Chuong 5 hh khong gian phan3

CHƯƠNG 05 (tiếp theo) BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG ĐỀ SỐ Bài 1: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A ' ABC  lên mặt phẳng  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng a AA ' BC Khi thể tích khối lăng trụ là: a3 a3 a3 A 12 B C a3 D 24 Lời giải C' Gọi M trung điểm BC, dựng MH vng góc với AA ' Suy Đặt AH  x, ta có: MH d  BC , A ' A   A ' A  x2  a B' A' a H a A ' A.MH  A ' G AM  x  Từ a a2 a3 V  12 Vậy C M B A Chọn A a Bài 2: Cho tứ diện ABCD với BC a, cạnh cịn lại  góc tạo hai mặt  ABC   BCD  I, J phẳng Gọi trung điểm cạnh BC, AD Giả sử hình cầu đường IJ cos  là: kính tiếp xúc với CD Giá trị C 2 A 3 B  D Lời giải Gọi O trung điểm IJ F điểm tiếp xúc hình cầu đường kính IJ đường thẳng CD Hình cầu đường kính IJ tiếp xúc với CD khoảng cách từ O đến CD nửa độ dài IJ Ta có AI DI  a a Vì FC CI hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm nên FC=CI= DJ DF  a a  2 Tương tự, ta có Tam giác ADI cân có IJ đường trung tuyến nên tam giác IDJ vuông J a 3  JD 6  sin sin JID    DI a 2 Suy ra: Do vậy, cos =2    Chọn B  ABC  Bài 3: Cho hình chóp SABC với SA vng góc với mặt phẳng  BC a 3, BAC 60 Gọi H , K hình chiếu A lên SB SC Mặt cầu qua điểm A, B, C , H , K có bán kính bằng: A a B 2a C 3a D.Khơng đủ kiện để tính Lời giải ABC  Gọi AD đường kính đường trịn  Suy ra, AC  DC  CD   SAC  S hay AK  DK S K K H A C 600 D B H A C 600 B Tương tự, AH  HD Suy mặt cầu qua điểm A, B, C , H , K có đường kính AD  BC 2a sin 600 Chọn A ABC  Bài 4: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, góc SC mặt phẳng  450 Hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  điểm H thuộc AB cho HA 2 HB Biết a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC: a 210 a 210 a 210 A 30 B 20 C 45 CH  a 210 D 15 Lời giải d SA, BC  d  B,  SAD   1,5d  H ,  SAD   + D đỉnh hình bình hành ABCD thì:  d H , SAD   HI + Kẻ HE vng góc AD, E thuộc AD Kẻ HI vng SE, I thuộc AE   HI  + Tính Chọn A a 210 30 ABC  , Bài 5: Cho hình chóp S ABC có đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng  tam giác ABC tam giác cạnh a, SB 2a Tính theo a khoảng cách từ trọng tâm G tam giác ABC đến SBC  mặt phẳng  a 15 A 15 a 17 B 15 a 19 C 15 a 23 D 15 Lời giải S Gọi M trung điểm BC, ta có Kẻ đường cao AN tam giác SAM, AN   SBC  AN  BC , AN  SM nên SBC  Khoảng cách từ A đến  d  A;  SBC    AN N 1 1  2  2  2 AS AM 3a 3a 3a Ta có: AN a 15  AN  A AN   SBC  GH   SBC  Kẻ GH / / AN ; H  SM ; nên SBC  d G; SBC   GH Khoảng cách từ G đến    GH MG 1 a 15    GH  AN  15 Ta có: AN AM C H G M B SBC  d  G;  SBC    Vậy khoảng cách từ G đến  a 15 15 Chọn A ABC  , SA  AC 5a, AB a, Bài 6: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng   BAC 1200 Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  381 a A 127 382 a B 127 385 a C 127 Lời giải 387 a D 127 S H A C M B Kẻ AM  BC , AH  SN ,  M  BC , H  SM  BC   SAM  , AH   SBC  , Ta có AM  BC , BC  SA nên suy AH  BC Vậy ta có khoảng cách SBC  d A, SBC    AH từ A đến mặt phẳng    Áp dụng định lý cô sin tam giác ABC ta có: BC  AB  AC  AB AC.cos1200 31a  BC a 31 Diện tích tam giác ABC S ABC 3a  AB AC.sin120  2S 93 S ABC  AM BC  AM  ABC  a BC 62 Mặt khác 1 127 381     AH  a 2 2 AM AS 75a 127 Ta có AH Khoảng cách từ A đến mặt phẳng Chọn A  SBC  d  A,  SBC    381 a 127 ABC  , AB 2a, Bài 7: Cho hình chóp tam giác S ABC có đường thẳng SA vng góc mặt phẳng  AC 3a, BC 4a Góc mặt phẳng  SBC  mặt phẳng  ABC  600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC 45 5a A 32 45 a 32 45 3a B 32 45 11a 32 D C S Lời giải Xét tam giác ABC, áp dụng định lý cô sin: cos B  BC  AB  AC 16a  4a  9a 11   2.BC AB 2.4a.2a 16 3a A 2a H B C 4a 0  Với  B  180 , suy ra: 15  11  sin B   cos B      16  16  Ta kẻ đường cao AH tam giác ABC, ta có: 2a sin B  AH  AH  AB.sin B AB 15 15a  16 Do diện tích tam giác ABC là: 1 15a 15a S ABC  AH BC  4a  2 BC  AH , BC  SA  BC   SAH  , BC  SH Vì  ABC  nên góc SHA góc mặt phẳng  SBC  60 Xét tam giác SAH ta có: tan 600  SA 15a 5a  SA  AH tan 600  3 AH 8 1 15a 5a 45 3a V  S ABC SA   3 32 Vậy thể tích khối chóp S ABC là: Chọn B SAB  ,  SAC  , Bài 8: Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC tam giác cạnh a Các mặt bên   SBC  tạo với đáy góc 300 , 450 , 600 Tính thể tích V khối chóp SABC Biết ABC  hình chiếu vng góc S mặt phẳng  nằm bên tam giác ABC V a3   3 A Lời giải V B a3  4 V  C  ABC  HD  AB,  D  AB  , HE  AC  E  AC  , HF  BC  E  BC  Kẻ Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng a3  4  V D a3  4  S B C F E H D A Khi ta có: Ta có SABC  HD  a SH SH SH SH SH ; HE  SH ; HF   0 tan 30 tan 45 tan 60 3 suy ra: 1  a2 3a  SH    a   SH   3 4    3a a2 a3 V  4 4     Vậy Chọn D Bài 9: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, góc mặt bên cos = Mặt phẳng  P  qua AC vng góc với mặt phẳng  SAD  chia phẳng đáy  thỏa mãn khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện gần với giá trị giá trị sau: A 0,11 B 0,13 C 0, D 0, Lời giải S ABCD hình chóp tứ giác SO   ABCD  S Gọi N trung điểm CD CD  SN , CD  ON       SCD  ,  ABCD   SNO  SCD    ABCD  CD  AC  BD  AC   SBD   AC  SO CM  SD  Kẻ Ta có: M  AC  SD  SD   ACM    ACM    SAD  A P ACM  nên mặt phẳng    D + Xét tam giác SON vng N có: N O B C SN  ON 3a   cos SNO 2  3a   a  SO  SN  ON       a    2 + Xét tam giác SOD vng O có: 2 2 SD  SO  OD   a 2 a 10 a `       1 SN CD 3a 10 S SCD  CM SD  SN CD  CM   2 SD 10 Ta có:  3a 10  a 10 DM  CD  CM  a     10 10   Xét tam giác MCD vng M có: a 10 VM ACD VMACD DM DA DC 10 1      VMACD  VSABCD VSABCD 2VSACD DS DA DC a 10 10 10 Ta có: Mặt phẳng  P  chia khối chóp 2 S ABCD thành hai khối M ACD S ABCM  VSABCD VMACD  VSABCM  VSABCM  VSABCD 10 VMACD  0,11 V Do đó: SABCM Chọn A Bài 10: Thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, có cạnh a 13 13 a A 162 13 13 a B 216 AB  13 13 a C 648 a cạnh lại 13  a3 162 D Lời giải Gọi I trung điểm cạnh CD  AI  CD a , AI BI   AB  1  BI  CD  Theo đề ta có   ABI  mặt phẳng trung trực cạnh CD S Gọi M giao điểm BI với mặt cầu   ngoại