Chuyên đề 14 phương trình đường và mặt lê hoành phò

Chuyên đề 14: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG VÀ MẶT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phƣơng trình tổng quát mật phẳng:  Mặt phẳng qua M  x0 ; y0  vecto pháp tuyến n   A, B, C  Ax  By  Cz  D  0, A2  B2  C  Hay A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   Phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn x y z    cắt trục Ox, Oy, Oz điểm khác gốc O a b b A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  Phương trình đường thẳng: qua M  x0 , y0 , z0  có vectơ phương  u   a, b, c  , a  b2  c   x  x0  at  Phương trình tham số: d:  y  y0  bt , t  R  z  z  ct  Phương trình tắc a, b, c  : x  x0 y  y0 z  z0   a b c - Đường thẳng giao tuyến mặt phẳng cắt nhau:    Nếu d     chọn VTCP n   n , n   Ax  By  Cz  D  Hoặc từ hệ  ta chọn A' x  B ' y  C ' z  D '  hai nghiệm  x;y;z  tương ứng tọa độ hai điểm thuộc giao tuyến - Đường vng góc chung đường thẳng chéo nhau:  Đường thẳng d1 qua M1 có VTCP u1  Đường thẳng d qua M có VTCP u    Cách 1: Đường vng góc chung d có VTCP u  u1 ; u2  Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 d  Tìm giao điểm A di (P) d qua A có VTCP u Cách 2: Gọi đoạn vng góc chung AB, A  d1 B  d dạng tham số theo t t' Tìm t t' hệ điều kiện:    AB.u1  Đường vng góc chung d đường thẳng AB     AB.u2  Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) tâm I  a,b,c  bán kính R  x  a   y  b   z  c 2  R hay: x2  y  y  Ax  2By  2Cz  D  0, A2  B2  C  D  Có tâm I   A,  B, C  bán kính R  A2  B2  C  D Phƣơng trình đƣờng tròn giao tuyến  x  y  z  2ax  2by  2cz  d    Ax  By  Cz  D  Giao tuyến mặt cầu (S) tâm I bán kính R mặt phẵng (P) đường trịn giao tuyến (C) có tâm H hình chiếu tâm mặt cầu I lên mặt phẳng (P) bán Kính r  R  d  t ;  P   CÁC BÀI TOÁN Bài tốn 16.1: Lập phƣơng trình mặt phẳng: a) Đi qua hai điểm A 1;1;-1 ,B  5;2;1 song song với trục Oz b) Chứa giao tuyến mặt phẳng x  y  z   0,3x  y  z   qua K  2;1; 1 Hƣớng dẫn giải a) Mặt phẳng (P) song song với Oz nên có phương trình: A ' x  B ' y  D '  với D '  0, A '2  B '2   A ' B ' D '   A ' B '  (P) qua A B nên:  5 A ' B ' D '  Chọn A '  1, B '  4 D '  phương trình (P) là: x  4y   b) Các điểm thuộc giao tuyến mặt phẳng có toạ độ  x; y; z  thoả mãn hệ x  y  z    3x  y  z     x   x  z   11  Cho y=0    M   ;0;  2  3x  z   z  11   x  x  y     11    M   ;  ;0  Cho z=0   2  3x  y   z   11  Ta lập phương trình (MNK): 15x-7y+7z-16=0 Bài tốn 16.2: Lập phương trình mặt phẳng a) Đi qua điểm G 1;2;3 cắt trục toạ độ điểm A, B, C cho G trọng tâm tam giác ABC b) Đi qua điểm H  2;1;1 cắt trục toạ độ điểm A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Hƣớng dẫn giải a) Giả sử A  a;0;0  ,B  0;b;0  C  0;0;c  Vì G 1;2;3 trọng tâm tam giác ABC nên: a00 0b0 00c  1;  2; 3 3 Suy a  3, b  6, c  Vậy phương trình theo đoạn chắn: x y z   1 b) Nếu mặt phẳng qua H  2;1;1 cắt trục toạ độ A, B, C tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc, H trực tâm tam giác ABC OH  mp  ABC   Vậy mp(ABC) qua H có vectơ pháp tuyến OH=  2;1;1 nên có phương trình:  x  2   y  1   z  1  hay x  y  z   Bài toán 16.3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M  5;4;3 cắt