2 chuyên đề 2 diện tích đa giác

Chuyên đề DIỆN TÍCH ĐA GIÁC TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Các toán chuyên đề bao gồm nhiều dạng: - Dạng Tính tốn chứng minh liên quan đến diện tích hình: Chữ nhật, vuông thang, thoi, tam giác, tứ giác - Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn diện tích hình - Dạng Sử dụng diện tích để chứng minh quan hệ độ dài Bài toán thực tế CHIA BÁNH Tám bạn học sinh cần chia bánh ga – tô thành tám phần, bánh có mặt mặt hai hình lục giác giống Bạn Thành tìm cách chia bốn nhát cắt thẳng qua tâm bánh Bạn Mai lại tìm cách chia bánh thành tá hình thang cân Các bạn chia bánh nào? Giải Bạn Thành cắt bánh hình 12a bốn nhát cắt AD, HF, IM, KN Giải thích: Lục giác có cạnh, chia thành phần nên phần chứa cạnh (trên hình 12a có 3 AH  AB KD  CD 4 , , BI IC ) Do AH HB  BI nên SOAH SOHBI   (Lưu ý góc AOH HOI không nhau, dễ chứng minh AOH  HOI ) B I C B C H C' B' A D O A A' G' F G M a) O E G Hình 12 b) D' E' E D Bạn Mai cắt bánh hình 12b, O tâm lục giác đều, điểm A ', B ', C ', D ', E ', G ' theo thứ tự trung điểm OA, OB, OC, OD, OE, OG I DIỆN TÍCH HÌNH VNG, HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH THANG, HÌNH BÌNH HÀNH, HÌNH THOI Cần nắm vững cơng thức tính diện tích hình nói Có thể tính diện tích hình thoi theo hai cách (Tính theo đáy chiều cao tương ứng tính theo đường chéo) Ví dụ 11 Trong tam giác ABC vng A có BC 2a , đường cao AH, tính diện tích lớn  D  AC , E  AB  hình chữ nhật ADHE A Giải (h.13) x D Đặt AD x, DH  y Gọi M trung điểm BC, S ADHE x  y AH a  xy    2 max S  ta có: E y B H a2  H trùng M C M Hình 13  ABC vng cân A Ví dụ 12 Tính diện tích hình thang vng ABCD có dáy nhỏ AB đường cao, đáy lớn CD 23cm , cạnh bên lớn BC 17cm Giải A B a Kẻ BH  CD Đặt BH  AB HD a, HC b 2 Tacó a  b 23, a  b 17 289 nên 2ab (a  b)  ( a  b ) 232  289 240 , a D ( a  b) a  b  2ab 289  240 49  a  b 7 2 17 a Hình 14 b C H Xét hai trường hợp: Trường hợp a  b 7 (h.14) Từ a  b 23 a  b 7 suy a 15, b 8 A a S ABCD (15  23).15 : 285(cm ) Trường hợp b  a 7 (h.15) B 17 a b a D C H Từ a  b 23 b  a 7 suy a 8, b 15 Hình 15 A S ABCD (8  23).8 : 124(cm ) Ví dụ 13 Hình thoi ABCD có tổng hai đường chéo m x D y O C Hình 16 B a) Biết cạnh hình thoi a, tính diện tích hình thoi b) Tính diện tích lớn hình thoi Giải (h.16) Gọi O giao điểm AC BD Đặt OA  x, OB  y Ta có: OA  OB  AC  BD m x y  2 nên 1 m2 S ABCD  AC.BD  x.2 y 2 xy ( x  y)  ( x  y )   a 2 a) b) S ABCD  m   ( x  y) m2 m2 m 2  2 xy    ; max S   x y  2 8 II DIỆN TÍCH TAM GIÁC, TỨ GIÁC, ĐA GIÁC Khi tính diện tích tam giác, ngồi dùng cơng thức, ta cịn dùng cách so sánh diện tích hai tam giác Cần ý đến số cách so sánh diện tích hai tam giác: - Hai tam giác có đường cao nhau: Nếu ABC A ' B ' C ' có đường cao AH A ' H ' S A ' B 'C ' B ' C '  S BC ABC - Hai tam giác có cạnh nhau: Nếu ABC A ' B ' C ' có BC B ' C ' , AH A ' H ' S A ' B 'C ' A ' H '  S AH ABC đường cao - Hai tam giác có góc (xem Ví dụ 14) Ví dụ 14 (Bổ đề hai tam giác có góc nhau) S A ' B 'C ' A ' B ' A ' C '  A  A ' S AB AC A ' B ' C ' ABC Chứng minh tam giác ABC tam giác có Giải (h.17) Trên tia AB lấy D cho AD  A ' B ' , tia AC lấy E AE  A ' C ' A ' B ' C ' ADE (c.g c)  S A ' B 'C ' S ADE A A (1) C' B' S ADE AD S ABE AE   S AB S AC ABE ABC Ta lại có: S ADE AD AE A ' B ' A ' C '   S AB AC AB AC Nên ABC cho A' B B H CM C Hình 17 (2) E Hình 18 D S A ' B 'C ' A ' B ' A ' C '  S AB AC ABC Từ (1) (2) suy Ví dụ 15 Tính góc tam giác vng, biết diện tích tam giác diện tích hình vng có cạnh cạnh huyền Giải (h.18)   Xét ABC vng A có B C hình vng BCDE Kẻ đường cao AH, trung tuyến AM Ta có 1 BC AH  BC 2 1  AH  BC  AH  AM o    AMH 30  ACB 15O o o Tam giác vuông ABC có góc nhọn 15 75 Ví dụ 16 Trên hình 19, tam giác ABC chia thành sáu tam giác nhỏ ba đoạn thẳng đồng quy O, có ba tam giác có diện tích S, ba tam giác cịn lại có diện tích a, b, c Chứng minh a b c S Giải (h.19) Giả sử a b c (1) A S DOB DO S DOC   S AO S AOC AOB Ta có  F b S aS   b S aS cS cS Do a c nên b S E S c S b (2) B S D C Hình 19 S FOA FO S FOB a S     SCOA CO SCOB cS bS  a S a cS bS Do c b nên a S (3) Từ (1), (2), (3) suy S a b S nên a b S Chứng minh tương tự a c S nên a b c S Ví dụ 17 Cho tam giác ABC có BC a, AC b, AB c , I giao điểm đường phân giác, G trọng o  tâm thỏa mãn AIG 90 a) Gọi r khoảng cách từ I đến AB< AC Gọi m, n khoảng cách từ G đến AB, AC Chứng minh m  n 2r a b c  b) Chứng minh 6bc bc Giải a) (h.20) Gọi M, N theo thứ tự giao điểm IG với AB, AC Ta có: S AGM  S AGN S AMN S AIM  S AIN  1 1 AM m  AN n  AM r  AN r 2 2 Do AM  AN nên m  n 2r A A c m M r r n N G D m G B C Hình 20 B C Hình 21 b) (h.21) CG cắt AB trung điểm D Gọi S diện tích tam giác ABC, p nửa chu vi Ta có: S S c S 4S S AGD  S ACD   AD.m   m   m  6 2 6c Tương tự n S 2S 2S 4S r   p p a  b  c Từ m  n 2r suy 6b Còn 4S S 4S 1 6bc       a b c  6c 6b a  b  c 6c 6b a  b  c bc Ví dụ 18 Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC Gọi I, M theo thứ tự trung điểm DE, BC Đường thẳng qua I song song với AB cắt MD G Đường thẳng qua I song song với AC cắt ME H Chứng minh GH song song với BC Giải (h.22) Ta có ID=IE A  S MID S MIE  S MIG  S DIG  S MIH  S EIH Ta lại có IG / / AB  S DIG S BIG IH / / AC  S EIH SCIH D (1) I (2) E (3) G B H M Hình 22 C Từ (1), (2) (3) suy S MIG  S BIG S MIH  SCIH Ta lại có (4) MB MC  S IMB S IMC (5) Từ (4) (5) suy S MGB  S MHC Ta lại có MB=MC nên khoảng cách từ G từ H đến BC nhau, suy GH / / BC Ví dụ 19 Cho tứ giác ABCD có O giao điểm hai đường chéo.Gọi S1 S2 theo thứ tự diện tích tam giác AOD BOC ( S1 > S2 ).Gọi M, N, I, K theo thứ tự trung điểm AD,AC,BC,BD.Chứng minh S1  S2 diện tích tứ giác MNIK Giải (h.23) A Đặt S ABCD S ,ta có S MNIK S  ( S DKM  S DKIC )  (S ANM  S ANIB ) 