Thông tin tài liệu
CHƢƠNG 05 BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN …………………………………………………………………… Chủ đề Thể tích khối đa diện Thể tích khối chóp Thể tích khối lăng trụ Thể tích khối hộp chữ nhật Thể tích khối lập phương Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện khối chóp tam giác Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Mặt cầu – khối cầu Định nghĩa mặt cầu Cơng thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Mặt nón khối nón Định nghĩa mặt nón Hình nón khối nón Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Mặt trụ - khối trụ Định nghĩa mặt trụ Hình trụ khối trụ Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Ứng dụng hình học khơng gian giải toán thực tế Bài tập áp dụng Lời giải chi tiết Đề ôn tập chƣơng Lời giải chi tiết CHƢƠNG 05 BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Trước vào phần tập bạn đọc cần trang bị cho kiến thức tối thiểu: Thể tích khối chóp Cơng thức tính: V B.h với B diện tích đáy, h chiều cao khối chóp h B Thể tích khối lăng trụ V B.h với B diện tích đáy, h chiều cao lăng trụ h B Thể tích khối hộp chữ nhật V a.b.c với a, b, c ba kích thước a c b Thể tích khối lập phƣơng V a3 với a độ dài cạnh a a a Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện khối chóp tam giác S A' C' B' C A B Cho khối tứ diện SABC A ', B ', C ' điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC SA SB SC VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' Chúng ta vào ví dụ minh họa để thấy có liên quan đến thể tích khối đa diện khó, địi hỏi khả vận dụng cao BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M , N trung điểm A ' B ' BC Mặt phẳng DMN chia khối lập phương cho thành hai khối đa diện Gọi H khối đa diện chứa đỉnh A, H ' khối đa diện cịn lại Tính tỉ số A V H V H ' 37 48 B V H V H ' 55 89 C V H V H ' V H V H ' D V H V H ' Lời giải A' M B' I K C' D' A B J N D C AN ND J , JM BB ' K Ta có: BK 2B ' K ; I A ' D ' Ta có: A ' I D ' D ' Suy thiết diện KMIDN V H VABA' KMIDN VD ABKMA' VD.BKN VD.MA' I a a 1 a 2a 1 a a 55a a a a a 2 3 2 144 V H ' V 55a 89a 55 a H 144 144 VH ' 89 Chọn B Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 4, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm cạnh SD, CD, BC Thể tích khối chóp S ABPN x, thể tích khối tứ diện CMNP y Giá trị x, y thỏa mãn bất đẳng thức đây: A x2 xy y 160 x xy y 109 C x2 xy y 145 B S D x xy y 125 M Lời giải A D K N H B P C + Gọi H trung điểm AB Do ABC SAB ABCD SH ABCD AB 2 + Ta có: S ABPN S ABCD S ADN SCND AD.DN CN CP 4.2 2.2 AB 42 10 2 2 1 20 20 VS ABPN S ABPN SH 10.2 x 3 3 + Gọi AN HD K ta có MK đường trung bình DHS Xét ABC đều: SH HK 1 1 1 2.2 3 SH VCMNP SCNP MK CN CP .SH y 3 2 2 3 Thay vào đáp án Chọn C Bài 3: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh C SA vng góc với mặt phẳng ABC , SC a, SCA Xác định góc để thể tích khối chóp SABC lớn C arcsin A arcsin B arcsin D 3arcsin Lời giải BC AC a.cos ; SA a.sin 1 VSABC S ABC SA AC.BC.SA a sin .cos 2 6 a sin 1 sin Xét hàm số: f x x x3 khoảng 0;1 Từ ta thấy khoảng 0;1 hàm số f x liên tục có điểm cực trị điểm cực đại, nên Ta có: f ' x 3x , f ' x x hàm số đạt GTLN hay: max f x f hay arcsin , 0 x 0;1 2 3 3 Chọn A Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều, SC SD a Tính thể tích khối chóp S ABCD A.V a3 2 B V a3 C V a3 Lời giải D V a3 Gọi I trung điểm AB;J trung điểm CD từ giả thiết ta có: IJ a; SI a a 11 a SJ SC JC 3a S M D A J I H N C B Áp dụng định lý cosin cho tam giác SIJ ta có: 3a 11a IJ +IS SJ 4 a 0 cos S IJ 2.IJ.IS a a2 2.a IJ tù Từ giả thiết tam giác SAB tam giác SCD cân Suy ra, tam giác SIJ tam giác có S đỉnh S Gọi H