ba trục toạ độ ba điểm khác O, cách gốc toạ độ Hƣớng dẫn giải Mặt phẳng cần tìm có dạng đoạn chắn: x y z    1, a  b  c  a b c Điểm M  5;4;3 thuộc mặt phẳng nên: Với b  a, c  a, (1)     (1) a b c     a  12 a a a Với b  a, c  a, (1)    1 a  a a a Với b  a, c  a, (1)    1 a  a a a Với b  a, c  a, (1)      a  2 a a a Do bốn mặt phẳng cần tìm là: x y z x y z x y z x y z    1;    1;   ;    12 12 12 6 4 2 2 Bài toán 16.4: Tìm tập hợp điểm cách hai mặt phẳng a) x  y  z   3x  y  z   b) x  y  z   x  y  z   Hƣớng dẫn giải a) Điểm M  x;y;z  cách hai mặt phẳng cho khi: 2x  y  4z    16  3x  y  z   25   x  y  z   3x  y  z    x  y  z  5    3x  y  z  1 Vậy tập hợp điểm M hai mặt phẳng phân giác: 2 2    3 y  4   z  5   x-  5-5  y+    z+5 5- 3=0 3 x  5-3 0 x  y  z 1 b) Điểm M  x;y;z  cách hai mặt phẳng : 1 1  x  2y  z  1 1  x  y  z 1  x  y  z   x  y  z 1  x  y  z    x  y  z     x  y  z  5  2x  y  2z    x  y  z   Vậy tập hợp điểm M mặt phẳng song song cách có phương trình: x  2y  z   Bài tốn 16.5: Lập phương trình tổng qt mặt phẳng (P) qua điểm M  0;0;1 ,N  3;0;0  tạo với mặt phẳng Oxy góc π Hƣớng dẫn giải   Gọi vectơ pháp tuyến (P) n= 1;a;b  Ta có MN=  3;0;  1    Vì n.MN=3.1+0-b=0 nên b=3 Do n= 1;a;3  Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến k=  0;0;1  n.k Ta có: cos       a   26 n.k a  10  PT mặt phẳng (P) là:  x    26  y     z  1   x  26 y  3z   Bài tốn 16.6: Viết phương trình mp(P) chứa trục Oz tạo với mp (  ) có phương trình: x  y  5z  góc 600 Hƣớng dẫn giải Mặt phẳng (P) chứa Oz nên có dạng:   Ax  By   n p   A; B;0  , n  2;1;     Ta có: cos n p , n    2A  B A  B 1 2   cos 600   2 A  B  10 A2  B  A2  16 AB  6B   A1   Lấy B=1 ,ta có: A  16 A      A2  3 x  y  0; 3x  y  Vậy có hai mặt phẳng (P) phải tìm: Bài tốn 16.7: Cho tứ diện ABCD với A  3;5;-1 ,B  7;5;3 ,C  9;-1;5 ,D  5;3;-3 Viết phương trình mặt phẳng cách đỉnh tứ diện Hƣớng dẫn giải Một mặt phẳng cách hai điểm M, N qua trung điểm MN song song với MN Vì vậy, để mặt phẳng (P) cách bốn đình A, B, C, D hình tứ diện thì: - Hoặc mặt phẳng (P) qua trung điểm ba cạnh xuất phát từ đỉnh tứ diện Có bốn mặt phẳng qua trung điểm cạnh song song với mặt - Hoặc mặt phẳng (P) chứa hai đường trung bình tứ diện Có ba mặt phẳng qua trung điểm cạnh song song với cạnh đối chung mút Từ tìm bảy mặt phẳng thoả mãn u cầu đầu là: x  z   0; x  y  10  0; x  y  z   0;2 x  y  z  14 x  y  z   0;2 x  y  z  16  0;5x  y  z  28  Bài toán 16.8: Trong hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm M1 1;0;1 , M  2; 1;0  M  0;0;1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M mà khoảng cách từ M1 M đến (P) Hƣớng dẫn giải Mặt phẳng (P) qua M  0;0;1 nên có phương trình A  x  0  B  y    C  z  1  Hay Ax  By  Cz   A2  B2  C   Ta có khoảng cách AC C A2  B  C  2A  B  C A2  B  C Do A  A  B  C hay  A  A  B  C Suy C  A  B C  A  B  2 - Với C  A từ A A +B2 +C2  ta suy 2 A2  A2  B   A  B   A2  64B  2B  2  7B2    2A  B     A  0, B  nên C  : loại  16  Bài tốn 16.9: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng x  y  12 z   tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: x  y 12 y  D  với D  Hƣớng dẫn giải Mặt cầu cho có tâm I 1;2;3 có bán kính R  12  22  32   Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng x  y  12 z   nên có phương trình: với x  y  12 y  D  với D  Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu d  I ,  P    R  26  D  52  D  78 D  26 Vậy có hai mặt phằng thoả mãn yêu cầu là: 4x  3y 12z  78  4x  3y 12z  26  Bài toán 16.10: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua đường thẳng d: x  13 y  z   tiếp xúc với mặt cầu (S): x2  y  z  x  y  z  67  1 Hƣớng dẫn giải Tâm (S) I 1;2;3 , bán kính R  12  22  32  67  Đường thẳng d qua M 13; 1;0  N 12;0;  Phương trình(P): Ax  By  Cz  D  0, A2  B2  C  13 A  B  D   A  B  4C  (P) qua M, N nên:  12 A  4C  D   D  12 B  52C Do (P):  B  4C  x  By  Cz  12B  52C  Điều kiện (P) tiếp xúc (S): d  I,  P    R (*)  B  4C  B  3C  12 B  52C  B  4C   B2  C 9  B+5C = 2B2 +8BC+17C2  B2  2B  8C   B  4C B  2C Thế vào (*) rút gọn C  , ta mặt phẳng: x  y  z  28  0,8x  y  z  100  Bài tốn 16.11: Lập phương trình mặt cầu a) Có đường trịn lớn đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC với A  0;  2;1 ,B  1;0;1 ,C  0;0;  1 b) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A 1;2;  4 ,B 1;  3;1 ,C  2;2;3 ,D 1;0;4 Hƣớng dẫn giải: a) Gọi I  x; y; z  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC    Ta có: AB   1;2;0  , AC   0;2; 2  , AI   x; y  2; z  1     AB, AC    4; 2; 2     Nên I   ABC   AB,AC AI=0  2x-y+z-3=0  x   AI  BI 2 x  y  -3      y   Ta có  AI  CI   y  z  1  I  ABC 2 x  y  z         z  2 33 3  Nên tâm I  t ,  ,  bán kính R  AI  4  2 1   33  Vậy PT mặt cầu  x  1   y     z    4  4  b) Gọi I  a;b;c  tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện  IA2  IB  IA  IB  y  z  1  x  2      IA  IC   IA  IC   x  y  2   y   IA  ID  IA2  ID 2 x  y  -2 z      Do I  2;1;0  R  IA  26 Vậy (S):  x     y  1  z  26 2 Bài toán 16.12: Cho bốn điểm A  3;2;0 ,B  -1;3;2 ,C 1;0;1 ,D 0;-1;3 Tìm tập hợp điểm M không gian thoả mãn:        MA  MB  MC  MD  MA  MB  2MC Hƣớng dẫn giải 3 3   Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, I trung điểm AB thì: G  ;1;  ,I 1; ;1 4 2        Ta có MA  MB  MC  MD  4MG       MA  MB  2MC  2MI  2MC  2CI        Do MA  MB  MC  MD  MA  MB - 2MC  4MG  2CI  MG  CI  : không đổi Vậy tập hợp điểm M  x;y;z  mặt cầu tâm 2 3 3 25    x     y  1   x    4  16   Bài toán 16.13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu:  x  2t x -1 y z    (S): x  y  z  x  y    cà đường thẳng 1 :  y   t ,  : 1 1 z  t  2 Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện song song với hai đường thẳng 1  Hƣớng dẫn giải Mặt cầu (S) tâm I 1; 1; 2  , R   1 qua điểm A  0; 1; 0 có vectơ phương u =  2;  ; 1   qua điểm B 1; 0; 0 có vectơ phương v   1; 1;  1    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n   u, v    0; 1; 1   P  : y  z  m  Điều kiện tiếp xúc: d  l ,  P    R  m3   m  3 Vậy có mặt phẳng  P1  : y  z    0,  P2  y  z    Các điểm A, B không thuộc hai mặt phẳng nên mặt cần tìm Bài tốn 16.14: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa giao tuyến d mặt phẳng: x  y  z   , x  y  z   hợp với mp(Oxy) góc 60° Hƣớng dẫn giải Giao tuyến d mặt phẳng: x  y  z   0, x  y  z   qua M(1; 1; 1)    có VTCP: u  n1 , n2   (0 ;1 ; 1 ) ( P) : A( x 1)  B( y 1)  C( z 1)  0; A2  B2  C    Ta có VTPT n=  A,B,C  vng