KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013-2014 SỞ GD& ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI Ngày thi : 22/3/2014 Mơn : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1:(4 điểm) a) Cho a;b hai số nguyên dương khác nhau, thoả mãn 2a2+a = 3b2+b Chứng minh ab phân số tối giản 2a+2b+1 b) Tìm cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn: 15x2 − 7y2 = Bài 2: (4 điểm) 3 a) Cho x ; x≠0 2x 2x a 4x theo a x 1 b) Cho a,b,c số dương thoả mãn 1 a 1 b 1 c Tính giá trị biểu thức P Tìm giá trị lớn Q=abc Bài 3: (4 điểm) x2 12 x 1 b) Giải hệ phương trình: x 1 y 1 1 xy xy a) Giải phương trình: x 1 x x 1 Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB cố định EF dây cung di động nửa đường trịn đó, cho E thuộc cung AF EF= AB R Gọi H giao điểm AF BE; C giao điểm AE BF; I giao điểm CH AB · a) Tính số đo CIF b) Chứng minh biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị khơng đổi EF di động nửa đường tròn c) Xác định vị trí EF nửa đường trịn để tứ giác ABFE có diện tích lớn Tính diện tích lớn theo R Bài 5: (2 điểm) Tìm cạnh hình vng nhỏ nhất, biết rằng: hình vng chứa đường trịn có bán kính đường trịn đơi khơng có điểm chung Hết - DeThiMau.vn BÀI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 20132014 Mơn : TỐN Ngày thi : 22/3/2014 Câu 1: 1) 2a2+a = 3b2+b ⇔ 2a2+a −2b2−b = b2 ⇔ (a−b)(2a+2b+1) = b2 Gọi (a−b,2a+2b+1) = d Ta có: a – b ⋮ d, 2a+2b+1⋮d⇒ (a−b) (2a+2b+1) ⋮ d2 ⇒ b2 ⋮ d2 ⇒ b⋮d Mà a – b ⋮ d ⇒ a⋮d a⋮d; b⋮d mà 2a+2b+1⋮ d nên 1⋮d ⇒ d=1 Vậy phân số cho tối giản 2) Giả sử cặp số nguyên dương (x; y) nghiệm phương trình: 15x2 − 7y2 = (1) =>15x2 − =7y2=>7y2 => y2 => y Đặt y = 3z thay vào (1) ta có 15x2 − 63z2 = =>5x2 − 21z2 = 3(2) => x Đặt x = 3t thay vào (2) ta có 45t2 − 21z2 = 3=>15x2 − 7z2 = 1(3) Nếu z ™ 0(mod3) => VP™0(mod3) VT™1(mod3) Vơ lí Nếu z ™ 1(mod3) => z2™1(mod3) => − 7z2™2(mod3) VP™2(mod3) VT™1(mod3) Vơ lí Nếu z ™ 2(mod3) => z2™1(mod3) =>− 7z2™2(mod3) VP™2(mod3) VT™1(mod3) Vơ lí Vậy khơng tìm cặp số nguyên dương (x; y) nghiệm phương trình cho Câu 2: 3 a) Cho x ; x≠0 2x 2x a Tính giá trị biểu thức P 4x x theo a 2x+2 P x 2x 2x 2x x 4x 2x 2x 2x 2x x 2x 2x x a b) Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn điều kiện : lớn Q = a.b.c Giải :Ta có : 1 Tìm giá trị 1 a 1 b 1 c 1 b c bc 1 1 2 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c (1 b)(1 c) 1 ca ab 2 , 2 1 b (1 c)(1 a ) c (1 a )(1 b) 1 abc Nhân bất đẳng thức vừa nhận ta có : 8 1 a 1 b 1 c (1 a )(1 b)(1 c) 1 Hay : abc