hình chiếu S ABCD , ta có H thuộc IJ I nằm HJ tức tam 900 giác vuông SHI có H 2 a2 ke bu sin SIH SIJ va SIH 3 a a Xét tam giác SHI ta có SH SI sin SIH 3 1 a a Vậy VS ABCD SABCD SH a 3 cos S Góc I nhọn cos I cos SIH IJ Chọn C Bài 5: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi P mặt phẳng qua A song song BC vuông góc với SBC , góc P với mặt phẳng đáy 300 Thể tích khối chóp S ABC là: A a3 24 C a3 3a D S B a3 F Lời giải H Tổng qt: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi P mặt phẳng E C A x G B M qua A song song BC vng góc với SBC , góc P với mặt phẳng đáy a3 cot 24 3 a cot 30 a Áp dụng này: VS ABC 24 24 a + ABC SABC Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC + Gọi G trọng tâm + Gọi P SBC =EF EF//BC P SBC =Ax với Ax / / EF / / BC + Gọi M trung điểm BC, SM EF N Ta có: AM BC, SG BC BC SAM AN BC AN Ax 300 Mà AM BC, BC / / Ax AM Ax P , ABC NAM NAM (cùng phụ với SMA ) Ta có: GSM a a 3 2 AM cot 300 Xét SGM vng G có: SG GM cot GSM Vậy: VS ABC 1 a a a3 SABC SG 3 24 Chọn A Bài 6: Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCD hình thang vng A, D; AB AD 2a, CD a Góc hai mặt phẳng SBC ABCD 600 Gọi I trung điểm AD, biết hai mặt phẳng SBI , SCI vuông góc với mặt phẳng ABCD Tính thể tích khối chóp A 15 a B 17 a C 19 a Lời giải S J B A I D H C Gọi H trung điểm BC , I hình chiếu H lên BC, J trung điểm AB S ABCD D 23 a Ta có SI mp ABCD , IC ID2 DC a IB IA2 AB a BC IB CJ JB a 1 1 S ABCD AD AB CD 3a ; S IAB IA AB a SCID DC.DI a 2 2 2 3a S IBC S ABCD S IAB S DIC 2S 3 a Mặt khác S IBC IH BC , nên IH IBC BC a 15 SI S ABCD a SI IH tan 600 Do VS ABCD Chọn A Bài 7: Cho khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh bên 1.; đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh BA 3, AD 7; mặt bên ABB ' A ' ADD ' A ' hợp với mặt đáy góc theo thứ tự 450 ;600 Thể tích khối hộp là: A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Lời giải C' D' A' B' D C 600 J H 450 A I B Dựng A ' H ABCD A ' I AB, A ' J AD HI AB, HJ AD A ' IH 450 ; A ' JH 600 Ta có Đặt A ' H h A ' JH 600 nên nửa tam giác có cạnh A ' J , đường cao A ' H , HJ Tam giác HA ' J vng có nửa cạnh A ' J 12h AJ h 2h 12h 12h A ' J AA '2 A ' J 9 3 với h Tam giác HA ' I vuông cân H IH A ' H h AIHJ hình chữ nhật AJ IH 12h2 h 12h 9h h 21 (đvdt) 21 Thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' : V S ABCD A ' H Chọn B Bài 8: Cho khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có tất cạnh bên a góc A ' AB, BDA, A ' AD 00 900 Tính thể tích V khối hộp a B V 2a3 sin cos cos 2 a a cos 2 D.Đáp số khác A V a3 sin 2 cos cos 2 arcsin C V 2a3 sin cos 2 Lời giải C' D' A' D B' C K H O A B Dựng A ' H AC; A ' K AD A ' BD cân A ' A ' O BD A ' O BD BD A ' AC BD AH AH ABCD HK AD AC BD AH Đặt A ' AO HAA ' vuông H cos = AA ' ABCD hình thoi AC phân giác góc BAD ,KAH vng K AK AH AK AK cos cos cos cos AH AA ' AH AA ' Ta có cos cos cos A ' H AA '.sin a.sin A ' H a cos 2 Do ta có: VABCD A' B 'C ' D ' S ABCD A ' H a sin cos 2 a cos 10 cos cos 2 a cos cos cos 2 S I D A O B C Gọi O AC BD, suy O tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Gọi I trung điểm SC, suy IO / / SA IO ABCD Do IO trục hình vng ABCD, suy ra: IA IB IC ID 1 Tam giác SAC vng A có I trung điểm cạnh huyền SC nên IS IC IA Từ 1 , ta có: R IA IB IC ID IS= SC a 2 Vậy diện tích mặt cầu S 4 R2 8 a (đvdt) Chọn B Bài 8: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B AB a Cạnh bên SA a , hình chiếu điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm cạnh huyền AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC là: A a 2 B a C a D a Lời giải Gọi M trung điểm AC, suy SM ABC SM AC Tam