góc với u nên: B  C   C  B Do (P): Ax  By  Bz  A  2B   Mặt phắng (Oxy) có VTPT k  (0; 0; 1)   Ta có:   600  cos n, k     B A  2B 2   A2  2B2  A   B Từ tìm mặt phẳng (P): x  y  z    0, 2x  y  z    Bài tốn 16.15: Lập phương trình m ặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng  : x  y 1 z 1   tiếp xúc với hai mặt phẳng 2 (P): x  y  z   0, (Q) : x  y  z   Hƣớng dẫn giải Ta có (P), (Q) song song nên tâm I mặt cầu trung điểm đoạn AB với A, B giao điểm    mặt phẳng (A) cắt (P) A(2; 1; 1) , cắt (Q) l(-1 ; 3; 3) B(4;5;5) nên tâm 10 Vậy phương trình (S):  x  1  y   z  1  2 110 Bài toán 16.18: Lập phương trình tham số tắc đường thẳng d: a) Giao tuyến hai mặt phẳng:  P  : x  y  z   ;  P ' : x  z   b) Vng góc với mp(ABC) có A 1; 0; 1 , B  2; 3; 1 , C 1; 3; 1 trực tâm H tam giác ABC Hƣớng dẫn giải   a) (P), (P') có VTPT n  (2; 1; 1); n '  (2; 0; 1)     Gọi VTCP giao tuyến d là: u u  n,n'     1 1 2   ; ; Chọn u   n, n '     (1; 4; 2)   2   Các điểm thuộc giao tuyển d có toạ độ thoả mãn hệ: 2 x  y  z   Cho x = y=8,z=3  2 x  z    Do d qua M  0; 8; 3 , có VTCP u= (1; 4; 2) nên có phương trình tham số x  t x y 8 z 3   tắc là:  y   4t z;   z   2t  2x-y+z+5  y=z+2x+5  Cách khác: ta có  2x-z+3=0 z=2x+3 x  t  Đặt x  t y   4t , z   2t nên phương trình:  y   4t  z   2t  Ngồi cách tìm điểm VTCP, cách tạo tham số, ta tìm điểm giao tuyến b) Phương trình mặt phẳng   qua c vng góc với AB là: 1( x 1)  ( y  3)   x  y 10  Phương trình mặt phẳng (P) qua B vng góc với AC là: 3( y  3)  2( z  1)  y  z   12 Đường thẳng d qua trực tâm H tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng (ABC) giao tuyến         Đường thẳng d qua N 1; 3;  1 có vectơ phương u   n , n    6; 2;3  x   4t  nên có phương trình là:  y  t  z  1  3t  Bài toán 16.19: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm  x   4t  M  0; 1; -1 vng góc cắt đường thẳng  :  y  t  z  1  4t  Hƣớng dẫn giải  Đường thẳng  VTCP u  (4; 1; 4) Gọi H hình chiếu M lên  H (1  4t; t; 1  4t )  Ta có MH  (1  4t; t  ; 4t ) nên MH  Δ   u.MH   4(1  t )  1(t  1)  4(4t )   33t =  t =  13 -28 20  Do H  ; ;  hay (13; -28 ; 20) 33  33 33 33  Vậy phương trình tắc d x y 1 z    28 20 Cách khác: Đường thẳng d cần tìm giao tuyến mặt phẳng (M , ) : x  y  3z 1  mặt phẳng qua M, vng góc với  : x  y  z   Bài tốn 16.20: Viết phương trình hình chiếu vng góc 13 x   t  a) Đường thẳng d:  y   2t mặt phẳng toạ độ z   t  x  t  b) Đường thẳng d:  y   4t lên mặt phẳng (P): x  y  z    z   2t  Hƣớng dẫn giải a) Điểm M  x; y; z  thuộc d có hình chiếu lên mp(Oyz) M'  0; y; z  thuộc d', d' hình chiếu lên mp(Oyz) x   t  Vậy phương trình tham số d' là:  y   2t Tương tự hình chiếu lên z   x   t x   t   mp(Oxy), mp(Oxz) có phương trình tham số:  y   2t ,  y  z  z   t   b) Ta viết phương trình mặt phẳng (Q) qua d vng góc với mp(P)   Vectơ pháp tuyến của (Q) vng góc với u n p nên ta lấy    n  u, n p    2; 1;  3 Và (Q) qua d nên qua M  0; 8; 3 Vậy (Q) có phương trình: 2( x  0)  ( y  8)  3( z  3)  hay x  y  3z   Vì d khơng vng góc với (P) nên hình chiếu d (P) đường thẳng d' Đường thẳng d' giao tuyến (Q) (P) nên d' chứa điểm có toạ độ  x, y, z  x  y  z   thỏa mãn :  2 x  y  3z    x  8  4t  Đặt z = t x  8  4t , y = 15 – t