tiếp tứ diện ABCD S ABM  Suy đường tròn lớn   đường tròn  BCD  S BCD  Mặt phẳng  cắt   theo đường tròn  A D B I C M qua M , BM đường kính a 2a  sin 60  1  ABI  BM  Từ  Suy ABM 60 AM  AB  BM  AB.BM cos600 a 13 AM a 13  R  12 2sin 60 13 13  V   R3  a 162 Chọn A SAB  Bài 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên  tam giác SM  MC vng góc với đáy Gọi M điểm thuộc cạnh SC cho Tính thể tích hình chóp M ABC a3 A a3 B 36 a3 C 18 a3 D 24 Lời giải  SAB    ABCD  ;  SAB    ABCD   AB ; SH   SAB  Ta có: S SH  AB (là đường cao SAB ) SH   ABCD  Suy ra: a SH  ( ABC cạnh a ) Tính :  S ABCD a M B H N A 1 a3 VS ABCD  Bh  S ABCD SH  3 Tính: 1 a3 VMABC  VSABC  VSABCD  36 C D Chọn B Bài 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA a, hình chiếu AC , SA  AH  ABCD  vng góc đỉnh S mặt phẳng  điểm H thuộc đoạn đường cao tam giác SAC Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a a 14 a 14 S A 48 B 24 a D 14 C M Lời giải A D O B AC Gọi CM C a 14 16 a a AM AH AH AC a   AM    SA a Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có: AC SA a a 1 a a a2  MC  AC  AM  a      S SMC  SM MC    2 2 1 a a a 14 VSMBC  BO.SSMC   3 48 2   Chọn A Bài 13: (Hình học khơng gian) Cho tứ diện ABCD M , N , P thuộc BC , BD, AC cho BC 4 BM , BD 2 BN , AC 3 AP Mặt phẳng  MNP  cắt AD Q Tính tỷ số thể tích hai phần khối MNP  tứ diện ABCD bị chia mặt phẳng  A B 13 C 13 Lời giải D A Gọi I MN  CD, Q PI  AD, kẻ DH / / BC  H  IM  , DK / / AC  K  IP  ID DH BM    IC CM CM IK DK ID DK       DK  IP CP IC AP 3 APQ DKQ AQ AP AQ      DQ DK AD Suy NMB NDH  VANPQ Đặt V VABCD Ta có: VANCD P Q K I H B AP AQ   ; AC AD N M C VANCD VDACN DN 1     VANPQ  V VABCD VDABC DB 10 VCDMP CM CP 1 1    VCDMP  V  VV ABMP  VDABMP  V  VCDMP  V VCDBA CB CA 2 2 VABMNQP 7  VABMNQP VANPQ  VN ABMP  V   20 VCDMNQP 13 MNP   Vậy mặt phẳng chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích 13 Chọn B D Bài 14: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với đáy, SA a Đáy ABCD hình thang B, AB BC  AD a vuông A Gọi E trung điểm AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD R A Lời giải a 2 B R a C R 114 a D R a 26 S x R K I R E A a H a B D C Gọi H trung điểm CD d đường thẳng qua H vng góc với đáy Gọi I R tâm ASIH  bán kính mặt cầu ngoại tiếp S CDE Suy I thuộc D Đặt IH x Trong mp  kẻ đường thẳng qua I song song với AH cắt AS K Ta có: ID IH  HD x  a2 IS IK  KS  AH  KS  AC  CH  KS 2a  a2  a 6 x   2 a2 a2 6a x  2a   a  x  x  2 Suy ra: 114a R Vậy bán kính mặt cầu   Chọn C Bài 15: Cho bát diện đều, tính tỷ số thể tích khối cầu nội tiếp thể tích khối cầu ngoại tiếp hình bát diện A 1 C B 2 D 3 Lời giải Gọi cạnh bát diện a; bát diện có mặt chéo hình vng; độ dài đường chéo AC BD SS ' a 10 S Gọi J chân đường cao hình chóp S ABC ; H , K L hình chiếu J cạnh AB, BC CA    Suy SHJ , SLJ SKJ góc  ABC  với mặt SAB  ,  SAC  ,  SBC  phẳng  tạo mặt phẳng    Theo giả thiết ta có: SHJ SLJ SKJ , suy tam giác vuông SJH , SJL, SJK Từ đó, JH  JL JK Mà J nằm tam giác ABC nên