PHÒNG GD ĐT THÀNH PHỐ TRƯỜNG THCS TRẦN LÃM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2021- 2022 MƠN : TỐN Thời gian làm : 120 phút ( không kể giao đề) Bài 1(4,0 điểm) Cho biểu thức: A = 7x - 2x - 3 với x ¹ x+ Tính giá trị biểu thức A biết - = -1 Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị lớn Tìm giá trị lớn Bài ( 4,0 điểm) Tìm x ; y; z thỏa mãn điều kiện sau: 6x - 4z 5z - 6y 4y - 5x = = 3x – 2y + 5z = 96 Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ Nếu tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh, tổ ba thêm vào học sinh số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3;4;2 Tìm số học sinh tổ Bài 3(4,0 điểm) Cho hàm số y = m|x| + 2x ( Với m số cho trước) - ;1) Xác định m biết đồ thị hàm số qua điểm A( Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm Bài 4(6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M,N trung điểm AB,AC Kẻ NH vng góc CM H, HE vng góc AB E, AK vng góc CM K, AQ vng góc HN Q · Tính BK H ? Chứng minh tam giác ABH cân · Chứng minh HM phân giác BHE Bài 5(2,0 điểm) Từ điểm I tùy ý tam giác ABC kẻ IM, IN, IP vng góc với BC, CA, AB Chứng minh : AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 -Hết - Họ tên thí sinh Số báo danh PHÒNG GD ĐT THÀNH PHỐ TRƯỜNG THCS TRẦN LÃM BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN: TỐN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC : 2021- 2022 Bài 1(4,0 điểm) Cho biểu thức: A = 7x - 2x - 3 với x ¹ x+ Tính giá trị biểu thức A biết - = -1 Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị lớn Tìm giá trị lớn Câu Đáp án Điểm x+ 1 x+ - = -1 => =1 => x = x = 3 Với x = thỏa mãn điều kiện x ¹ thay vào biểu thức A tính 0,25 0,25 0,75 A = Với x = thỏa mãn điều kiện x ¹ thay vào biểu thức A tính 52 A = 17 - 21 (2x - 3) - + 7x - 2 2 x x x A= = = + - A lớn 2x - lớn 0,75 0,5 0,25 0,5 2x - lớn (2x – 3) số nguyên dương nhỏ Vậy 2x – = => x= + 2 2x - = Thay x=2 vào biểu thức A = 0,25 0,25 0,25 KL : Với giá trị nguyên x= giá trị lớn biểu thức A Bài ( 4,0 điểm) Tìm x ; y; z thỏa mãn điều kiện sau: 6x - 4z 5z - 6y 4y - 5x = = 3x – 2y + 5z = 96 Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ Nếu tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh, tổ ba thêm vào học sinh số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3;4;2 Tìm số học sinh tổ Câu Đáp án Điểm 6x - 4z 5z - 6y 4y - 5x 5(6x - 4z) 4(5z - 6y) 6(4y - 5x) = = = = = 25 16 36 30x - 20z 20z - 24y 24y - 30x = = = 25 16 36 30x - 20z + 20z - 24y + 24y - 30x = =0 25 + 16 + 36 0,5 0,5 0,25 => 6x = 4z, 5z = 6y,4y = 5x 0,25 x y z 3x 2y 5z 3x - 2y + 5z 96 = = = = = = = =3 12 10 30 12 10 + 30 32 => 0,25 => x= 12; y= 15; z=18 Gọi số học sinh tổ một, tổ hai ,tổ ba lớp 7A x,y,z (x,y,z Ỵ N*; x,y,z < 52) *Lớp 7A có 52 học sinh => x+y+z = 52 *Nếu tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh , tổ ba thêm vào học sinh số học sinh tổ ,hai, ba tỉ lệ nghịch với 3;4;2 Nên ta có 3.( x-1) = 4.(y-2) = 2.(z+3) 3(x - 1) 4(y - 2) 2(z + 3) x - y - z + = = = = = 12 12 12 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 x + y + z 52 = =4 13 13 = 0,25 => x = 17,y= 14, z= 21 (Thỏa mãn điều kiện) KL Bài 3(4,0 điểm) Cho hàm số y = m|x| + 2x ( Với m số cho trước) Xác định m biết đồ thị hàm số qua điểm A( Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm Câu Đáp án - Xác định m biết đồ thị hàm số qua điểm A( Vì đồ thị hàm số qua điểm A( - - ;1) Điểm - ; 1) 1 ; 1), thay x = , y = vào 1 |+2.( ) => => m= cơng thức ta có: 1= m.| KL Với m = hàm số có dạng y = 4.|x| + 2x => y = 4x+2x = 6x với x ³ ; y = -4x+2x = - 2x với x £ * Vẽ đồ thị hàm số y= 6x với x ³ - Đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O(0;0) - Cho x =1 => y = => điểm B(1; 6) Ỵ đồ thị hàm số * Vẽ đồ thị hàm số y= - 2x với x £ - Đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O(0;0) - Cho x = -1 => y = => C( - 1; 2) Ỵ đồ thị hàm số 0,75 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 y y = 6x ( x 0 ) y = - 2x ( x 0 ) C -1 O B 1 x 0,25 KL: Vậy đths tập hợp điểm Î tia OB, OC hình vẽ Bài 4(6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M,N trung điểm AB,AC Kẻ NH vuông góc CM H, HE vng góc AB E, AK vng góc CM K, AQ vng góc HN Q · Tính BK H ? Chứng minh tam giác ABH cân · Chứng minh HM phân giác BHE Câu Đáp án VÏ hình, ghi GT- KL im A Q E I M N K B H C C/m D AKM = D AQN D (ch+ gn) => AQ = AK D AQH = D HKA (gcg) => AQ = KH => AQ = KH · · => D AKH vuông cân K => AHK = 450 = AK H 0, 0, 0, 0,25 0,25 · · C/m D AHC = D BKA( gcg) => AHC = AK B = 900 + 450 = 1350 · H AK · B · BK = => BK H = 3600 - 900 -1350 = 1350 C/m D BKA = D BKH (cgc) => BA = BH => D BAH cân B Tam giác vuông AEI tam giác vng HKI có: · E K · AI = IH ( đđỉnh) · · EAI K HI 0,5 0,5 · · Mà BAK = BHK ( hai góc tương ứng) · · BHK K HI 0,5 · tia phân giác AHB 0,5 => = => = , tia HM nằm hai tia HA HB nên HM Bài 5(2,0 điểm) Từ điểm I tùy ý tam giác ABC kẻ IM, IN, IP vng góc với BC, CA, AB Chứng minh : AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 Bài A 2,0điể m N P I B M C Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vng NIA NIC ta có : 0,5 AN2 = AI2 - IN2; CN2 = IC2 - IN2 0,5 => CN2 – AN2 = IC2 –AI2 (1) 0,25 Tương tự ta có : AP2 – BP2 = AI2 – IB2 (2) 0,25 MB2 –CM2= IB2 - IC2 (3) 0,5 Từ (1) (2) (3) => AN2 + BP2 +CM2 = AP2+ BM2+CN2 Lưu ý : Nếu học sinh có cách làm khác cho điểm tối đa