Vậy d'  y  15  5t z  t  Cách khác: Tìm giao điểm A d (P) Thế toạ độ x, y, z vào  4 40 13   A ; ;   7 7    Mặt phẳng (Q) qua d, vng góc với (P) có VTPT: u '  u.n p   (2; 1; 3)  P : t   4t )  (3  2t )    t  14    Đường thẳng d' VTCP u '   n, n p   (4; 5; 1) Từ suy phương trình hình chiếu d' Bài tốn 16.21: Viết phương trình hình chiếu    : theo phương (  1  : x 7 y 3 z 9   1 x  y 1 z 1 lên mặt phẳng ( ) : x  y  z     7 Hƣớng dẫn giải Hình chiếu A giao tuyến  α  với  β  ,  β  mặt phẳng chứa    , song song với  1  Vì  β  chứa    nên qua A  7; 3;  có VTPT   n  u1 u2   8; 4;16  hay  2; 1;  Do  β  : 2( x  7)  1( y  3)  4( z  9)  hay x  y  z  53  x  y    Các điểm thuộc giao tuyến    có toạ độ thoả mãn:  2 x  y  z  53  Đặt z  t x  56  3t , y  59  2t  x  56  3t  Vậy phương trình tham số hình chiếu:  y  59  2t z  t  Bài toán 16.22: Cho đường thẳng  mp(P) có phương trình: x  y  z3   ( P) : x  z   2 Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm A A (P), nằm (P) vng góc với  Hƣớng dẫn giải  dạng tham số: x   1, y   2t, z   2t Thế x, y, z vào (P) t = nên A 1; 2; 3 Gọi d đường thẳng qua A, nằm (P) vng góc với  Khi đó, vectơ   phương u ' d phải vng góc với vectơ phương u'= 1; 2;   , đồng thời  vng góc với vectơ pháp tuyến n=  2; 0; , 1 (P), nên ta chọn:    u   u, n    2;3; 4  15 Vậy đường thẳng d: x 1 y  z    2 4 Cách khác: Gọi (Q) mặt phẳng qua A vng góc với  (Q) có vectơ pháp tuyến vectơ phương A nên có phương trình: x    y     z  3  hay x  y  z  11  Giao tuyến d (P) (Q) đường thẳng qua A, nằm (P) d  Δ (vì d nằm (Q) mà Δ   Q  )  x    t  Suy phương trình tham số d là:  y   17 z   t 3  Bài tốn 16.23: Viết phương trình đường thẳng qua A 1; -1; 1 cắt hai đường  y   2t x  t '   thẳng: d:  y  t d ' :  y  1  2t ' z   t z   t '   Hƣớng dẫn giải Ta có A khơng thuộc d d'.Đường thẳng d' qua điểm M 1; 0; 3 có vectơ  phương u=  2; 1;-1 Đường thẳng d' qua điểm M'  0; -1; 2 có vectơ phương u'= 1;-2; 1 Đường thẳng  cần tìm giao tuyến hai mặt phẳng: mp (A; d) mp (A; d') Mp(A; d) có vectơ pháp tuyến    n   AM , u   (3; 4; 2), mp(A; d') có vectơ pháp tuyến    n '   AM ', u '  (2;2;2) hay (1; 1; 1)   Đường thẳng  có vectơ phương  n, n '   6; 1;   qua A nên có  x   6t  phương trình tham số là:  y  1  t  z   7t   Ta có u.n      nên d cắt mp(A; d'), d cắt   Tương tự, u'.n  3    13  nên d' cắt mp(A; d), d' cắt  Vậy  đường thẳng qua A, cắt d d' 16 Cách khác: Ta tìm giao điểm B d' (A; d), đường thẳng  đường thẳng qua A B Lấy điểm M 1 + 2t; t;3-1 nằm d điểm M '  t '; 1  2t ';  t ' nằm d'   Ta tìm giá trị t t' cho điểm A, M, M' thẳng hàng, tức AM AM ' phương Bài toán 16.24: Viết phương trình đường thẳng vng góc chung AC BD biết A  4; 1;  , B  3; 3; 1 , C 1; 5; 5 , D 1; 1; 1 Hƣớng dẫn giải  PT đường AC  d1  : x   3t , y   4t , z   t có VTCP u  (3; 4; 1)  PT đường BD  d  : x   2k , y   2k , z  có VTCP u2  (2; 2; 0) Gọi đường vng góc chung    qua E thuộc d1 ,F thuộc d : E(4  3t;  4t;  t ); F (3  2k;  2k; 1)  FE  (1  3t  2k ; 2  4t  2k ;  t ) Ta có    t  17  FE.u1  26t  2k        t  k   FE u   k    17  53 37 73   45 45 17  Suy E  ; ;  , F  ; ;   17 17 17   17 17 17  Đường vng góc chung    có vectơ phương   8 56  FE   ;  ;  hay 1; 1;7   17 17 17  nên có PT