Dấu = xãy a = b = c = Vậy maxQ = 8 Tương tự : Bài 3: (4 điểm) DeThiMau.vn a) Giải phương trình x 1 x x 1 x 1 x x2 12 ĐK : x≤ - ; x > x 1 x x 1 12 Đặt t = (x + 2)(x - 1) ta có phương trình t2 + 4t – 12 = => t =2 t = - (loại) (x+2)(x-1) = => x2 + x – = => x = 2(nhận) x = - (nhận) 2 x 1 3 xy b)Giải hệ phương trình: 2 y 1 xy (Công vê) 2 x 1 3 xy x x y x y 2 y 1 1 ( tru vê) x y y x y x y xy ( Nhân vê) =>x 8xy-9y x y x 9y x y 4x 4y x y; x 9y(loai) x x x x Vậy nghiệm hệ x = y = Bài 4: (6 điểm) · a) Tính số đo CIF · = HBF · = sd EF º = 300 Tứ giác BFHI nội tiếp => HIF (tam giác OEF đều) b) Chứng minh biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị khơng đổi EF di động nửa đường trịn Ta có AE.AC = AC(AC –CE) = AC2 – AC.AE C BF.BC = BC(BC –CF) = BC2 – BC.CF AE.AC+BF.BC = AC2 + BC2 – AC.AE – BC CF F MÀ AC.AE = BC.CF =CO2 – R2 2AC2 + 2BC2 - AB2 AB2 => AC2 + BC2 =2CO2 + 4 AB Suy : AE.AC+BF.BC = 2CO2 + – CO2 + R2 – CO2 + R2 = CO = E H A I O B 3R2 AE.AC+BF.BC= 3R2 Cố định C c) Xác định vị trí EF nửa đường trịn để tứ giác ABFE có diện tích lớn Tính diện tích lớn theo R Ta có SABEF = SAOF + SFOE + SEOB E P F A M Q O N B DeThiMau.vn R2 SFOE = (Vì tam giác FOE tam giác cạnh R) 1 FM + EN SAOF + SEOB = OA.FM+ OB.EN = R = R.PQ (PQ đường trung bình hình 2 thang EFMN) R R2 + R.PQ mà PQ ≤ OP = R R 3R Do SABEF = + = Q trùng với O hay EF // AB 4 SABEF = Bài 5: (2 điểm) Gọi cạnh hình vng ABCD nhỏ chứa bên đường trịn có bán kính 1cm đơi khơng có điểm chung x (cm) Từ suy tâm đường tròn nằm hình vng MNPQ có cạnh x – cm (vì tâm đường trịn đường trịn cách cạnh hình vng 1cm) Chia hình vng MNPQ thành hình vng nhỏ có độ dài cạnh vẽ) x- (cm) (hình Theo ngun lí Dirichlet có hai tâm đường trịn thuộc hình vng Giả sử hai tâm O1.O2 Vì hai đường trịn có khơng điểm chung nên A B O1O2 không nhỏ hai lần bán kính khơng lớn độ M N O3 dài đường chéo hình vng cạnh O1 1cm O2 O4 Q D Hay ≤ O1.O2 ≤ 1cm (x - 2) => (x - 2) ³ Þ x- 2³ 2 Þ x ³ 2+ 2 O5 P Xcm x- (cm) C Vậy cạnh hình vng nhỏ chứa đường trịn có bán kính đường trịn đơi khơng có q điểm chung + 2 DeThiMau.vn ...BÀI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 20132014 Mơn : TỐN Ngày thi : 22/3/2014 Câu 1: 1) 2a2+a = 3b2+b ⇔ 2a2+a −2b2−b =... vê) x y y x y x y xy ( Nhân vê) =>x 8xy-9y x y x 9y x y 4x 4y x y; x 9y(loai) x x x x Vậy nghiệm hệ x = y = Bài 4: (6 điểm) ·... )(1 b)(1 c) 1 Hay : abc Dấu = xãy a = b = c = Vậy maxQ = 8 Tương tự : Bài 3: (4 điểm) DeThiMau.vn a) Giải phương trình x 1 x x 1 x 1 x x2 12 ĐK : x≤