Đề thi chọn học sinh giỏi toán 9 cấp tỉnh 2017 2018 quảng nam word

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2018 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 17/4/ 2018 Câu (5,0 điểm) x 8 x4 x với x    x x x 8 x  x 4 Rút gọn biểu thức A Tìm số nguyên x để A số nguyên b) Cho ba số thực a, b, c cho a 2; b 2; c 2 a b c a c b      7 Chứng minh b c a c b a a) Cho biểu thức A  Câu (4,0 điểm) a) Cho phương trình x  x   2m 0 Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại b) Giải phương trình  x   x 3  x Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh với số tự nhiên n 1  n    n  1  n   lập phương số tự nhiên b) Cho số nguyên tố p  p  3 hai số nguyên dương a , b cho p  a b2 Chứng minh a chia hết cho 12 2( p  a  1) số phương Câu (3,5 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh cm E điểm nằm cạnh BC ( E khác B C ) Đường thẳng qua B , vuông góc với đường thẳng DE H cắt đường thẳng CD F Gọi K giao điểm AH BD a) Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn ba điểm K , E , F thẳng hàng b) Khi E trung điểm cạnh BC , tính diện tích tứ giác BKEH Câu (3,5 điểm) Cho hai đường tròn  C1  ,  C2  cắt hai điểm A, B Tiếp tuyến A  C2  cắt  C1  M ( M khác A ) Tiếp tuyến A  C1  cắt  C2  điểm N ( N khác A ) Đường thẳng MB cắt  C2  P ( P khác B ) Đường thẳng NB cắt  C1  Q (Q khác B ) a) Chứng minh tam giác AMP, AQN đồng dạng b) Chứng minh MB NA2 NB MA2 Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: … ………………………………………… Số báo danh: …………… Thí sinh phép sử dụng máy tính cầm tay SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm thi có 06 trang) Câu Câu x 8  (5,0 đ) Cho biểu thức A  Đáp án x4 x với  x  x x x 8 x  x  Rút gọn biểu thức A; tìm số nguyên x để A số nguyên A  Điểm  3,0 ( x  2)   3 x x  x  x 2 0,5 x 8   x x 8   ( x  2)( x  x  4) x  x  ( x  2)( x  2) x 8 x   ( x  2)( x  x  4) x  x  ( x  2)( x  2) (vì  x  nên  x  ) x 8 1    ( x  2)( x  x  4) x  x  x 2  0,5 0,5  x   ( x  2)  ( x  x  4) ( x  2)( x  x  4) 0,5  x 6  ( x  2)( x  x  4) x  x  0,5 Ta có : x  x  ( x  1)  3  0  m>1  Ta có : x1  x2 2, x1.x2 3  2m x1  x22  x1 2 x2  2m   x1  x2 3 x2  2m  0,25 0,25 2,0 0,25 0,25 0,5  x2 5  2m  x1 1  2m  x1.x2 (5  2m)(1  2m) 0,5  9(3  2m)  4m  8m  11 11  4m  26m  22 0  m 1, m  - chọn m  2 Cách 2: Điều kiện : ’ >0  2m2 >0  m >1  Ta có : x1  x2 2, x1.x2 3  2m 0,5 0,25 Để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại 2 0,25 0,5 ( x1  x )( x2  x ) 0  x1 x2  ( x13  x23 )  x12 x22 0 0,5  x1 x2  ( x1  x2 )3  3x1 x2 ( x1  x2 )  x12 x22 0  x12 x22  x1 x2  0  x1 x2 1, x1 x2  0,25 + x1 x2 1   2m 1  m 1 (loai ) 0, 11 + x1 x2    2m   m  ( thỏa mãn ) Cách :  Điều kiện : ’ >0  2m2 >0  m>1 Phương trình có nghiệm x1 1  2m  2, x2 1  0,25 2m  0,25 Để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại x1  x 0,25 2 ( khơng xảy trường hợp ngược lại x2  x1  x2  1, x1  (!) ) 0,25 2   2m    2m   m   (2m  2)  2m    2m  0  2m  3 11 11  m 1  m  - Chọn m  2 b) Giải phương trình  x   x 3  x (1) Cách 1: Điều kiện :   x 1 (1)   x   x  x = 3x (2) 0,5 0, 2,0 0,25 Đặt  x a;  x b ( a,b  0) 0,25 (2) viết lại: 2a  ab 4  b 0,5  a (2  b) (2  b)(2  b)  a 2  b ( 2+b>0 ) 0,25   x   x 2  x = ( Cơ si – bình phương ) x = thỏa điều kiện  x = nghiệm phương trình cho Cách 2: Điều kiện :   x 1 0, 25 0, 25 0,25 (1)  2[  x  (1  x)]  [  x  (1  x)] 0   x (1   x )   x (  x   x ) 0 x  2x   x   x 0 1 1 x 1 x  1 x 1 x 1 x  x(  ) 0 1 1 x 1 x  1 x 0,5 0,5 1 x 1 x  (*) 1 1 x 1 x  1 x 0,25 (*)   x   x   x  x 1  x  x 0, x 3 (loai ) Kết luận: x=0 nghiệm 0,  x 0  Câu a) Chứng minh với số tự nhiên n  (n+2)(n+1)(n+8) khơng thể 2,0 (4,0 đ) lập phương số tự nhiên Ta có: (n+2)3