giác SAC có SM đường cao trung tuyến nên tam giác SAC cân S Ta có AC AB2 BC a 2, suy tam giác SAC Gọi G trọng tâm tam giác SAC, suy GS GA GC 1 Tam giác ABC vuông B, có M trung điểm cạnh huyền AC nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S G A M C B 17 Lại có SM ABC nên SM trục tam giác ABC Mà G thuộc SM nên suy GA GB GC 2 Từ 1 , , suy GS GA GB GC hay G tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC Bán kính mặt cầu R GS SM a Chọn B Bài 9: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên chiều cao khối chóp R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số A 12 B 24 C D a 21 Gọi h R bằng: h Lời giải Gọi O tâm ABC, suy SO ABC AO a a Trong SOA, ta có h SO SA2 AO S M I A C O B Trong mặt phẳng SOA , kẻ trung trực d đoạn SA cắt SO I, suy ra: I d nên IS IA I SO nên IA IB IC Do IA IB IC IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC SM SA SA2 7a Gọi M trung điểm SA, ta có SOA đồng dạng SMI nên R SI SO 2SO 12 R Vậy h Chọn C 18 Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là: 2 a 8 a 8 a 4 a A B C D 9 27 Lời giải S d A D O B C Gọi O AC BD SO ABCD Trong SOB, ta có SO OB.tan SBO , ABCD SB , OB SBO Ta có: 600 SB a Ta có SO trục hình vng ABCD Trong mặt phẳng SOB , kẻ đường trung trực d đoạn SB I SO IA IB IC ID IA IB IC ID IS=R I d IS=IB Gọi I SO d SB SD SBD Xét SBD có SBO 600 SBD Do đó, d đường trung tuyến SBD Suy I trọng tâm SBD Bán kính mặt cầu R SI SO a 8 a3 Suy V R 27 Chọn D Bài 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân , đáy lớn AD 2a, AB BC CD a Cạnh bên SA 2a, vng góc với đáy Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Tỉ số A a R nhận giá trị sau đây? a B a D C S I Lời giải 19 E A B C D 900 Ta có SA AD hay SAD Gọi E trung điểm AD Ta có EA AB BC Nên ABCE hình thoi Suy CE EA AD Do tam giác ACD vng C Ta có: DC AC DC SAC DC SC DC SA 900 hay SCD 900 Tương tự, ta có SB BD hay SAD SCD SBD 900 nên khối chóp S ABCD nhận trung điểm I SD làm tâm mặt cầu Ta có SAD SD SA2 AD a ngoại tiếp, bán kính R 2 R Suy a Chọn D Bài 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 2a, AD a Cạnh bên SA vng góc với đáy góc SC với đáy 450 Gọi N trung điểm SA, h chiều cao khối chóp S ABCD R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N ABC Biểu thức liên hệ R h là: A 4R 5h B 5R 4h C R Lời giải S N J A D O B C SC, ABCD SC, AC SCA Ta có 450 Trong SAC, ta có h SA a BC AB BC SAB BN BC BC SA Ta có 20 5 h D R 5 h Lại có NA AC Do đó, hai điểm A, B nhìn đoạn NC góc vng nên hình chóp N ABC nội tiếp mặt cầu tâm J trung điểm NC, bán kính: NC 5a SA R IN AC 2 Chọn A Bài 13: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA a vng góc với đáy ABCD Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng qua hai điểm A M đồng thời song song với BD cắt SB, SD E, F Bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, E, M, F nhận giá trị sau đây? A a B a C a 2 D a Lời giải Mặt phẳng song song với BD cắt SB, SD E, F nên EF / / BD.SAC cân A, trung tuyến AM nên AM SC 1 S I M F E A D O B C BD AC BD SAC BD SC Do EF SC BD SA Ta có 2 Từ 1 , suy SC SC AE * BC AB BC SAB BC AE BC SA Lại có: ** Từ * , ** suy AE SBC AE SB SMA SFA 900 nên điểm S , A, E, M , F thuộc Tương tự ta có AF SD Do SEA mặt cầu tâm I trung điểm SA, bán kính R SA a 2 Chọn C Bài 14: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc đáy ABCD Gọi H hình chiếu A đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị sau đây? 21 A a B a C a 2 D a Lời giải Gọi O AC BD Vì ABCD hình vng nên OB OD OC 1 Ta có CB BA CB SBA CB AH CB SA Lại có AH SB Suy AH SBC AH HC nên tam giác AHC vng H có O trung điểm cạnh huyền AC nên suy OH OC 2 S H A D