Chuong 5 hh khong gian phan01

CHƢƠNG 05 BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN …………………………………………………………………… Chủ đề Thể tích khối đa diện       Thể tích khối chóp Thể tích khối lăng trụ Thể tích khối hộp chữ nhật Thể tích khối lập phương Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện khối chóp tam giác Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Mặt cầu – khối cầu     Định nghĩa mặt cầu Cơng thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Mặt nón khối nón  Định nghĩa mặt nón  Hình nón khối nón  Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Mặt trụ - khối trụ     Định nghĩa mặt trụ Hình trụ khối trụ Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Ứng dụng hình học khơng gian giải toán thực tế  Bài tập áp dụng  Lời giải chi tiết Đề ôn tập chƣơng Lời giải chi tiết CHƢƠNG 05 BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Trước vào phần tập bạn đọc cần trang bị cho kiến thức tối thiểu: Thể tích khối chóp Cơng thức tính: V  B.h với B diện tích đáy, h chiều cao khối chóp h B Thể tích khối lăng trụ V  B.h với B diện tích đáy, h chiều cao lăng trụ h B Thể tích khối hộp chữ nhật V  a.b.c với a, b, c ba kích thước a c b Thể tích khối lập phƣơng V  a3 với a độ dài cạnh a a a Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện khối chóp tam giác S A' C' B' C A B Cho khối tứ diện SABC A ', B ', C ' điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC SA SB SC  VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' Chúng ta vào ví dụ minh họa để thấy có liên quan đến thể tích khối đa diện khó, địi hỏi khả vận dụng cao BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M , N trung điểm A ' B ' BC Mặt phẳng  DMN  chia khối lập phương cho thành hai khối đa diện Gọi  H  khối đa diện chứa đỉnh A,  H ' khối đa diện cịn lại Tính tỉ số A V H  V H '  37 48 B V H  V H '  55 89 C V H  V H '  V H  V H ' D V H  V H '  Lời giải A' M B' I K C' D' A B J N D C AN  ND  J , JM  BB '  K Ta có: BK  2B ' K ; I  A ' D ' Ta có: A ' I  D ' D ' Suy thiết diện KMIDN V H   VABA' KMIDN  VD ABKMA'  VD.BKN  VD.MA' I  a a  1 a 2a 1 a a 55a  a  a    a  a    2 3 2 144  V H ' V 55a 89a 55 a    H  144 144 VH ' 89 Chọn B Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 4, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm cạnh SD, CD, BC Thể tích khối chóp S ABPN x, thể tích khối tứ diện CMNP y Giá trị x, y thỏa mãn bất đẳng thức đây: A x2  xy  y  160 x  xy  y  109 C x2  xy  y  145 B S D x  xy  y  125 M Lời giải A D K N H B P C + Gọi H trung điểm AB Do ABC  SAB    ABCD   SH   ABCD  AB 2 + Ta có: S ABPN  S ABCD  S ADN  SCND AD.DN CN CP 4.2 2.2  AB    42    10 2 2 1 20 20  VS ABPN  S ABPN SH  10.2  x 3 3 + Gọi AN  HD  K  ta có MK đường trung bình DHS Xét ABC đều: SH   HK  1 1 1 2.2 3 SH  VCMNP  SCNP MK  CN CP .SH   y 3 2 2 3 Thay vào đáp án Chọn C Bài 3: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh C SA vng góc  với mặt phẳng  ABC  , SC  a, SCA   Xác định góc  để thể tích khối chóp SABC lớn C   arcsin A   arcsin B   arcsin D   3arcsin Lời giải BC  AC  a.cos ; SA  a.sin  1 VSABC  S ABC SA  AC.BC.SA  a sin .cos 2 6  a sin  1  sin   Xét hàm số: f  x   x  x3 khoảng  0;1 Từ ta thấy khoảng  0;1 hàm số f  x  liên tục có điểm cực