1   S   S DAB  S BCD   4  1   S ACD  S ACB  4  1 1  S   S DAB  S BCD  S BCD   4  1 1   S ACD  S ACB  S ACB  4  B N M O I K D C Hình 23 1 1  1  S S   S  S BCD    S  S ACB    ( S BCD  S ACB ) 2 4  4  2 S  S ACB  S BCD S ACD  S BCD S AOD  S BOC S1  S2     2 2 2 Ví dụ 20 Cho ngũ giác ABCDE có AC / / DE , BE / / CD, BD / / AE Biết S ABC 3cm ,SBCD 2cm Tính diện tích ngũ giác Giải (h.24) Gọi I, K theo thứ tự giao điểm BE, BD với AC Ta có AKDE, ICDE hình bình hành nên AK  DE  IC Suy AI  KC B Đặt S BIA  S BKC  x S BIK 3  x S DKC  S BCD  x   x Do BI / / CD nên S DIK  S BKC  x X X A C I S BIK S IK  2x x   DIK  2 x Ta có S BKC KC S DKC nên x E X Hình 24 K D  x 1  x  x  0    x 6,  loai  2 S   x  cm , S  S  cm , S  S  2.2  cm CKD AIE CKD ICDE BCD Suy Vậy S ABCD  S ABC  S ICDE  S AIE 3   8  cm  B Ví dụ 21 Cho tứ giác ABCD Dựng điểm O nằm tứ giác cho SOAB SOCD SOAD SOBC A N Giải (h.25) M Phân tích: Giả sử dựng điểm O cho SOAB  SOCD , SOAD SOBC O C D Hình 25 SOAB  SOAD  SOCD  SOBC  S ( gọi S diện tích tứ giác ABCD)  S ABOD  S  1 S ABD  SOBD  S , mà S ABD không đổi nên Gọi M trung điểm AC, N trung điểm BD Từ (1) suy SOBD không đổi, suy O nằm đường thẳng song song với BD, đường thẳng phải qua M S MAB  S MAD  S Tương tự, O nằm đường thẳng qua N av2 song song với AC Cách dựng: - Qua trung điểm M AC, dựng đường thẳng d1 / / BD ( M  BD d1 BD) Qua trung điểm N BD, dựng đường thẳng d / / AC ( N  AC d AC) - Giao điểm d1 d điểm O phải dựng - Ví dụ 22 Cho tam giác ABC cạnh 4cm Tìm vị rei1 điểm M cạnh BC cho gọi D hình chiếu M AB, gọi E hình chiếu M Ac tứ giác ADME có diện tích lớn Giải (h.26) Đặt S MDB  S1 , S MEC  S2 S ADME lớn  S1  S nhỏ A Đặt MB  x, MC  y x  y 4 Tam giác vuông MDB nửa giác cạnh x nên S1  tam x2 y2 S2  , Tương tự E D S2 S1 B x M Hình 26 y C 3  x  y S1  S2   x  y    8  S1  S2  Xảy đẳng thức  x  y Vậy S ADME lớn 3cm M trung điểm BC BÀI TẬP Diện tích hình vng, hình chữ nhật 25 Tứ giác ABCD có AB a, CD b , hai đường chéo vng góc với Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA Biết S EFGH   a  b Chứng minh ABCD hình thang cân 26 Cho tam giác nhọn ABC, BC a, AC b, AB c , điểm O nằm tam giác Gọi D, E, F theo thứ tự hình chiếu O AB, BC, CA Đặt AD  x, BE  y, CF  z x2  y  x2  a2  b2  c2 a) Chứng minh bất đẳng thức b) Vẽ phía ngồi tam giác ABC hình vng theo thứ tự có cạnh AD, BE, CF Tìm vị trí điểm O để tổng diện tích ba hình vng nhỏ 27 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích S Qua điểm O nằm hình chữ nhật , kẻ hai đường thẳng song song với cạnh hình chữ nhật, chia thành bốn hình chữ nhật nhỏ Gọi diện tích hình chữ nhật nhỏ có đỉnh A S1 , diện tích hình chữ nhật nhỏ có đỉnh C S2 , giả sử S1  S Chứng minh S1  S Diện tích hình thang, hình thoi 28 Tính diện tích hình thang ABCD, biết: a) Hai cạnh đáy 16 cm 44 cm, hai cạnh bên 17 cm 25 cm b) Hai cạnh đáy 10 cm 14 cm, hai cạnh bên 13 cm 15 cm 29 Tính đường cao hình thoi có hai đường chéo m n Diện tích tam giác 30 Cho tam giác ABC có B C góc nhọn, BC 20m , đường cao AH 10m Hình chữ nhật MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P Q thuộc cạnh BC a) Tính cạnh hình chữ nhật, biết diện tích 32cm b) Tính diện tích lớn hình chữ nhật 31 Tính diện tích tam giác ABC biết AB 13cm, AC 20cm, BC 21cm 32 Tính diện tích tam giác ABC vng A có chu vi 60 cm, đường cao AH= 12cm 33 Tam giác ABc có B C góc nhọn, đường cao AH, số đo cạnh AB, BC, CA ( đơn vị : cm) ba số tự nhiên liên tiếp tang dần a) Tính hiệu HC – HB b) Tính diện tích tam giác ABC biết AH = 12 cm 34 Tính cạnh góc vng tam giác vng có cạnh số nguyên tố số đo diện tích số đo chu vi 35 Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh Cd, cho AE = CF Gọi I điểm cạnh AD, G H theo thứ tự giao điểm IB IC với EF Chứng minh S BEG  SCFH  S IGH    36 Cho tam giác ABC cân A , điểm O nằm tam giác cho OAC OBA OCB Chứng minh S AOB  SCOB   37 Cho tam giác ABC có AB  AC , đường trung tuyến AM Lấy điểm D cạnh BC cho BAD CAM AB Điểm I đoạn AD Chứng minh tỉ số khoảng cách từ I đến AB AC AC AB  AC  38 Cho tam giác ABc vuông A  có BC 4 AB AC Tính góc C 39 Cho tam giác ABC có AB  AC  BC , đường phân giác AD, đường cao CH Chứng minh CH  AD Hướng dẫn: Lấy E đối xứng với D qua AB Chứng minh DE  AD 40 Cho tam giác ABC có diện tích S, điểm M nằm tam giác Đặt BC a, AC b, AB c a) Ở ngồi tam giác ABC vẽ hình bình hành BCDE cho CD song song AM Chứng minh S AMEB  S AMDC S BCDE b) Chứng minh a.AM  b.BM  c.CM 4S Tìm vị trí M đề xảy đẳng thức Diện tích tứ giác, đa giác 41 Tứ giác ABCD có M trung điểm BC có diện tích gấp đơi diện tích tam giác AMD Chứng minh ABCD hình thang 42 Tứ giác ABCD có AB  CD  AC 8cm có diện tích 8cm a) Chứng minh AB song song với Cd b) Tính AC BD 1 AE  AB, BF  AB 43 Cho tứ giác ABCD có diện tích S Trên cạnh AB lấy điểm E, F cho Trên cạnh CD lấy điểm G, H cho 1 CG  CD, DH  CD Tính diện tích tứ giác S2 A EFGH 44 Cho tứ giác ABCD Các điểm E, F, G, H thoe thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA Kí hiệu S1 , S , S3 , S , S5 hình 27 Chứng minh S1  S2  S3  S  S5 B E S1 F S5 H S3 S4 D G C Hình 27 45 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CA cho AD BE CF   AB BC CA Chứng minh tứ giác ADGF, BEGD, CFGE có diện tích 46 Một đoạn hè đường hình chữ nhật lát gạch hình bát giác hình tam giác vng cân 28 hình minh họa) Biết cạnh bát giác dm số gạch lát viên bát giác 47 Cho tam giác ABC có diện tích S, D trung điểm BC Tính diện tích lớn tam giác DEF với thuộc cạnh AC viên ( hình gạch E Hình 28 LỜI GIẢI, CHỈ DẪN, ĐÁP SỐ Chuyên đề DIỆN TÍCH ĐA GIÁC 25 (h.184) Dể dàng chứng minh EFGH hình vng nên SEFGH  HF Theo đề B SEFGH F E  a  b  nên HF  ab ab HF  (h.185) Xét tứ giác ABCD có Gọi I trung điểm đoạn thẳng AC B A a H A C G D Hình 184 H D F I b Hình 185 