O B C Từ 1 , R OH OB OC OD a Chọn C Bài 15: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B BC a Cạnh bên SA vng góc với đáy ABC Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SC Thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB là: a3 a3 2 a A B 2 a3 C D Lời giải Theo giả thiết, ta có ABC 900 , AKC 900 1 AH SB AH HC BC AH BC SAB Do Từ 1 , suy r aba điểm B, H , K nhìn xuống AC góc 900 nên hình chóp A.HKCB nội tiếp mặt cầu tâm I trung điểm AC, bán kính R 22 AC AB a 2 S K H I A C B Vậy thể tích khối cầu V R3 2 a3 (đvdt) Chọn A Bài 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, BD a Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy ABCD trung điểm OD Đường thẳng SD tạo với mặt đáy góc 600 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD nhận giá trị sau đây? A a B a C a D a Lời giải Ta có 600 SD, ABCD SD, HD SDH Trong tam giác vuông SDH, có SH BD a , SD HD a tan SDH 4 cos SDH S A D B C Trong tam giác vng SHB, có SB SH HB a Xét tam giác SBD, ta có SB2 SD2 a2 BD2 Suy tam giác SBD vuông S Vậy đỉnh S , A, C nhìn xuống BD góc vng nên a tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD O bán kính R BD 23 Chọn C Bài 17: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC 600 Gọi G trọng tâm tam giác SAC, R bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với mặt phẳng SAB Đẳng thức sau sai? A R d G, SAB B 13R 2SH C R2 SABC 39 D R a Lời giải Ta có 600 SA, ABC SA, HA SAH Tam giác ABC cạnh a nên AH a Trong tam giác vng SHA, ta có 3a SH AH tan SAH Vì mặt cầu có tâm G tiếp xúc với SAB nên bán kính mặt cầu R d G, SAB S K I G C B H E M A Ta có d G, SAB d C , SAB d H , SAB Gọi M, E trung điểm AB, MB 3 CM AB HE AB Suy a a CM HE CM Gọi K hình chiếu vng góc H lên SE, suy HK SE 1 HE AB AB SHE AB HK AB SH Ta có Từ 1 , HK SAB , d H , SAB HK 24 Trong tam giác vuông SHE, ta có HK SH HE SH HE 2 a 3a Vậy R HK 13 13 Chọn D Bài 18: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là? a3 a3 2 a 11 11 a A B C D 162 Lời giải Gọi O AC BD Suy OA OB OC OD 1 Gọi M trung điểm AB, tam giác SAB vuông S nên MS MA MB Gọi H hình chiếu S AB Từ giả thiết suy ra: SH ABCD OM AB OM SAB OM SH Nên OM trục tam giác SAB, suy OA OB OS S A Ta có: Từ 1 , ta có OS OA OC OD D O B C Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD, bán kính R OA a 2 2 a3 (đvdt) V R3 3 Chọn A Bài 19: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA a vng góc với đáy (ABC) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC là: A a B a 13 C a 39 D a 15 Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC, suy G tâm đường tròn ngoại tiếp tamm giác ABC Từ G dựng tia Gx ABC (như hình vẽ) Suy Gx trục tam giác ABC TRong mặt phẳng SA, Gx , kẻ trung trực d đoạn thẳng SA 25 S d x O A C G B O Gx OA OB OC OA OB OC OS R O d OA OS Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC a 2 a a Ta có OG PA SA ; AG AM 2 3 a 39 Trong tam giác vuông OGA, ta có R OA OG AG Gọi O Gx d Chọn C Bài 20: Cho tứ diện S ABC có cạnh AS , AB, AC đơi vng góc AS a, AB 2a, AC 3a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC là: A a B 3a C a Lời giải Gọi M trung điểm BC, suy M tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Kẻ Mx ABC (như hình vẽ) S x d I A C M B 26 D a 14 Suy Mx trục ABC Trong mặt phẳng SA, Mx kẻ trung trực d đoạn thẳng SA cắt Mx I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bán kính mặt cầu: R IA IM AM a 14 Chọn D Bài 21: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB AC a Cạnh bên SA vuông với đáy ABC Gọi I trung điểm BC, SI tạo với đáy ABC góc 600 Gọi S, V diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Tỉ số A a 14 B