J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Áp dụng cơng thức Hê- rơng, ta tính diện tích tam giác ABC S 204 Kí hiệu P nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường trịn A C y=9 K z=17 J L H x=8 x=8 B S 204  6 P 34 nội tiếp ABC Ta có Đặt x BH BL, y CL CK , z  AH  AK r K z A y z y J  x  y 7   x  z 25  y  z 26 Ta có hệ phương trình:   x; y; z   8;9;17  H Giải hệ phương trình ta JB  JH  BH  62  82 10  SBJ SB, ABC y=9 z=17 450 ,    Ta có suy SJB SJ  JB 10 tam giác vuông cân J V  SJ S ABC 680 Thể tích V khối chóp S ABC Chọn A 13 x x B L C ĐỀ SỐ Bài 1: Một hình hộp có mặt hình thoi có góc 60 cạnh a Tính thể tích hình hộp a3 A a3 B a3 C a3 2 D Lời giải Ta có: AB  AD BD a; AA'=A'B=A'D=a  A ' ABCD tứ diện  Chân đường cao A ' H trùng với tâm tam giác ABD 2 a a  HA HB HD  AO   3 3a 2 a  A ' H  A ' A2  AH a   a  A'H  3 2a V Từ tìm Chọn B Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC, mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích khối chóp V1 ? SABCD Tìm giá trị nhỏ V S M P A D N C B A B C Lời giải Đặt x SM SN ;y ,   x, y 1 SD SB 14 D V VSABC VSADC VSABD VSBCD  Khi ta có: V1 VSAMPN VSAMP  VSANP VSAMP V     SANP V V 2VSADC 2VSABC Ta có: V  SM SP SN SP        x  y   1  SD SC SB SC  V V1 VSAMPN VSAMN 1     SMNP   xy  xy    V 2VSABD 2VSBCD   Lại có: V Từ  1 ,     x  y   x x xy  y  ,  y 1  1  x  x  3x  V1 3 x 3x 1   xy  x   f  x  ,   x 1 x   x  1 2  Từ   suy ra: V 1   2 V y  f  x  ,   x 1  f  x   f      V x 1 2   3 Khảo sát hàm số: Chọn B Bài 3: Nếu tứ diện có cạnh có độ dài lớn thể tích tứ diện lớn bao nhiêu? A B C D Lời giải Giả sử tứ diện ABCD có cạnh lớn AB , suy tam giác ACD BCD có tất cạnh khơng lớn Các chiều cao AF BE chúng không lớn CD a 1 1 a2 AH AF   Chiều cao hình tứ diện a2 , A (do tam giác AHF vng H có AF cạnh huyền) Thể tích khối tứ diện là: 1 1  a2  V  S BCD AH  BE.CD AH  a     a 4 a  3   24 a   a2  B D H Để tìm giá trị lớn V ta xét biểu thức Vì a 1 nên Chọn C a   a  3 V 1 a   a2   24 F C Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, tam giác SAB nằm mặt ABCD  phẳng vng góc với  Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 15 a A a 21 B a C a 21 D Lời giải R S    RntSAB    RntABCD  2 a 21  AB       Trong đó: + RntSAB bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB + RntABCD bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD SAB    ABCD   AB + Chọn D Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc ABC  A ' lên mặt phẳng  trùng với tâm G tam giác ABC Biết khoảng cách AA ' a BC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a3 a3 a3 V V V 12 A B C a3 V 36 D Lời giải B  BC  A ' AM   Gọi M trung điểm Gọi H , K hình chiếu vng góc G, M AA ' Vậy KM đoạn vng góc chung AA’ BC, đó: d  AA ', BC  KM  A' B' K a H KM a   GH  KM  GH a A'G  AA 'G vuông G, HG đường cao, A AGH AMK  VABC A ' B 'C ' C' C G M B a3 S ABC A ' G  12 Chọn C Bài 6: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, đường thẳng SA vng góc với P mặt đáy SA 2a Gọi   mặt phẳng qua B vuông góc với SC Khi diện tích