SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2018 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 17/4/ 2018 Câu (5,0 điểm) x 8 x4 x với x x x x 8 x x 4 Rút gọn biểu thức A Tìm số nguyên x để A số nguyên b) Cho ba số thực a, b, c cho a 2; b 2; c 2 a b c a c b 7 Chứng minh b c a c b a a) Cho biểu thức A Câu (4,0 điểm) a) Cho phương trình x x 2m 0 Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại b) Giải phương trình x x 3 x Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh với số tự nhiên n 1 n n 1 n lập phương số tự nhiên b) Cho số nguyên tố p p 3 hai số nguyên dương a , b cho p a b2 Chứng minh a chia hết cho 12 2( p a 1) số phương Câu (3,5 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh cm E điểm nằm cạnh BC ( E khác B C ) Đường thẳng qua B , vuông góc với đường thẳng DE H cắt đường thẳng CD F Gọi K giao điểm AH BD a) Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn ba điểm K , E , F thẳng hàng b) Khi E trung điểm cạnh BC , tính diện tích tứ giác BKEH Câu (3,5 điểm) Cho hai đường tròn C1 , C2 cắt hai điểm A, B Tiếp tuyến A C2 cắt C1 M ( M khác A ) Tiếp tuyến A C1 cắt C2 điểm N ( N khác A ) Đường thẳng MB cắt C2 P ( P khác B ) Đường thẳng NB cắt C1 Q (Q khác B ) a) Chứng minh tam giác AMP, AQN đồng dạng b) Chứng minh MB NA2 NB MA2 Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: … ………………………………………… Số báo danh: …………… Thí sinh phép sử dụng máy tính cầm tay SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm thi có 06 trang) Câu Câu x 8 (5,0 đ) Cho biểu thức A Đáp án x4 x với x x x x 8 x x Rút gọn biểu thức A; tìm số nguyên x để A số nguyên A Điểm 3,0 ( x 2) 3 x x x x 2 0,5 x 8 x x 8 ( x 2)( x x 4) x x ( x 2)( x 2) x 8 x ( x 2)( x x 4) x x ( x 2)( x 2) (vì x nên x ) x 8 1 ( x 2)( x x 4) x x x 2 0,5 0,5 x ( x 2) ( x x 4) ( x 2)( x x 4) 0,5 x 6 ( x 2)( x x 4) x x 0,5 Ta có : x x ( x 1) 3 0 m>1 Ta có : x1 x2 2, x1.x2 3 2m x1 x22 x1 2 x2 2m x1 x2 3 x2 2m 0,25 0,25 2,0 0,25 0,25 0,5 x2 5 2m x1 1 2m x1.x2 (5 2m)(1 2m) 0,5 9(3 2m) 4m 8m 11 11 4m 26m 22 0 m 1, m - chọn m 2 Cách 2: Điều kiện : ’ >0 2m2 >0 m >1 Ta có : x1 x2 2, x1.x2 3 2m 0,5 0,25 Để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại 2 0,25 0,5 ( x1 x )( x2 x ) 0 x1 x2 ( x13 x23 ) x12 x22 0 0,5 x1 x2 ( x1 x2 )3 3x1 x2 ( x1 x2 ) x12 x22 0 x12 x22 x1 x2 0 x1 x2 1, x1 x2 0,25 + x1 x2 1 2m 1 m 1 (loai ) 0, 11 + x1 x2 2m m ( thỏa mãn ) Cách : Điều kiện : ’ >0 2m2 >0 m>1 Phương trình có nghiệm x1 1 2m 2, x2 1 0,25 2m 0,25 Để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại x1 x 0,25 2 ( khơng xảy trường hợp ngược lại x2 x1 x2 1, x1 (!) ) 0,25 2 2m 2m m (2m 2) 2m 2m 0 2m 3 11 11 m 1 m - Chọn m 2 b) Giải phương trình x x 3 x (1) Cách 1: Điều kiện : x 1 (1) x x x = 3x (2) 0,5 0, 2,0 0,25 Đặt x a; x b ( a,b 0) 0,25 (2) viết lại: 2a ab 4 b 0,5 a (2 b) (2 b)(2 b) a 2 b ( 2+b>0 ) 0,25 x x 2 x = ( Cơ si – bình phương ) x = thỏa điều kiện x = nghiệm phương trình cho Cách 2: Điều kiện : x 1 0, 25 0, 25 0,25 (1) 2[ x (1 x)] [ x (1 x)] 0 x (1 x ) x ( x x ) 0 x 2x x x 0 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x( ) 0 1 1 x 1 x 1 x 0,5 0,5 1 x 1 x (*) 1 1 x 1 x 1 x 0,25 (*) x x x x 1 x x 0, x 3 (loai ) Kết luận: x=0 nghiệm 0, x 0 Câu a) Chứng minh với số tự nhiên n (n+2)(n+1)(n+8) khơng thể 2,0 (4,0 đ) lập phương số tự nhiên Ta có: (n+2)3