• Trong trường hợp “xấu nhất”, nếu có một con kiến đi từ đầu này đến đầu kia của thanh gỗ mà không đụng đầu phải con kiến nào đi ngược chiều thì phải mất 5 phút con kiến này mới rơi xu[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 13/03/2018 Câu (3,0 điểm).
Cho 12 12 12 2
2 2018
A= + + + + So sánh A với 2017 2018 Câu (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2
4
3
x y y
x xy y
Câu (6,0 điểm).
1 Tìm cặp số nguyên ( )x y; thỏa mãn x4 +2x3 +3x2 +2x−y2 − =y 0.
2 Có số nguyên dương có chữ số abcdef cho
( ) ( ) ( )
100 a d− +10 b e− + −c f chia hết cho 1001? Câu (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O P di chuyển cung BC chứa A ( )O I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Q tâm đường tròn nội tiếp tam giác PBC
1 Biểu diễn số đo góc BIC theo số đo góc BAC
2 Chứng minh B I Q C; ; ; nằm đường tròn
3 Trên tia BQ CQ; lấy điểm M N; cho BM BI; CN CI Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định P di chuyển cung BC chứa A ( ).O
Câu (2,0 điểm).
Xét gỗ ngang có hai đầu Một kiến từ đầu đến đầu 5 phút Khi đến hai đầu kiến rơi xuống đất Bây giả sử gỗ có 5 kiến với tốc độ hướng khác Nếu có hai kiến ngược hướng đụng đầu chúng quay ngược lại tiếp (Giả sử kích thước thời gian quay đầu kiến không đáng kể)
1 Hãy lý luận để chứng tỏ tất kiến thể rơi hết xuống đất Cần tối thiểu phút để chắn kiến rơi xuống đất?
……… Hết ……… Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay
- Giám thị coi thi khơng giải thích thêm
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI
HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn gồm 05 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 13/03/2018
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC MƠN TỐN Câu (3,0 điểm)
Cho 12 12 12 2
2 2018
A= + + + + So sánh A với 2017 2018
Đáp án Điểm
Ta có: 12 12 12 2 1 1
2 +3 +4 + +2018 1.2+2.3+3.4+ +2017.2018 1,5
1 1
1.2+2.3+3.4+ +2017.2018=
1 1 1 1 1 2017
1
1− + − + − + +2 3 2017−2018 = −2018= 2018
Vậy A < 2017 2018
1,5
Câu (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2 4 1
3
x y y
x xy y
Đáp án Điểm
Nhân hai vế phương trình hai hệ cho cộng vế theo vế với phương trình hệ ta phương trình
2
4 2
x +y + y+ x+ xy+ y=
1,0
Tiếp tục biến đổi ta
( )2 ( )
6
1
x y x y
x y x y + + + − = + = + = − 0,5
• Ta xét trường hợp x+ = = −y y x Khi ta có phương trình tìm x sau
( )
2
3 1
3
1
x x x x
x x x x + − + − = − + = = =
Với x=1 y=0; với x=2 y= −1
(3)• Ta xét trường hợp x+ = − = − −y y x Khi phương trình xác định x
( )
2
3 7
5 10
x x x x
x x
+ − − − − =
+ + =
Phương trình xác định x vô nghiệm nên trường hợp hệ vô nghiệm
0,5
Vậy hệ có hai nghiệm là: x y; 1; , x y; 2; 0,25
Câu 3: (6,0 điểm)
1 (3,0 điểm) Tìm cặp số nguyên ( )x y; thỏa mãn x4 +2x3 +3x2 +2x−y2 − =y
Đáp án Điểm
Ta có: ( ) ( )
2
4 2 2
2 3 2 0 2
x + x + x + x−y − = y x + x + x +x = y + y 0,5
( 2 )2 2
1 1 (*)
x x y y
+ + = + + 0,5
Nếu y 0 y2 y2+ + y 1 (y+1)2 suy y2 + +y 1 không số phương nên
khơng tồn số ngun x, y thỏa mãn đề 0,5
Nếu y −1thì (y+1)2 y2+ + y 1 y2suy y2 + +y 1 khơng số phương nên
khơng tồn số nguyên x, y thỏa mãn đề 0,5
Nếu y=0 y = −1 từ (*) suy ra:
0
1 1
1
x
x x
x
=
+ + = = −
0,5
Vậy cặp số nguyên ( )x; y thỏa mãn yêu cầu toán là: ( ) (0;0 ; 0; ; 1;0 ; 1; 1− ) (− ) (− − ) 0,5 (3,0 điểm) Có số nguyên dương có chữ số dạng abcdef cho
( ) ( ) ( )
100 a d− +10 b e− + −c f chia hết cho 1001?