trị điểm cực đại, nên Ta có: f '  x    3x , f '  x    x   hàm số đạt GTLN hay:     max f  x   f  hay   arcsin , 0      x 0;1 2   3 3 Chọn A Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều, SC  SD  a Tính thể tích khối chóp S ABCD A.V  a3 2 B V  a3 C V  a3 Lời giải D V  a3 Gọi I trung điểm AB;J trung điểm CD từ giả thiết ta có: IJ  a; SI  a a 11 a SJ  SC  JC  3a   S M D A J I H N C B Áp dụng định lý cosin cho tam giác SIJ ta có: 3a 11a  IJ +IS  SJ 4  a  0 cos S IJ   2.IJ.IS a a2 2.a IJ tù Từ giả thiết tam giác SAB tam giác SCD cân Suy ra, tam giác SIJ tam giác có S đỉnh S Gọi H hình chiếu S  ABCD  , ta có H thuộc IJ I nằm HJ tức tam   900 giác vuông SHI có H   2 a2      ke bu  sin SIH   SIJ va SIH 3   a  a Xét tam giác SHI ta có SH  SI sin SIH 3 1 a a Vậy VS ABCD  SABCD SH  a  3   cos S Góc I nhọn cos I  cos SIH IJ  Chọn C Bài 5: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi  P  mặt phẳng qua A song song BC vuông góc với  SBC  , góc  P  với mặt phẳng đáy 300 Thể tích khối chóp S ABC là: A a3 24 C a3 3a D S B a3 F Lời giải H Tổng qt: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi  P  mặt phẳng E C A x G B M qua A song song BC vng góc với  SBC  , góc  P  với mặt phẳng đáy  a3 cot  24 3 a cot 30 a Áp dụng này: VS ABC   24 24 a + ABC  SABC  Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC  + Gọi G trọng tâm + Gọi  P    SBC  =EF  EF//BC   P    SBC  =Ax với Ax / / EF / / BC + Gọi M trung điểm BC, SM  EF  N Ta có: AM  BC, SG  BC  BC   SAM   AN  BC  AN  Ax   300 Mà AM  BC, BC / / Ax  AM  Ax    P  ,  ABC    NAM   NAM    (cùng phụ với SMA  ) Ta có: GSM a a 3 2   AM cot 300  Xét SGM vng G có: SG  GM cot GSM Vậy: VS ABC 1 a a a3  SABC SG   3 24 Chọn A Bài 6: Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCD hình thang vng A, D; AB  AD  2a, CD  a Góc hai mặt phẳng  SBC   ABCD  600 Gọi I trung điểm AD, biết hai mặt phẳng  SBI  ,  SCI  vuông góc với mặt phẳng  ABCD  Tính thể tích khối chóp A 15 a B 17 a C 19 a Lời giải S J B A I D H C Gọi H trung điểm BC , I hình chiếu H lên BC, J trung điểm AB S ABCD D 23 a Ta có SI  mp  ABCD  , IC  ID2  DC  a IB  IA2  AB  a BC  IB  CJ  JB  a 1 1 S ABCD  AD  AB  CD   3a ; S IAB  IA AB  a SCID  DC.DI  a 2 2 2 3a  S IBC  S ABCD  S IAB  S DIC  2S 3 a Mặt khác S IBC  IH BC , nên IH  IBC  BC a 15  SI S ABCD  a SI  IH tan 600 Do VS ABCD Chọn A Bài 7: Cho khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh bên 1.; đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh BA  3, AD  7; mặt bên  ABB ' A '  ADD ' A ' hợp với mặt đáy góc theo thứ tự 450 ;600 Thể tích khối hộp là: A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Lời giải C' D' A' B' D C 600 J H 450 A I B Dựng A ' H   ABCD  A ' I  AB, A ' J  AD  HI  AB, HJ  AD A ' IH  450 ;  A ' JH  600 Ta có  Đặt A ' H  h A ' JH  600 nên nửa tam giác có cạnh A ' J , đường cao A ' H , HJ Tam giác HA ' J vng có  nửa cạnh  A ' J   12h  AJ  h 2h 12h  12h   A ' J  AA '2  A ' J    9 3 với  h  Tam giác HA ' I vuông cân H  IH  A ' H  h AIHJ hình chữ nhật AJ  IH   12h2  h   12h  9h  h  21  (đvdt) 21 Thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' : V  S ABCD A ' H  Chọn B Bài 8: Cho khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có tất cạnh bên a góc A ' AB, BDA, A ' AD   00    900  Tính thể tích V khối hộp a B V  2a3 sin  cos  cos 2 a a  cos 2 D.