028 đề thi hsg toán 9 2019 2020 trường lương thế vinh

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2019-2020 TRƯỜNG THCS LƯƠNG THẾ VINH Bài (4,0 điểm)  x x2 x   1  x  0 A     :   x  x  x  x    x 1 x    x 1   Cho biểu thức  125 x 4  3    3  27  Tính giá trị biểu thức 9 125   27   Bài (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình x  10 x  x  x 6 x  b) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x  y 3xy  Bài (4,0 điểm) x  xy  y P xy  x  y  a) Cho x, y  Tìm GTNN b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà khơng có số ngun tố ? Bài (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD Gọi H K hình chiếu A, B CD a) Khi OAC tam giác đều, giải tam giác ABC b) Chứng minh HC KD c) Chứng minh S AHKB S ABC  S ABD Bài (2,0 điểm) Viết 150 số tự nhiên 1,2,3, ,150 lên bảng Mỗi lần ta xóa hai số thay tổng hiệu chúng Sau số lần cịn lại số Hỏi có số 100 khơng ? ĐÁP ÁN Bài Ta có:  x x2 x   1  A     :  x  1  x  x  x  x    x 1  x 3 x x x 2   x   :    x  x 3 x  x    x  x 1         x   x                  x  1 x  1   x  1 x  1   x  x  1 x x1 x x 1 x Mà:  125 125  125 125 x    3 9 x 4    3   3 9   27 27  27 27   x3  6  x  x  80 x  384 0   x    x  x  96  0 64  x 4  x  0    x 4(tm) x  x  96  x   92  0( ktm )     Thay x 4(tmdk ) vào A, ta được: Bài a) ĐK: x 1 A  1  2 a  x  10 x 0  4a  5b 60 x  Đặt b 4 x  x 0 Khi phương trình trở thành: 20a  10b 4a  5b  30   4a  20a  25    5b  10b   0  a    2a     b  1 0   b 1 2  a  2,  b 1 Với  ta có: 5 25    x  10 x 5 x  10 x     1  x  x 4 x  x 1     x  1     x   tm  2 x  0   x  2x 1 4   x  1 0  Vậy x b) Ta có: x  y 3xy   3x  y 9 xy  27  y   x     x  26    x   y  1 26  3 y  1 y   *)Th1:   ( ktm)  x  26  1  x 26 3 y   *)Th3 :   1  x  26  y 0 (tm)   x 9 3 y  2  y 1 *)Th5 :   (tm)  x  13 x    3 y   13  y  *)Th7 :   (tm)  x  x    3 y  26 *)Th2 :    x    y 9 (tm)  x   25  y  3 y   26  *)Th4 :   ( ktm) 1  x  x   3 y  13  *)TH :    x  ( ktm)  1  x 2 3 y   *)Th8 :    x  13    y  ( ktm)  Vậy  x; y    0;9  ;  9;0  ;   4;1 ;  1;    Bài a) Ta có: x  xy  y  x  y   3xy x  y xy P    xy  x  y  xy  x  y  xy x  y Áp dụng bất đẳng thức Co  si cho hai số dương x, y ta xy x  y 2 xy  xy  Dấu " " xảy x  y Khi xy xy P  2   xy 2 Dấu " " xảy x  y xy Min P   x  y Vậy b) Xét số tự nhiên A 2.3.4.5 2019.2020 Khi A chia hết cho số 2;3;4;5; ;2019;2020 Xét dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp : A  2, A  3, A  4, , A  2019, A  2020 Do A2  A  22  A   nên A  hợp số Do A3  A  33 mà A    A  hợp số Tương tự A  4; A  5; ; A  2019; A  2020 hợp số Vậy dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp A  2, A  3, A  4, , A  2019, A  2020 , khơng có số ngun tố Bài I E D C K F H A N M O P B a) Khi AOC AC OA OC R  AB  BC  AB  AC  4R  R R AC R  sin B     B 300  C 600 AB R b) Kẻ OI  CD  I trung điểm CD OI / / AH / / BK Lại có O trung điểm AB  I trung điểm HK  IH IK ; CI ID  CH DK c) Kẻ EF qua I song song với AB  E  AH , F  BK   EHI FKI (ch  gn)  S AHKB S AEFB IM AB S ACB  S ADB  AB  CN  DP   AB.IM Lại có:  S AKHB S ACB  S ADB Bài Gọi tổng 150 số ban đầu S 1     150    150  150 11325 S ab Giả sử xóa hai số a, b thay a  b a  b ta có tổng : S1  a  b S1  a  b Ta có:  S1  a  b    S  a  b  2S  2a  2b  S1  a  b    S  a  b    S  a  b  2S  2a chắn nên tổng lúc đầu tổng lúc sau ln tính chẵn lẻ mà tổng ban đầu số lẻ nên tổng lúc sau 100