C b a ab HI  IF    HF 2 Ta có: Suy điểm I nằm H F, AB // CD Vậy ABCD hình thang Mặt khác, ABCD có hai đường chéo nên hình thang cân 26 (h.186) a) Đặt BD = m, CE = n, AF = p Ta có: A 2 x  m2  x  m  c   Tương tự ta có D y  n2 a2  2 z   p  b Suy ra: 2 a b c B  1 x  y  z2  OA2  OD  OB  OE  OC  OF      m  n  p  OB  OD  OC  OE  OA  OF  Nên suy     O x  y  z2  x  y  z2   z y n E Hình 186 C    2 x  y  z2 m  n  p2 Từ (1) (2) suy ra: b) F m x  y  z2  m  n  p2  Ta lại có: p x a2  b2  c2  x m a2  b2  c2     y n z  p   O giao điểm đường trung trực 27 (h.187) Gọi S3, S4 diện tích hình chữ nhật có đỉnh B, đỉnh D Kí hiệu điểm E, F, G, H hình vẽ G A B S3 S1 E Ta có S1S2 OE.OG.OF.OH S3 S4 OG.OF.OE.OH nên F O S2 S4 S1S2 S3 S4 D Ta có S1 S2  S12 S1S2 S3S4  S1  S3S4  S3  S4  1 H Hình 187 C Mặt khác S1 S2  S1  Từ (1) ( 2) suy S1  S2 S1   2 S1  S2  S3  S4 S  4 28 a) Đáp số : 450 cm2 b) Đáp số : 144cm2 A A B 16 25 25 17 D 28 B 10 E Hình 188 16 C D 15 15 13 E C 10 Hình 189 29 Gọi a cạnh, h chiều cao, S diện tích hình thoi Ta có ah S  mn mn h nên 2a 2  m  n a       4a2 m  n  2a  m  n2    2 Mặt khác h Từ (1) ( 2) suy mn m  n2 30 (h.190) Đặt NP = x, MN = y 1 y  10  x    20  y  x  20.10 2 Ta có SAMN + SBMNC = SABC nên A  y  10  x    20  y  x 200  y 20  x M 10 - x SMNPQ xy  x  20  x  x B a) x  20  x  32 N y Q H P Hình 190 C  x  10 x  16 0   x  8  x   0  x  0  x 2    x  0  x 8 Vậy cạnh hình chữ nhật 8m 4m, 2m 16m b) SMNPQ  x  20  x    x  5  50 50 max SMNPQ 50m  MN đường trung bình tam giác ABC 31 (h 191) Kẻ đường cao AH Đặt HC = x, HB = y, ta có x  y 21 cm  A x  y  AC  AB 20  13 231 2 2 2 x  y 231  x y  11 cm  xy 21 B Từ x 16cm, y 5cm, AH 12cm, SABC 126cm x C y H Hình 191 32 (h.192) Đặt BC = a, AC = b, AB = c Ta có A a  b  c 60  bc 12a b2  c2 a2    b  c   60  a  b c 12 B H Hình 192  b  2bc  c a  120a  3600 2  24a 3600  120a  a 25  cm  , S ABC  C a 25.12 150 cm 2   33 (h.193) a) Do AB, BC, AC ba số tự nhiên liên tiếp nên AC  AB 2 AB  AC 2BC A 2 2 Ta có HC  HB  AC  AB  AC  AB   AC  AB  2 BC.2 4 BC  1 HC  HB  HB  HC   HC  HB  BC  HC  HB  Từ (1) (2) suy HC – HB = 4(cm)  2 B H C Hình 193 b) Đặt HB = x HC = x + 4, BC = 2x +4, AB = BC -1 = 2x +3 Ta có AB HA  HB   x    x  122 Rút gọn ta x  x  45 0   x  5  x   0 Do x > nên x = 1 SABC  BC AH  14.12 84 cm 2   34 Xét tam giác vng có cạnh góc vng x y  x y  xy  x  y  x  y  x  y  xy  x  y Ta có Bình phương hai vế biến đổi ta E A  x    y   8 I Đáp số: 12 5; G S3 S4 35 ( h 94)Đặt SBEG S1; SCFH S2 ; SIGH S3 ; SBGHC S4 ; SABCD S H D Hình 194 1 S1  S2  S4  S S3  S4  S Hãy chứng minh S2 C F A     36 (h.195) Do B1 C1 nên B2 C2     Xét BOC AOC có: A1 C1 B2 C2 nên    O  BOC  AOC O Kẻ CK  OA, CH  OB CK = CH B S1 H O (1) Kẻ AI  OB Ta có ABI CAK ( cạnh huyền-góc nhọn)  AI CK (2) 1 B I Hình 195 C Từ (1) (2) suy AI = CK  SAOB SCOB Lưu ý: BO qua trung điểm đoạn thẳng AC A 37 ( h 196) Kẻ IH  