Đáp án Điểm
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
.1000 1001
.1001 100 10
abcdef abc def abc abc def
abc a d b e c f
= +
= − +
= − − + − + −
1,0
Nên, 100(a d− )+10(b e− + −) (c f ) chia hết cho 1001 abcdef chia hết cho 1001
(4)Số nguyên dương bé có chữ số chia hết cho 1001 100100 Số nguyên dương lớn có chữ số chia hết cho 1001 999999
Vậy số số nguyên dương có chữ số chia hết cho 1001 999999 100100 900 1001
−
+ =
Đáp số: có 900 số thỏa u cầu tốn
1,0
Câu (6,0 điểm).
Cho ABC nội tiếp đường tròn ( )O P di chuyển BC chứa A ( )O I tâm đường tròn nội tiếp ABC Q tâm đường tròn nội tiếp PBC
1 Biểu diễn số đo góc BIC theo số đo góc BAC
Đáp án Điểm
Ta có
180
BIC IBC ICB 1,0
0 180
180 180 90
2 2
ABC ACB BAC BAC 1,0
O
K N M Q
A
C B
(5)2 Chứng minh B I Q C; ; ; nằm đường tròn
Đáp án Điểm
Theo câu Ta có 900 BAC BIC
Tương tự 90
2 BPC
BQC 1,0
Hơn BAC BPC (hai góc nội tiếp chắn cung đường tròn ( ).O ) Suy BQC BIC
Vì hai điểm A P nằm nửa mặt phẳng bờ BC nhìn đoạn BC hai góc nên điểm B I Q C; ; ; thuộc đường tròn
1,0
3 Trên tia BQ CQ; lấy điểm M N; cho BM BI; CN CI Chứng minh MN qua điểm cố định P di chuyển BC chứa A ( ).O
Đáp án Điểm
Vì IB IC BC IB IC BC
+
−
(bất đẳng thức tam giác) nên đường tròn B BI; cắt đường tròn
;
C CI hai điểm phân biệt
Gọi K giao điểm thứ hai hai đường tròn B BI; C CI; K cố định
0,5
+ Góc IBM góc tâm chắn cung IM IKM góc nội tiếp chắn cung IM đường tròn B BI; , suy
2
IKM IBM (1)
+ Góc ICN góc tâm chắn cung IN IKN góc nội tiếp chắn cung IN đường tròn
;
C CI , suy
IKN ICN (2)
0,5
Theo câu 2) B I Q C; ; ; thuộc đường tròn, suy
QBI QCI (hai góc nội tiếp chắn cung QI đường tròn ngoại tiếp tứ giác QICB) hay IBM ICN (3)
Từ (1), (2) (3), suy IKM IKN
0,5
Ta có IKM IKN hai tia KM KN; thuộc nửa mặt phẳng bờ IK nên KM KN
(6)Câu (2,0 điểm).
Xét gỗ ngang có hai đầu Một kiến từ đầu đến đầu 5 phút Khi đến hai đầu kiến rơi xuống đất Bây giả sử gỗ có 5 kiến với tốc độ hướng khác Nếu có hai kiến ngược hướng đụng đầu chúng quay ngược lại tiếp (Giả sử kích thước thời gian quay đầu kiến không đáng kể)
3 Hãy lý luận để chứng tỏ tất kiến thể rơi hết xuống đất
Đáp án Điểm
Xét kiến ngồi bên phải, có nhiều chọn
• Nếu kiến phía phải khơng đụng đầu kiến nào, bị rơi xuống đất
0,5
• Xét trường hợp kiến phía trái Nếu đụng đầu với kiến ngược chiều quay bên phải để tiếp, tất nhiên khơng đụng đầu với kiến nữa, rơi xuồng đất Trong trường hợp ngược lại, bên trái rơi xuống đất
• Tiếp tục lý luận cho kiến lại gỗ, rõ ràng đến lúc thảy kiến ngang rơi xuống đất
0,5
4 Cần thời gian để chắn kiến rơi xuống đất?
Đáp án Điểm
• Trong trường hợp “xấu nhất”, có kiến từ đầu đến đầu gỗ mà không đụng đầu phải kiến ngược chiều phải phút kiến rơi xuống đất Như khoảng thời gian để chắn khơng cịn kiến ngang khơng nhỏhơn 5 phút
0,5
• Ta quan sát kiến “từ xa”, không phân biệt kiến với nhau, chúng quay đầu ngược lại khơng khác chúng tiếp tục đi: chẳng hạn kiến A đụng đầu kiến B ngược lại, giống chúng tiếp tục ta “đổi tên” hai kiến cho thơi Nếu nhìn tổng thể khơng phân biệt kiến, việc có quay đầu lại hay khơng Và tất nhiên khơng cần quay đầu lại, thời gian tối đa cần thiết đểchúng rơi xuống hết phút
Vậy khoảng thời gian cần tìm 5 phút
0,5