Đáp số khác A V  a3 sin 2 cos  cos 2 arcsin  C V  2a3 sin  cos 2 Lời giải C' D' A' D B' C K H O A B Dựng A ' H  AC; A ' K  AD  A ' BD cân A '  A ' O  BD  A ' O  BD  BD   A ' AC   BD  AH  AH   ABCD   HK  AD  AC  BD AH Đặt  A ' AO   HAA ' vuông H  cos = AA '  ABCD hình thoi  AC phân giác góc BAD   ,KAH vng K  AK  AH AK AK  cos   cos cos    cos AH AA ' AH AA ' Ta có   cos  cos cos   A ' H  AA '.sin   a.sin   A ' H  a  cos 2 Do ta có: VABCD A' B 'C ' D '  S ABCD A ' H  a sin  cos 2 a cos  10 cos     cos 2 a cos  cos   cos 2 S I D A O B C Gọi O  AC  BD, suy O tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Gọi I trung điểm SC, suy IO / / SA  IO   ABCD  Do IO trục hình vng ABCD, suy ra: IA  IB  IC  ID 1 Tam giác SAC vng A có I trung điểm cạnh huyền SC nên IS  IC  IA   Từ 1   , ta có: R  IA  IB  IC  ID  IS= SC a 2 Vậy diện tích mặt cầu S  4 R2  8 a (đvdt) Chọn B Bài 8: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B AB  a Cạnh bên SA  a , hình chiếu điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm cạnh huyền AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC là: A a 2 B a C a D a Lời giải Gọi M trung điểm AC, suy SM   ABC   SM  AC Tam giác SAC có SM đường cao trung tuyến nên tam giác SAC cân S Ta có AC  AB2  BC  a 2, suy tam giác SAC Gọi G trọng tâm tam giác SAC, suy GS  GA  GC 1 Tam giác ABC vuông B, có M trung điểm cạnh huyền AC nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S G A M C B 17 Lại có SM   ABC  nên SM trục tam giác ABC Mà G thuộc SM nên suy GA  GB  GC  2 Từ 1 ,   , suy GS  GA  GB  GC hay G tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC Bán kính mặt cầu R  GS  SM  a Chọn B Bài 9: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên chiều cao khối chóp R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số A 12 B 24 C D a 21 Gọi h R bằng: h Lời giải Gọi O tâm ABC, suy SO   ABC  AO  a a Trong SOA, ta có h  SO  SA2  AO  S M I A C O B Trong mặt phẳng  SOA , kẻ trung trực d đoạn SA cắt SO I, suy ra:  I  d nên IS  IA  I  SO nên IA  IB  IC Do IA  IB  IC  IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC SM SA SA2 7a   Gọi M trung điểm SA, ta có SOA đồng dạng SMI nên R  SI  SO 2SO 12 R Vậy  h Chọn C 18 Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là: 2 a 8 a 8 a 4 a A B C D 9 27 Lời giải S d A D O B C Gọi O  AC  BD  SO   ABCD     Trong SOB, ta có SO  OB.tan SBO  ,  ABCD   SB , OB  SBO Ta có: 600  SB a Ta có SO trục hình vng ABCD Trong mặt phẳng  SOB  , kẻ đường trung trực d đoạn SB  I  SO  IA  IB  IC  ID   IA  IB  IC  ID  IS=R I  d IS=IB Gọi I  SO  d    SB  SD  SBD Xét SBD có    SBO   600  SBD Do đó, d đường trung tuyến SBD Suy I trọng tâm SBD Bán kính mặt cầu R  SI  SO  a 8 a3 Suy V   R  27 Chọn D Bài 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân , đáy lớn AD  2a, AB  BC  CD  a Cạnh bên SA  2a, vng góc với đáy Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Tỉ số A a R nhận giá trị sau đây? a B a D C S I Lời giải 19 E A B C D   900 Ta có SA  AD hay SAD Gọi E trung điểm AD Ta có EA  AB  BC Nên ABCE hình thoi Suy CE  EA  AD Do tam giác ACD vng C Ta có:  DC  AC  DC   SAC   DC  SC   DC  SA   900 hay SCD   900 Tương tự, ta có SB  BD hay SAD   SCD   SBD   900 nên khối chóp S ABCD nhận trung điểm I SD làm tâm mặt cầu Ta có SAD SD SA2  AD   a ngoại tiếp, bán kính R  2 R Suy  a Chọn D Bài 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  2a, AD  a Cạnh bên SA vng góc với đáy góc SC với đáy 450 Gọi N trung điểm SA, h chiều cao khối chóp S ABCD R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N ABC Biểu thức liên hệ R h là: A 4R  5h B 5R  4h C R  Lời giải S N J A D O B C  SC,  ABCD     SC, AC   SCA Ta có 450   Trong SAC, ta có h  SA  a  BC  AB  BC   SAB   BN  BC  BC  SA Ta có  20 5 h D R  5 h Lại có NA  AC Do đó, hai điểm A, B nhìn đoạn NC góc vng nên hình chóp N ABC nội tiếp mặt cầu tâm J trung điểm NC, bán kính: NC 5a  SA  R  IN   AC     2   Chọn A Bài 13: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA  a vng góc với đáy  ABCD  Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng   qua hai điểm A M đồng thời song song với BD cắt SB, SD E, F Bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, E, M, F nhận giá trị sau đây? A a B a C a 2 D a Lời giải Mặt phẳng   song song với BD cắt SB, SD E, F nên EF / / BD.SAC cân A, trung tuyến AM nên AM  SC 1 S I M F E A D O B C  BD  AC  BD   SAC   BD  SC Do EF  SC  BD  SA Ta có   2 Từ 1 ,   suy SC     SC  AE *  BC  AB  BC   SAB   BC  AE  BC  SA Lại có:  ** Từ * , ** suy AE   SBC   AE  SB   SMA   SFA   900 nên điểm S , A, E, M , F thuộc Tương tự ta có AF  SD Do SEA mặt cầu tâm I trung điểm SA, bán kính R  SA a  2 Chọn C Bài 14: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc đáy  ABCD  Gọi H hình chiếu A đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị sau đây? 21 A a B a C a 2 D a Lời giải Gọi O  AC  BD Vì ABCD hình vng nên OB  OD  OC 1 Ta có CB  BA  CB   SBA  CB  AH  CB  SA Lại có AH  SB Suy AH   SBC   AH  HC nên tam giác AHC vng H có O trung điểm cạnh huyền AC nên suy OH  OC  2 S H A D O B C Từ 1 ,    R  OH  OB  OC  OD  a Chọn C Bài 15: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B BC  a Cạnh bên SA vng góc với đáy  ABC  Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SC Thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB là:  a3  a3 2 a A B 2 a3 C D Lời giải Theo giả thiết, ta có  ABC  900 ,  AKC  900 1   AH  SB  AH  HC     BC  AH  BC   SAB   Do  Từ 1 ,   suy r aba điểm B, H , K nhìn xuống AC góc 900 nên hình chóp A.HKCB nội tiếp mặt cầu tâm I trung điểm AC, bán kính R  22 AC AB a   2 S K H I A C B Vậy thể tích khối cầu V   R3  2 a3 (đvdt) Chọn A Bài 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, BD  a Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy  ABCD  trung điểm OD Đường thẳng SD tạo với mặt đáy góc 600 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD nhận giá trị sau đây? A a B a C a D a Lời giải  Ta có 600   SD,  ABCD     SD, HD   SDH Trong tam giác vuông SDH, có SH  BD   a , SD  HD  a tan SDH  4 cos SDH S A D B C Trong tam giác vng SHB, có SB  SH  HB  a Xét tam giác SBD, ta có SB2  SD2  a2  BD2 Suy tam giác SBD vuông S Vậy đỉnh S , A, C nhìn xuống BD góc vng nên a tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD O bán kính R  BD  23 Chọn C Bài 17: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng  ABC  trung