thiết P diện hình chóp S ABC cắt mặt phẳng   là: a2 A 10 a 15 B a 15 C 15 Lời giải 16 a 15 D 20 Gọi M trung điểm AG S Kẻ BN vng góc SC N Khi đó: Thiết diện cần tìm tam giác BMN vuông M N M A MN CM a CMN CSA    MN  SA CS Ta có: a 15 Vậy: Diện tích tam giác BMN 20 C B Chọn D Bài 7: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BC 2a Tam giác SAB có góc ASB 600 , SB a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt  SAC  phẳng A a Lời giải B 2a 19  SAB    ABC  ,  SAB    ABC   AB; BC  AB  SAB  Trong mp  kẻ BH  SA Trong tam giác BCH kẻ BK  CH BK   SAC  Ta có: SAC  Vậy khoảng cách từ B đến  BK BH SB.sin 600  a ; Xét tam giác vuông CBH, ta có: C Vậy Chọn B 19 D BC   SAB  C K A B 1    BK 2a 2 BK BH BC 19 d  B,  SAC   2a a H S 19 17 2a 16 Bài 8: Cho khối trụ tam giác ABCA1 B1C1 có đáy tam giác cạnh a, A1 A 2a A1 A tạo với mặt ABC  phẳng  góc 60 Tính thể tích khối tứ diện A1 B1CA a3 A a3 B a3 C a3 D Lời giải A1 C1 B1 A C H K B ABC  Gọi H hình chiếu A1 mặt phẳng   Khi A1H  A1 A.sin A1 AH 2a.sin 60 a a 3a  4 nhận thấy khối lăng trụ chia làm ba khối chóp Mà 1 VB1 ABC  VLT ' VB1 ABC  VLT CA B C B ABC 3 Khối chóp 1 có ; khối chóp có a VA1B1AC  VLT  A B CA Khối chóp 1 VLT  A1 H S ABC a Chọn A Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SAB  góc SC với mặt phẳng  30 Gọi M điểm di động cạnh CD H hình chiếu vng góc S đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích khối chóp SABH đạt giá trị lớn bằng: a3 A a3 B a3 C Lời giải  SAB  Ta có góc SC mặt phẳng  CSB 30 Trong tam giác SBC có SB BC.cot 30 a 2 Trong tam giác SAB có SA  SB  AB a 18 a3 D 12 1 a VS ABH  S ABH SA  HA.HB.a  HA.HB 3 Thể tích khối chóp S ABH là: 2 2 Ta có HA  HB  AB a theo bất đẳng thức AM  GM ta có: a2  Đẳng thức xảy HA HB  ABM 45  M D a a a a3 VS ABH  HA.HB   6 12 Khi a HA2  HB 2 HA.HB  HA.HB  Chọn D Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho 15 15 3 5 V V V V 18 54 27 A B C D Lời giải Đặt R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Dựng hình bên với IG trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IG’ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB S K I G' C A G H B Ta có: G'H  3 ; GH   IH  6 R  IH  HA2  15 15  V   R3  54 Do vậy, Chọn B Bài 11: Bài thể tích liên quan đến cực trị: 19 Cho hình chóp S ABCD, SA đường cao, đáy hình chữ nhật với SA a, AB b, AD c Trong SDB  mặt phẳng  lấy G trọng tâm tam giác SDB , qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS M, cắt AMN  cạnh SD N, mp  cắt SC K Xác định M thuộc SB cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhỏ Hãy tìm giá trị lớn nhỏ A C abc abc ,VSAMKN   abc abc  ,VSAMKN   10 VSAMKN  max  VSAMKN  max B abc abc , VSAMKN   10 abc abc  , VSAMKN   10 11 VSAMKN  max  D VSAMKN  max Lời giải S K M G N A D O B C Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD SG  SO Ta có: K  AG  SC K trung điểm SC VSMAK SM SA SK SM SM SM   VSMAK  VSBAC  VSBAC  a.b.c VSBAC SB SA SC SB SB 12 SB SN VSNAK  a.b.c 12 SC Tương tự  SM SN  VSAMKN     a.b.c 12  SB SC  Do đó: 20