055 đề hsg toán 9 vinh 21 22

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ VINH ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi: TỐN Thời gian : 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) A   x2   a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị biểu thức 1 x  1 x     x2 B  x  x3  x  x   2021 3 x   4 x  c) Tìm x để x số nguyên Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình sau : 1)  x   x   x 3 2) x  x  2  x  1 3x   2 x  2 b) Giải phương trình nghiệm nguyên : x  x 19  y c) Cho hàm số y x  2m  ( m tham số) có đồ thị cắt trục Ox, Oy theo thứ tự hai điểm A, B H hình chiếu O đường thẳng AB Tìm giá trị tham số m để OH  2 Câu (4,0 điểm) f x  x100  ax  bx  a) Xác định a, b để đa thức   chia hết cho đa thức x  1 1   4  x y  x  y  b) Chứng minh với số dương x, y Cho số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 1 Chứng minh : 1 1 1       x  y y  z z  x 4x y 4z Câu (7,0 điểm) O; R  đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa Cho nửa đường trịn  nửa đường trịn vẽ tia Ax vng góc với AB.C điểm nửa đường tròn (C khác A, khác B) Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC F cắt tia Ax M, BM cắt nửa đường tròn D O; R  a) Chứng minh MC tiếp tuyến  b) Giả sử R 3cm, AM  3cm Tính diện tích tam giác MDF Cho tam giác ABC có cạnh a, M điểm nằm bên tam giác Gọi D, E , F hình chiếu M cạnh AB, BC , CA Tìm vị trí điểm M để biểu thức 1   MD  ME ME  MF MF  MD có giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ theo a ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm)   x2    x    A   x2 d) Rút gọn biểu thức ĐKXĐ:   x 1   x2    x    A   x2   x2   1 x 1 x       x   x   x2    x2     x2    1 x   x  1 1 x2 e) Tìm giá trị biểu thức    x   B  x  x  x  x   x    x3 2   3 2.4  23 2x2  x 2021 3 x     x3 6  x  x  x  0 B  x  x3  x  x   2021  x  x3  x     x  x    1 4 f) Tìm x để x  x số nguyên x  a  a    x a  Đặt 1 a4  3  3 4 x a  48 a a a     3 4 3  1 a  48 a  48 a  48  a  48   a  a  48   1  1  4   1     3  a  48   số nguyên nên  Do  x  2021 1  0  a  48 1  a 7 a  48 (thỏa) Vậy a 7  Câu (5,0 điểm) d) Giải phương trình sau : 1)  x   x   x 3   x    x    x  0 1 x  1 x  1 x2    0  x 0  x 1  x 1  x2 1 1  2) x  x  2  x  1 3x   2 x   x   2   2  x  1 x   x  1  x   x  x  2( BDT Co  si ) 2 x  2 x   x  1 x   2 x   x  x  2.Dau " " x 1 2 e) Giải phương trình nghiệm nguyên : x  x 19  y x  x  19 x  x  19  y  y  3 3 x 2  y 1 ; x 2  y  f) Cho hàm số y x  2m  ( m tham số) có đồ thị cắt trục Ox, Oy theo thứ tự hai điểm A, B H hình chiếu O đường thẳng AB Tìm giá trị tham số m OH  2 để A giao điểm đồ thị hàm số Ox  y A 0  xA 2m   A  2m  1;0   OA  2m  B giao điểm hàm số với Oy  xB 0  yB  2m   B(0;  2m  1)  OB  2m  Ta có OAB vng O, OH  AB 1 1 1  2    2 2 OH OA OB  2m  1 ( 2m  1)  2      m 0   2m  1 1    m  Câu (4,0 điểm) 100 2 a) Xác định a, b để đa thức f  x  x  ax  bx  chia hết cho đa thức x   f  1 0  f  x   x  1 f  0 Áp dụng định lý Bơ-du ta có :    a  b  0    a  b  0 a   b 0 c) Chứng minh với số dương x, y Áp dụng định lý Cosi 1 1   x  y     2 xy 4 xy  x y Dấu xảy x  y Cho số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 1 Chứng minh : 1 1 1       x  y y  z z  x 4x y 4z 1 1 1       x  y y  z x  z 4x y 4z   1  1 9   x  y  z          x  y  z    x y yz zx  4x y 4z  z x y yz zx xy       x y yz xz 4x 4y 4z Ta có : 1 x x y z z y x y z VP            VT 4 y z z x y x  yz zx x y 1 1   4  x y  x  y  Câu (7,0 điểm) Cho nửa đường trịn  O; R  đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường trịn vẽ tia Ax vng góc với AB.C điểm nửa đường tròn (C khác A, khác B) Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC F cắt tia Ax M, BM cắt nửa đường tròn D M C D F A O B d) Chứng minh MC tiếp tuyến  O; R  ABC có AB đường kính đường trịn ngoại tiếp  ABC vng  AC  BC Do MO / / BC  MO  AC mà AOC cân nên F trung điểm AC  OM đường trung trực AC  MA MC Xét MAO MCO có : MO chung , MA MC , OA OC R  MAO MCO(c.c.c)  MCO MAO 90  MC  OC  MC tiếp tuyến (O) e) Giả sử R 3cm, AM  3cm Tính diện tích tam giác MDF Ta có MCD ∽ MBC ( g.g )  MD.MB MC Mà MB  MA2  AB  39  MD  Ta có : 39 13 MO  MA2  AO   32 2  MF  S MOB S ABM  S AMO  3 Ta có : MA2  MO S MDF MD.MF 3    S MDF  S MBO MO.MB 52 104 Cho tam giác ABC có cạnh a, M điểm nằm bên tam giác Gọi D, E , F hình chiếu M cạnh AB, BC , CA Tìm vị trí điểm 1   M để biểu thức MD  ME ME  MF MF  MD có giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ theo a A D F M B C E Bài toán phụ: Chứng minh a, b, c  Dấu xảy a b c Ta có : 1 1    9 a b c  a  b  c   1 1 a b a c b c    3       b a c a c b a b c  a  b  c   a b 9     b a  a  b 9  ab  a c 2     c a  a  c  ac  b c 2      c b  b  c  bc  2  9 Dấu xảy a b c Trở lại tốn, ta có : S ABC S MBC  S MCA  S MAB a2 a  a  MD  ME  MF    MD  ME  MF  Áp dụng toán phụ trên, ta có : 1    MD  ME ME  MF MF  MD MD  ME  ME  MF  MF  MD 9 3     MF  ME  MD  a a T T  3 a không đổi a Vậy Dấu xảy  MD  ME ME  MF MF  MD  MD ME MF  M tâm đường tròn nội tiếp ABC  M tâm ABC 1   Vậy M tâm tam giác ABC tổng MD  ME ME  MF MF  MD có giá trị nhỏ