điểm H cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng  ABC  600 Gọi G trọng tâm tam giác SAC, R bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với mặt phẳng  SAB  Đẳng thức sau sai? A R  d G,  SAB  B 13R  2SH C R2 SABC  39 D R  a Lời giải  Ta có 600   SA,  ABC     SA, HA  SAH Tam giác ABC cạnh a nên AH  a Trong tam giác vng SHA, ta có   3a SH  AH tan SAH Vì mặt cầu có tâm G tiếp xúc với  SAB  nên bán kính mặt cầu R  d G,  SAB  S K I G C B H E M A Ta có d G,  SAB   d C ,  SAB   d  H ,  SAB  Gọi M, E trung điểm AB, MB 3 CM  AB  HE  AB   Suy  a  a CM   HE  CM    Gọi K hình chiếu vng góc H lên SE, suy HK  SE 1  HE  AB  AB   SHE   AB  HK   AB  SH  Ta có  Từ 1 ,    HK   SAB  , d  H ,  SAB   HK 24 Trong tam giác vuông SHE, ta có HK  SH HE SH  HE 2  a 3a Vậy R  HK  13 13 Chọn D Bài 18: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Mặt bên  SAB  tam giác vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là?  a3  a3 2 a 11 11 a A B C D 162 Lời giải Gọi O  AC  BD Suy OA  OB  OC  OD 1 Gọi M trung điểm AB, tam giác SAB vuông S nên MS  MA  MB Gọi H hình chiếu S AB Từ giả thiết suy ra: SH   ABCD  OM  AB  OM   SAB  OM  SH Nên OM trục tam giác SAB, suy OA  OB  OS   S A Ta có:  Từ 1 ,   ta có OS  OA  OC  OD D O B C Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD, bán kính R  OA  a 2 2 a3 (đvdt)  V   R3  3 Chọn A Bài 19: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA  a vng góc với đáy (ABC) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC là: A a B a 13 C a 39 D a 15 Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC, suy G tâm đường tròn ngoại tiếp tamm giác ABC Từ G dựng tia Gx   ABC  (như hình vẽ) Suy Gx trục tam giác ABC TRong mặt phẳng  SA, Gx  , kẻ trung trực d đoạn thẳng SA 25 S d x O A C G B O  Gx OA  OB  OC   OA  OB  OC  OS  R O  d OA  OS   Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC a 2 a a Ta có OG  PA  SA  ; AG  AM   2 3 a 39 Trong tam giác vuông OGA, ta có R  OA  OG  AG  Gọi O  Gx  d   Chọn C Bài 20: Cho tứ diện S ABC có cạnh AS , AB, AC đơi vng góc AS  a, AB  2a, AC  3a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC là: A a B 3a C a Lời giải Gọi M trung điểm BC, suy M tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Kẻ Mx   ABC  (như hình vẽ) S x d I A C M B 26 D a 14 Suy Mx trục ABC Trong mặt phẳng  SA, Mx  kẻ trung trực d đoạn thẳng SA cắt Mx I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bán kính mặt cầu: R  IA  IM  AM  a 14 Chọn D Bài 21: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB  AC  a Cạnh bên SA vuông với đáy  ABC  Gọi I trung điểm BC, SI tạo với đáy  ABC  góc 600 Gọi S, V diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Tỉ số A a 14 B a 14 C 3a 14 V bằng? S a D Lời giải S  Ta có: 600   SI ,  ABC     SI , AI   SIA Tam giác ABC vuông cân A, suy AI  BC  x d a J  Trong SIA, ta có: SA  AI tan SIA a A C I Kẻ Ix   ABC  (như hình vẽ) B Suy Ix trục ABC Trong mặt phẳng  SA, Ix  , kẻ trung trực d đoạn thẳng SA cắt Ix J Khi đó, J tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: R  JA  JI  AI  a V R a 14 nên   S 12 Chọn B   1200 Cạnh bên Bài 22: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD SA  a vng góc với đáy  ABCD  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ACD