a 14 C 3a 14 V bằng? S a D Lời giải S Ta có: 600 SI , ABC SI , AI SIA Tam giác ABC vuông cân A, suy AI BC x d a J Trong SIA, ta có: SA AI tan SIA a A C I Kẻ Ix ABC (như hình vẽ) B Suy Ix trục ABC Trong mặt phẳng SA, Ix , kẻ trung trực d đoạn thẳng SA cắt Ix J Khi đó, J tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: R JA JI AI a V R a 14 nên S 12 Chọn B 1200 Cạnh bên Bài 22: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD SA a vng góc với đáy ABCD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ACD nhận giá trị: A a 13 B 2a C Lời giải 27 a 13 D a 13 3 S x M d A D G O B E C Gọi G trọng tâm tam giác ACD Kẻ Gx ACD , suy Gx trục ACD Trong mặt phẳng SA, Gx , kẻ trung trực d đoạn SA cắt Gx I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp SA a a ;GA AE 2 3 a 39 Suy bán kính: R IA IG GA2 Ta có IG MA Chọn A Bài 23: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông C BC a Mặt phẳng SAB 1200 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là: vng góc với đáy, SA SB a, ASB A a B a C a D 2a Lời giải S P M A B I C Gọi M trung điểm AB, suy SM AB SM ABC Do đó, SM trục tam giác ABC Trong mặt phẳng SBM , kẻ đường trung trực d đoạn SB cắt SM I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC , bán kính R SI a Ta có: AB SA2 SB2 2SA.SB.cosASB 28 a.cos600 Trong tam giác vng SMB ta có SM SB.cos MSB Ta có SPI SMB Suy a SM SP SB.SP R SI a SB SI SM Chọn C Bài 24: Cho hình cầu S tâm O, bán kính R Hình cầu S ngoại tiếp hình trụ trịn xoay T có đường cao đường kính đáy hình cầu S lại nội tiếp nón trịn xoay N có góc đỉnh 600 Tính tỉ số thể tích hình trụ N hình nón T A VT VN B VT VN C VT VN D Chọn khác Lời giải S Bài quy hình nón tâm O ngoại tiếp hình vng ABCD nội tiếp tam giác SEF mà EF / / AB Vì OAB tam giác vng cân nên: OA BC R 2 R3 AB Suy VT BC C D O A B E F H Ta thấy, tâm O hình trịn tâm hình vng ABCD đồng thời trọng tâm tam giác SEF Như vậy, đường cao tam giác SEF SH 3OH 3R 300 ) Trong tam giác EOH (vng H, EOH Ta có: EH OH R 3 Thể tích hình nón: VH EH SH 3R 3R 3 R3 R3 Vậy VT 2 VN 3 R Chọn A ACB Bài 25: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B, AC a 3, góc 0 30 Góc đường thẳng AB ' mặt phẳng ABC 60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' ABC bằng: A 3a B D a 21 C a 21 A' C' a 21 B' Lời giải 29 A I N B C Ta có 600 AB ', ABC AB ', AB B ' AB Trong tam giác ABC, ta có AB AC.sin ACB Trong B ' BA, ta có BB ' AB.tan B ' AB a 3a Gọi N trung điểm AC, suy N tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Gọi I trung điểm A ' C , suy IN / / A ' A IN ABC Do IN trục ABC , suy IA IB IC 1 Hơn nữa, tam giác A ' AC vng A có I trung điểm A'C nên IA ' IB ' IC ' Từ 1 , , ta có IA ' IA IB IC hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ' ABC với bán kính R IA ' A'C AA'2 AC a 21 2 Chọn B Bài 26: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Mặt phẳng AB ' C ' tạo với mặt đáy góc 600 điểm G trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A ' B ' C ' bằng: A 85a 108 B 3a C 3a D 31a 36 Lời giải \ ' Gọi M trung điểm B ' C ', ta có: 600 AM , A ' M AMA AB ' C ' , A ' B ' C ' ' 3a AA'=A'M.tanAMA Gọi G’là trọng tam tam giác A ' B ' C ', suy G ' tâm đường tròn ngoại tiếp A ' B ' C ' lăng trụ đứng nên GG ' A ' B ' C ' Trong AA'M, có A ' M a ; Do GG ' trục tam giác A ' B ' C ' Trong mặt phẳng GC ' G ' , kẻ trung trực d đoạn thẳng GC ' cắt GG ' I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp GA ' B ' C ' , bán kính R GI Ta có GPI GG ' C ' A C G P B' I A' C' G' GP GG ' GG ' GC ' B' 30 R GI GP.GC ' GC '2 GG '2 G ' C '2 31a GG ' 2GG ' 2GG ' 36 Chọn D 31
Ngày đăng: 26/10/2023, 09:28
Xem thêm:
