Đang tải... (xem toàn văn)
Cả ba số khi chia cho 3 có số dư giống nhau suy ra tổng ba số chia hết cho 3.. - Điểm toàn bài không làm tròn.[r]
(1)1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
(Hướng dẫn chấm có 04 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 – 2019
Mơn thi: TỐN Ngày thi: 07/03/2019
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN
Câu Ý Đáp án Điểm
1 (3,0đ)
Gọi số cần lập có dạng abcd 2019 Trường hợp a2
Có cách chọn a a3, 4,5, 6, 7,8,9
Có cách chọn b ( Trừ chữ số chọn cho a ) Có cách chọn c ( Trừ chữ số chọn cho a b, )
Có cách chọn d ( Trừ chữ số chọn cho a b c, , ) Trường hợp có 7.9.8.73528 ( số)
1,25
Trường hợp a2,b0
Có cách chọn b Có cách chọn c Có cách chọn d
Trường hợp có 8.8.7448 (số )
0,75
Trường hợp a2,b0,c1
Có cách chọn c
Có 7 cách chọn d
Trường hợp có 7.749 (số)
0,5
Như vậy, số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán
3528 448 49 4025 ( số) 0,5
2 (5,0đ)
Ý (2,0)
Ta có:
3 15 ( 1) ( 1)
A n n n n n n n n n 1,0
Với số nguyên n, (n1) (n n1) 6 n chia hết cho 0,5
Vậy A3 ( n1) (n n1) 6 n chia hết cho 18 0,5
Ý (3,0)
Gọi số ô tô lúc đầu x với x;x2 Số học sinh tham quan 12x1
0,5
Theo giả thiết số xe x – số học sinh đoàn chia cho tất xe Khi xe chở y học sinh với y; 0 y16
Ta có: x1y12x1
0,5
12 13
12
1
x y
x x
0,5
(2)2
Với x 1 1 x2 suy y25 (loại)
Với x 1 13 x14 suy y13 (thỏa mãn)
0,5
Vậy đồn tham quan có 14 tơ 169 học sinh 0,5
3 (6,0đ)
Ý (2,0)
1(cm)
M Q
N C P
A F
D
B E
Đáy hộp hình chữ nhật có kích thước
2.1 2( )
MQBE cm
0,5
3 2.1
2
QPFD cm
0,5
Chiều cao hộp chiều cao nến
0,5
Thể tích khối hộp V 2 3.2040 3cm3
0,5
Ý 2a (2,0)
H K
O
N I
Q P M
D
C
B A
a) Ta có: MQ đường trung bình tam giác AID Suy MQ/ /ADDABQMN Tương tự BCDNPQ
1,0
có DABBCD (hai góc nội tiếp chắn cung) Suy QMNNPQ
(3)3 Suy tứ giác MPNQ nội tiếp
Vậy bốn điểm M, P, N, Q thuộc đường tròn
0,5
Ý 2b (2,0)
Vì ABCD nên 1 2
( )
2 16
MPNQ
S MN PQ AB CD AB CD 0,5
Kẻ OH AB H , OK CD K, ta có :
2 2 2 2
4( ) 4( )
AB CD AH CK R OH R OK 4(2R2KH2)4(2R2OI2)
Suy 1(2 2)
MPNQ
S R OI (không đổi)
1,0
Vậy SMPNQ đạt giá trị lớn 1(2 2) R OI
đạt : ABCDOH OK OKIH hình vng
AB CD lập với OI góc 45o 0,5
4 (4,0đ) Ý (2,0) Điều kiện 2
5 ( 1) x y y x 0,25
Từ phương trình (2) ta có
4
3
5 10
0
5 ( ) ( ) ( )(5 1)
2 x x y x xy
x x x y x x y x x y x
x y 0,25
Với x0 thay vào (1) ta có: 1 2 y 2 y 5 2 y 2 y 4 0,25
2
4 2y 4 2y 2y y y y
0,25
Với: x2y Thay vào phương trình (1) ta
2
1 ( 1) ( 1)(4 )
x x x x x x x x (*)
Đặt
2
5
1 4
2 t t x x x x
0,5
Thay vào phương trình (*) ta có:
2
2
5
5 15
3
t t
t t t
t
Khi
1
3
t x x x x x
x
Tóm lại, hệ có nghiệm ; 0; , 3; x y
0,5
Trong số (2x1), (2y1), (2z1)luôn tồn hai số dấu, khơng tính
(4)4 Ý
(2,0) 2 2 1 2 2 z x y xy xy z xy xyz
Từ 2
2
x y z xyz suy
2 2
1 2 2
2 z
z xyz x y xy xyz xy z xy
0,5
Vì 1
2 2 z z
Pxyyzzx xyz 0,5
Với
2
xyz P
2 Vậy giá trị lớn P
2 0,5
5 (2,0đ)
Trước hết, ta chứng minh bổ đề “trong số tự nhiên bất kì, tồn số có tổng chia hết cho 3.”
Thật vậy,
Với số tự nhiên chia cho 3, ta chọn hai trường hợp sau
TH1 Cả ba số chia cho có số dư giống suy tổng ba số chia hết cho
TH2 Ba số chia cho ba có số dư đơi khác 3 ; m 1; 3n 2k , suy tổng ba số chia hết cho
0,5
Xét 17 số tự nhiên tuỳ ý Chia chúng thành tập, có 5, 5, phần tử Trong tập, ta ln chọn số có tổng là:
1 3
3 , , a a a a a, , a N lại:
17 8số, số này, chọn tiếp số có tổng 3a , cịn lại số, chọn 4 tiếp số có tổng 3a 5
0,5
Như vậy, ta ln chọn từ đồn nhóm, nhóm có thí sinh mà tổng số báo danh nhóm ,3 , ,3 ,3a1 a2 a3 a4 a 5 0,5
Trong số a a a a a có số 1, 2, 3, 4, 5 a ai1, i2,a có tổng chia hết cho i3
Như vậy, học sinh tương ứng có tổng số báo danh là:
1 3
3ai 3ai 3ai ai ai ai 9
0,5
Lưu ý : - Thí sinh giải cách khác , lập luận chặt chẽ chấm điểm tối đa - Điểm toàn khơng làm trịn