nhận giá trị: A a 13 B 2a C Lời giải 27 a 13 D a 13 3 S x M d A D G O B E C Gọi G trọng tâm tam giác ACD Kẻ Gx   ACD  , suy Gx trục ACD Trong mặt phẳng  SA, Gx  , kẻ trung trực d đoạn SA cắt Gx I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp SA a a  ;GA  AE  2 3 a 39 Suy bán kính: R  IA  IG  GA2  Ta có IG  MA  Chọn A Bài 23: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông C BC  a Mặt phẳng  SAB    1200 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là: vng góc với đáy, SA  SB  a, ASB A a B a C a D 2a Lời giải S P M A B I C Gọi M trung điểm AB, suy SM  AB SM   ABC  Do đó, SM trục tam giác ABC Trong mặt phẳng  SBM  , kẻ đường trung trực d đoạn SB cắt SM I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC , bán kính R  SI  a Ta có: AB  SA2  SB2  2SA.SB.cosASB 28   a.cos600  Trong tam giác vng SMB ta có SM  SB.cos MSB Ta có SPI  SMB Suy a SM SP SB.SP   R  SI   a SB SI SM Chọn C Bài 24: Cho hình cầu  S  tâm O, bán kính R Hình cầu  S  ngoại tiếp hình trụ trịn xoay T  có đường cao đường kính đáy hình cầu  S  lại nội tiếp nón trịn xoay  N  có góc đỉnh 600 Tính tỉ số thể tích hình trụ  N  hình nón T  A VT  VN B VT  VN C VT  VN D Chọn khác Lời giải S Bài quy hình nón tâm O ngoại tiếp hình vng ABCD nội tiếp tam giác SEF mà EF / / AB Vì OAB tam giác vng cân nên: OA  BC  R 2  R3  AB  Suy VT     BC    C D O A B E F H Ta thấy, tâm O hình trịn tâm hình vng ABCD đồng thời trọng tâm tam giác SEF Như vậy, đường cao tam giác SEF SH  3OH  3R   300 ) Trong tam giác EOH (vng H, EOH Ta có: EH  OH  R 3 Thể tích hình nón: VH   EH SH   3R 3R  3 R3  R3 Vậy VT 2   VN 3 R Chọn A ACB Bài 25: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B, AC  a 3, góc  0 30 Góc đường thẳng AB ' mặt phẳng  ABC  60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' ABC bằng: A 3a B D a 21 C a 21 A' C' a 21 B' Lời giải 29 A I N B C  Ta có 600   AB ',  ABC     AB ', AB   B ' AB Trong tam giác ABC, ta có AB  AC.sin  ACB   Trong B ' BA, ta có BB '  AB.tan B ' AB  a 3a Gọi N trung điểm AC, suy N tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Gọi I trung điểm A ' C , suy IN / / A ' A  IN   ABC  Do IN trục ABC , suy IA  IB  IC 1 Hơn nữa, tam giác A ' AC vng A có I trung điểm A'C nên IA '  IB '  IC '   Từ 1 ,   , ta có IA '  IA  IB  IC hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ' ABC với bán kính R  IA '  A'C AA'2  AC a 21   2 Chọn B Bài 26: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Mặt phẳng  AB ' C ' tạo với mặt đáy góc 600 điểm G trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A ' B ' C ' bằng: A 85a 108 B 3a C 3a D 31a 36 Lời giải \ ' Gọi M trung điểm B ' C ', ta có: 600   AM , A ' M   AMA  AB ' C ' ,  A ' B ' C '    '  3a AA'=A'M.tanAMA Gọi G’là trọng tam tam giác A ' B ' C ', suy G ' tâm đường tròn ngoại tiếp A ' B ' C ' lăng trụ đứng nên GG '   A ' B ' C ' Trong AA'M, có A ' M  a ; Do GG ' trục tam giác A ' B ' C ' Trong mặt phẳng  GC ' G ' , kẻ trung trực d đoạn thẳng GC ' cắt GG ' I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp GA ' B ' C ' , bán kính R  GI Ta có GPI  GG ' C '  A C G P B' I A' C' G' GP GG '  GG ' GC ' B' 30  R  GI  GP.GC ' GC '2 GG '2  G ' C '2 31a    GG ' 2GG ' 2GG ' 36 Chọn D 31