là: x  45 45  t, y   t , z   7.t 17 17 Bài toán 16.25: Cho đường thẳng:  1  :  2  : x  y 1 z 1   7 x 7 y 3 z 9   Lập phương trình đường thẳng  3  đối xứng với 1  Δ  qua  Δ1  Hƣớng dẫn giải Lấy điểm M   2   M (t  7; 2t  3; t  9) 17 Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với  1  : 7  x      y  t  3   z  t    Ta có  1  : x  7k  3, y  2k  1, z  3k  nên giao điểm  1  (P) 3t 6t 9t   21t      1 ứng với k   31 31   31 Gọi M' đối xứng với M qua  Δ1  I trung điểm đoạn MM' nên có 74t 13t  11t  M'   1,   1,   7 31 31  31  Vậy đường thẳng  3  cần tìm chứa điểm M' nên có phương trình là:  x  1  11t   y  1  74t  z  7  17t  Bài toán 16.26: Viết phương trình đường thẳng qua M 1; -5; 3 tạo với hai đường thẳng Ox, Oy góc 60° Hƣớng dẫn giải  Gọi u   a; b; c  , a  b2  c2  vectơ phương đường thẳng cần tìm Các   đường thẳng Ox, Oy có vectơ phương i  1; 0;  , j   0; 1;  Theo giả thiết tốn thì: a a b c 2  a  b2   b a b c 2  cos 600  2 a  b2  c   4a  4b  a  b  c   2a  2b2  c2 Chọn C= a  1, b  1 Vậy có trường hợp xảy nên có đường thẳng có phương trình: x 1 y  z  x 1 y  z    ;   1 1 2 x 1 y  z  x 1 y  z    ;   1 1 1 18 Bài tốn 16.27: Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho điểm A 1; 5; 3 , B  4; 2; -5 , C  5; ;-1  D 1; 2; 4 a) Chứng tỏ bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng Lập phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm Tìm khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (ABC) b) Viết phương trình mặt phẳng vng góc với CD tiếp xúc với mặt cầu (S) c) Tìm bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu (S) mặt phẳng toạđộ Hƣớng dẫn giải    Ta có AB  (3; 3; 8), AC  (4;0; 4), AD  (0; 3;1)      [ AB, AC ]  (12; 20; 12) nên [ AB, A C ] AD  72  Suy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Giả sử mặt cầu (S) có phương trình: x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  Vì mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D nên ta có: 1  25   2a  10b  6c  d  a  1 16   25  8a  4b  10c  d  b  2     5  25   10a  10b  2c  d  c  1   16  2a  4b  8c  d  d  19 Vậy mặt cầu (S) là: x2  y  z  x  x  z  19  Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;  1 bán kính R = Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến    n   AB, AC   (12; 20; 12) hay (3; 5; 3) qua điểm A 1; 5; 3 nên có phương trình: 3(x - 1) - 5(y - 5) + 3(z - 3) = hay 3x - 5y + 3z + 13 = 13.1  5.2  3.4  13 18 43 5 3  b) Mặt phẳng   vng góc với CD có vectơ pháp tuyến CD   4; 3; 5 nên có Khoảng cách d ( D;( ABC ))  2  phương trình: 4 x  y  5z  d  Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) khi: 4.1    d 16   25 5 15  d 50  d  15  Vậy ta có hai mặt phẵng cần tìm với phương trình: 4 x  y  5z  15  25  19 c) Tâm mặt cầu (S) I 1; 2;  1 Khoảng cách từ I tới (Oxy) d1 = -1 =1 nên (S) cắt mp(Oxy) theo đường trịn có bán kính r1 = R -d12 = 25-1=2 Khoảng cách từ I tới mp(Oyz) d =1 nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường trịn có bán kính r2  R  d2  25   Khoảng cách từ I tới mp(Oxz) d3 =2 nên (S) cắt mp(Oxz) theo đường trịn có bán kính r3  R  d32  25   21 Bài toán 16.28: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm M 1; 2; 3 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho tứ diện OABC tích bé Hƣớng dẫn giải Giả sử A  a; 0; 0 , B  0; b; 0 , C  0; 0; c  với a > 0, b > 0, c >  P : x y z    Vì M nằm (P) nên    a b c a b c Ta có:  31 27 abc    33 1   27 a b c a b c abc abc Dấu "=" xảy = = =1 hay a = 3; b = 6; c = a b c abc Thể tích tứ diện OABC V  OA.OB.OC   27 6 Vậy thể tích nhỏ 27 Khi phương trình mặt phẳng (P) là: x y z   1 6 Bài toán 16.29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x  y  z   hai điểm A  3; 0; 1 , B(1; 1; 3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ Hƣớng dẫn giải Gọi A đường thẳng cần tìm; A nằm mặt phẳng (Q) qua A song song với (P) Phương trình (Q): x  y  z   K, H hình chiếu B  , (Q) 20 Ta có BK  BH nên AH đường thẳng cần tìm Toạ độ H(x; y; z) thoả mãn:  x 1 y 1 z      11  2  H  ; ;    9 9  x  y  2z     26 11  x  y z 1   AH=  ; ;-  Vậy phương trình  : 26 11 2  9 9 Bài tốn 16.30: Lập phương trình mặt phắng (P) chứa đường thẳng d:  x  t   y  1  2t hợp với mặt phẳng  Q  : x  y  z   góc bé z   t  Hƣớng dẫn giải Gọi  P  : Ax  By  Cz  D  0, A2  B2  C  Vì (P) chứa d nên qua M (0; 1; 2), N (1; 1; 3) :  B  2C  D   A  2B  C    A  B  3C  D   D  B  2C Do (P): (2B  C) x  By  Cz  B  2C   Mp(Q) có VTPT n '   2; 1; 2  Gọi φ góc mặt phẳng thì:   cos   cos n, n '    B 5B2 + 4BC + 2C2 Xét B = φ  90 Xét B  , đặt m= cos   2m  4m    m  1  C thì: B  Dấu "=" xảy m = -1 nên B  C , φ< 90° góc cần tìm Vậy  P : x + y - z + = Bài tốn 16.31: Trong khơng gian Oxyz cho tập hợp mặt phẳng  α m  có phương trình mx   m  1 y   m  1 z   a) Chứng tỏ mặt phẳng (ctm) qua đường thẳng cố định   x   2t  b) Cho đường thẳng d với phương trình tham số  y  3t  z  2  t  21 Chứng tỏ hai đường thẳng d  chéo c) Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d  chứa đường vng góc chung chúng Hƣớng dẫn giải a) Phương trình mặt phẳng (am) viết thành: y  z 1  m( x  y  z)  2 x  z   Đẳng thức với m nên ta suy ra:  x  y  z  Hệ phương trình xác định đường thảng A cố định giao tuyến mặt phẳng y  z 1  0, x  y  z      có VTCP n=  n1 ,n  =  4;4;-2  qua B  1;0;1 Vậy mặt phẳng  m  qua đường thăng cô định  :  b) d qua A 1; 0; -2  có VTCP u   2; 3;  1 x  y z 1   2    Ta có u , v  AB  nên d  chéo    c) Đường vng góc chung IJ có VTCP a  u , v    5; 8; 14  Mặt phẳng (P) chứa d IJ có VTPT    n p  u , a    50; 23; 31 qua A 1; 0; -2  nên có phương trình: 50  x  1  23  y    31    hay 50 x  23 y  31z 112     Mặt phẳng (Q) chứa  nên IJ có VTPT n Q =  v, a    30; 66; 27  qua B  -1; 0; 1 nên có phương trình: 10  x  1  22  y     z  1  hay 10 x  22 y  z   Bài toán 16.32: Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng A có phương trình : x 1 y 1 z   1 a) Viết phương trình hình chiếu A mặt phẳng ( Oyz) b) Chứng minh mặt phẳng x + 5y + z + = qua đường thẳng  c) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt   ' Hƣớng dẫn giải 22 x   a) Đường thẳng A có phương trình tham số là:  y  1  t  z  3t   b) Mặt phẳng   cho có vectơ pháp tuyến n= 1; 5; 1    Đường thẳng  có vectơ phương u   2; 1; 3 Ta có n u  nên  song song nằm mặt phẳng   Vì điểm M 1; -1; 0 A   (a) nên A nằm   c) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hình chiếu d1 đường thẳng  có phương trình: x + 2y + = hình chiếu d'1  ' có