AB, IK  AC Trên AM lấy điểm E cho AE = AI, kẻ EG  AB, EN  AC K G H Vì AHI ANE ( cạnh huyền-góc nhọn)  IH EN B I N E D M Hình 196 C IH EN  Tương tự: IK EG Suy IK EG (1) Vì MC = MB  SAEB SAEC  EN AC EG.AB  EN AB  EG AC (2) IH AB  Từ (1) (2) suy IK AC 38 ( h 197) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM Ta có AH BC  AB.AC A (1) Theo giả thiết ta có: BC 4 AB AC (2) B H Từ (1) (2) suy BC 4 BC AH Suy AH  C M Hình 197 BC AM    150  AMH 30  C 39 (h 198) Lấy điểm E đối xứng với D qua AB Ta có BC cạnh lớn nên   BAC 60  DAE 60  DE  AD (1) A H E Gọi K giao điểm DE AB Kẻ DI  AC K Ta có SABC SADB  S ADC 1 AB  AC  AB.DK  AC DI DK DK AB 2 B D Hình 198 (2) SABC  AB.CH Ta lại có (3) AB.CH  AB.DK  CH 2 DK DE Từ (2) (3) suy (4) Từ (1) (4) suy CH DE  AD C A 40 (h 199) a) Học sinh tự giải b) Đặt SABM S1; SAMC S2 Từ câu a ta có: 2S1  2S2 SBCDE a.CD a AM I c B b S1 S2 M a Hình 199 C Tương tự ta có: 2S1  2SBCM b.B M 2S2  2SBCM c.C M Suy  S1  S2  SBCM  a AM  b.BM  c.CM  4S a AM  b.BM  c.CM Xảy đẳng thức AM  BC , BM  AC , CM  AB tức M trực tâm tam giác ABC 41 ( h 200 ) Gọi E điểm đối xứng với A qua M A Theo đề ta có: S1 S2  S3 B S2 Ta lại có S2 S4 nên S1 S4  S3 Do AM = ME nên S1 SMDE (1) M S1 S3 (2) s4 D Từ (1) (2) suy S3  S4 SMDE , chứng tỏ C thuộc đoạn DE Do AB//CE nên AB//CD C E Hình 200 42 ( Hình 201) Đặt AC = x Ta có SABCD 8 1 SABC  S ADC  x AB  x.CD 2  x  8 x A B B A  x   x  16   x   0 D    ACD 900  x 4 BAC Vậy AB // CD b) Ở chứng minh ta có AC = 4cm Suy AB + CD = 4cm Kẻ BH  CD Hãy chứng minh BDH vuông cân nên BD 4 2cm 43 (h 202)Kí hiệu S1 , S2 , S3 , S4 hình vẽ bên 1 S1  S ABD , S2  SBCD 3 Ta có S1  S2  S Nên C D Hình 201 C H SEBGD  S Suy (1) BF 3  :   S3  SEBG Do BE 4 nên S3 S1 S4  SEDG Một cách tương tự S2 S4 D S3  S4  SEBGD Suy B F E A H G C Hình 202 (2) Từ (1) (2) suy SEFGH SEBGD   S3  S4   S  S  S 12 Do 44 (h 203)Kí hiệu S6 , S7 , S8 , S9 hình vẽ bên Ta có: S S  S2   S3  S4  S7  S ABCD   (1) S5  S8  S9  S ABCD Suy S5  S6  S7  S ABCD Tương tự B E A S2 S6 S9 S1 F S5 H S3 S8 S7 (2) Từ (1) (2) suy : S1  S2  S3  S4 S5 D S4 C G Hình 203 45 (h 204)Kí hiệu S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S6 hình vẽ bên A Dễ dàng chứng minh SAGB SBGC SCGA , đặt diện tích S D   AD BE CF S1 S3 S5   S    k  k  , suy S2 S4 S6 Đặt AB BC CA Do S1  S6 S2  S3 S4  S5 S1 G S3 C F S6 S2 S5 S4 B E Hinh 204 46 (h 205) Vẽ hình chứa viên gạch hình bát giác cạnh 1dm Phần hình vng nằm ngồi bát giác ghép lại hình vng cạnh 1dm, diện tích 1dm2 Như ứng với viên gạch hình bát giác có diện tích 1dm2 lát viên gạch bát giác Vậy diện tích phải tìm 1000 dm2 tức 10m2 Hình 205 47 (h 206) Vẽ điểm K đối xứng với điểm E qua D Ta có A SDEF SDKF SDKCF SCDK  SCDF SBDE  SCDF SDEF S AEDF Suy 2SDEF SBDE  SCDF  SAEDF S Suy max SDEF  S  điểm E trùng với A ( Khi F trùng với C ) E trùng với B ( F trùng với A.) E B F C D Hình 206 K