN MN AP AP MC BC BA AC AC PC QM MN QM MC QC PC MC QB BM MB QB QC Mà c) Kẻ đường thẳng vng góc với MN , AC H , K Ta có: S MNP S ANMP S ANMP lớn S ANMP lớn S AMNP 2MN HK MN HK 2 S ANMP MN HK , S ABC BK AC S BK AC AC BK ABC Ta có: BM x, MC y Đặt MN x HK y ; AC x y BK x y S AMNP xy xy 1 S AMNP S ABC S MNP S ABC S ABC x y xy 2 S S NMP lớn ABC x y hay M trung điểm BC Câu Vai trò a, b, c nhau, giả sử a b c Ta có: 3a a b c 3 a 1 Do a 1 a 1 a 0 a 3a 0 M a b3 c3 a b3 c 3b 2c 3bc a b c 3 a a 9a 27 a 27 9 a 3a 9 Vậy giá trị lớn M a, b, c 2,1,0 hoán vị chúng