phương trình x - y = Giao điểm hai  1  đường thẳng d1 d'1 I   ; ;0  Khi đường thẳng qua I, song song với Oz  3  cắt hai đường thẳng   x      ' Phương trình đường thẳng là:  y    z  t   BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 16.1: Lập phương trình mặt phẳng a) Đi qua hai điểm A  0; 1; 1 , B  1; 0; 2 vng góc với mặt phẳng (P): x - y + z + = b) Chứa trục Oz qua điểm E  2; 1;  Hƣớng dẫn    a) Chọn n  AB; n p Kết y  z   b) Kết 2y + z = Bài tập 16 2: Lập phương trình mặt phẳng a) Đi qua điểm M  2; -1; 2 , song song với trục Oy  P  : x  y  3z   b) Đi qua điểm M  3; -1; -5 đồng thời vng góc với hai mặt phẳng 3x  y  z   5x  y  3z   23 Hƣớng dẫn    a) Chọn VTPT n  j;n p Kết 3x  z   b) Kết x  y  z  15  Bài tập 16 3: Cho tứ diện với đỉnh A  2; 0; 0 , B  0; 4; 0 , C  0; 0; 6 , D  2; 4; 6     Tìm tập hợp điểm M không gian cho MA+MB+MC+MD =4 Hƣớng dẫn Gọi M  x;y;z  Kết mặt cầu  x  1   y     z  3 2  Bài tập 16 4: Lập phương trình mặt cầu: a) Đi qua ba điểm A  0; 8; 0 , B  4; 6; 2 , C 0; 12; 4 có tâm nằm mp(Oỵz) b) Cầu có tâm hình chiếu H gốc O lên đường thẳng AB bán kính R = , với A  3; 0;  , B  0; 4;  Hƣớng dẫn a) Tâm I nằm mp(Oyz) nên I  0;b;c  Kết x   y     z  5  26 2 2 48   36   b) Kết  x     y    z  25   25   Bài tập 16 5: Lập phương trình mặt cầu: a) Có tâm thuộc trục Oy tiếp xúc với hai mặt phẳng: x  y  z   0, x  y  z   x b) Đi qua A  2; 0; 1 , B 1; 0; 0 , C 1; 1; 1 có tâm thuộc mặt phẳng  P : x  y  z   Hƣớng dẫn a) Tâm I thuộc trục Oy nên I  0;b;0  Kết x   y    z  b) Kết  x    y   z 1  Bài tập 16 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d1 : x 1 y  z  x  y  z 1     d : 3 3 2 24 Chứng to hai đường thẳng cho nằm mặt phẳng, viết phương trình mặt phẳng Hƣờng dẫn Chứng minh đường thẳng cắt Kết x  16 y  13z  31  Bài tập 16 7: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d giao tuyến mặt phẳng (P): x  y  5z   0, (Q) : x  y  z   vng góc với mặt phẳng  R  : 3x  y  z   Hƣớng dẫn Đường thẳng d giao tuyến mặt  P : x+ 2y + 5z + = 0,  Q : x - y - 3z + = nên có VTPT    n  n p ; nQ Kết x  y  13z  24  Bài tập 16 8: Cho đường thẳng d mp(P) có phương trình:  x   t  11  d  y    t , ( P) : x  y  z    z  t   Viết phương trình đường thẳng d' hình chiếu vng góc d mp(P) phương trình đường thẳng d1 hình chiếu song song d mp(P) theo phương Oz Hƣớng dẫn Tìm giao điểm A d mp(P)  13  x   t x  t     Kết  y    t ;  y  t   10 z  t  z    2t    Bài tập 16 9: Lập phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng  d1  : x 7 y 3 z 9 x  y 1 z 1      d  : 1 7 Hƣớng dẫn 25 Gọi đoạn vng góc chung AB với A thuộc di tham số t B thuộc d tham số t’ Kết x 7 y 3 z 9   2 Bài tập 16 10: Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng y  z  cắt đường thẳng: x  1 t x   t '   d1 :  y  t , d  y   2t '  z  4t z    Hƣớng dẫn Tìm giao điểm A, B đường thẳng d < d2 với mp(P)  x   4t  Kết  y  2t z  t  Bài tập 16 11: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d1 cắt hai đường thẳng d d , biết phương trình : x   x  4  5t x 1 y  z    d1  y  2  4t ; d :   ; d3  y  7  9t ' z  1 t z  t '   Hƣớng dẫn Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d d BC với B thuộc d1 tham số t c thuộc d tham số t’ x   Kết d:  y  2  z   t  26