ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2019-2020 TRƯỜNG THCS LƯƠNG THẾ VINH Bài (4,0 điểm) x x2 x 1 x 0 A : x x x x x 1 x x 1 Cho biểu thức 125 x 4 3 3 27 Tính giá trị biểu thức 9 125 27 Bài (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình x 10 x x x 6 x b) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y 3xy Bài (4,0 điểm) x xy y P xy x y a) Cho x, y Tìm GTNN b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà khơng có số ngun tố ? Bài (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD Gọi H K hình chiếu A, B CD a) Khi OAC tam giác đều, giải tam giác ABC b) Chứng minh HC KD c) Chứng minh S AHKB S ABC S ABD Bài (2,0 điểm) Viết 150 số tự nhiên 1,2,3, ,150 lên bảng Mỗi lần ta xóa hai số thay tổng hiệu chúng Sau số lần cịn lại số Hỏi có số 100 khơng ? ĐÁP ÁN Bài Ta có: x x2 x 1 A : x 1 x x x x x 1 x 3 x x x 2 x : x x 3 x x x x 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x1 x x 1 x Mà: 125 125 125 125 x 3 9 x 4 3 3 9 27 27 27 27 x3 6 x x 80 x 384 0 x x x 96 0 64 x 4 x 0 x 4(tm) x x 96 x 92 0( ktm ) Thay x 4(tmdk ) vào A, ta được: Bài a) ĐK: x 1 A 1 2 a x 10 x 0 4a 5b 60 x Đặt b 4 x x 0 Khi phương trình trở thành: 20a 10b 4a 5b 30 4a 20a 25 5b 10b 0 a 2a b 1 0 b 1 2 a 2, b 1 Với ta có: 5 25 x 10 x 5 x 10 x 1 x x 4 x x 1 x 1 x tm 2 x 0 x 2x 1 4 x 1 0 Vậy x b) Ta có: x y 3xy 3x y 9 xy 27 y x x 26 x y 1 26 3 y 1 y *)Th1: ( ktm) x 26 1 x 26 3 y *)Th3 : 1 x 26 y 0 (tm) x 9 3 y 2 y 1 *)Th5 : (tm) x 13 x 3 y 13 y *)Th7 : (tm) x x 3 y 26 *)Th2 : x y 9 (tm) x 25 y 3 y 26 *)Th4 : ( ktm) 1 x x 3 y 13 *)TH : x ( ktm) 1 x 2 3 y *)Th8 : x 13 y ( ktm) Vậy x; y 0;9 ; 9;0 ; 4;1 ; 1; Bài a) Ta có: x xy y x y 3xy x y xy P xy x y xy x y xy x y Áp dụng bất đẳng thức Co si cho hai số dương x, y ta xy x y 2 xy xy Dấu " " xảy x y Khi xy xy P 2 xy 2 Dấu " " xảy x y xy Min P x y Vậy b) Xét số tự nhiên A 2.3.4.5 2019.2020 Khi A chia hết cho số 2;3;4;5; ;2019;2020 Xét dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp : A 2, A 3, A 4, , A 2019, A 2020 Do A2 A 22 A nên A hợp số Do A3 A 33 mà A A hợp số Tương tự A 4; A 5; ; A 2019; A 2020 hợp số Vậy dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp A 2, A 3, A 4, , A 2019, A 2020 , khơng có số ngun tố Bài I E D C K F H A N M O P B a) Khi AOC AC OA OC R AB BC AB AC 4R R R AC R sin B B 300 C 600 AB R b) Kẻ OI CD I trung điểm CD OI / / AH / / BK Lại có O trung điểm AB I trung điểm HK IH IK ; CI ID CH DK c) Kẻ EF qua I song song với AB E AH , F BK EHI FKI (ch gn) S AHKB S AEFB IM AB S ACB S ADB AB CN DP AB.IM Lại có: S AKHB S ACB S ADB Bài Gọi tổng 150 số ban đầu S 1 150 150 150 11325 S ab Giả sử xóa hai số a, b thay a b a b ta có tổng : S1 a b S1 a b Ta có: S1 a b S a b 2S 2a 2b S1 a b S a b S a b 2S 2a chắn nên tổng lúc đầu tổng lúc sau ln tính chẵn lẻ mà tổng ban đầu số lẻ nên tổng lúc sau 100