SỞ GD & ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN 10 NĂM HỌC 2016 – 2017 (Thời gian làm bài: 120 phút) yy x 2x4x m Câu (3,5 điểm): Cho hàm số hàm số Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trọng tâm G tam giác OAB đến trục tọa độ (điểm O gốc tọa độ) Câu (6.5 điểm): xy x y x y x y 4 a) Giải hệ phương trình: b) Giải x 3( x x) x 2 x3 phương trình: Câu (1,5 điểm): Cho tam giác ABC hb hpb( p b) thỏa mãn hệ thức ( độ dài đường cao ứng với cạnh AC) Chứng minh tam giác ABC tam giác cân Câu (3,5 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;1) Trên trục Ox, Oy lấy hai điểm B, C cho tam giác ABC vng A Tìm tọa độ điểm B, C cho diện tích tam giác ABC lớn biết hoành độ điểm B tung độ điểm C không âm Câu (3,0 điểm): Cho đường tròn tâm O ba dây cung song song AB, CD, EF đường trịn Gọi H, I, K trực tâm tam giác ACF, AED, CEB Chứng minh H, I, K thẳng hàng , c 2bc 2ca 0 Câu (2,0 điểm): Cho thỏa a b c 2a , bab mãn: c2 c2 ab Chứng minh: 2 2 a b (a b c) a b - Hết -Họ tên thí sinh: SBD: Chú ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm KỲ THI OLYMPIC MƠN TỐN 10 SỞ GD & ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung đáp án Xét phương trình hồnh độ giao điểm: (3,5đ) Điểm 1,5 x x x m (1) x x m 0 m 08 Hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt A, B Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Gọi hai nghiệm phương x A , xB trình (1), G trọng tâm tam giác OAB 1,0 Ta có: x A xB xO xG 3xG yG Yêu cầu toán y y A yB yO 12 2m G 123 2m 6 Kết hợp điều kiện,vậy m=- m thỏa mãn yêu cầu m 1,0 toán 2a x 1; y 0 Điều kiện: (3,5 đ) Với điều kiện trên, hệ phương trình 0,5 1,5 x y y xy ( x y ) 0 x( x1 y )(2 xy 24y 1) 0 x y (loại) x y 4 y 2 y110 xx2 y 2 x 2 2y y4 4 x 5 1,0 0,5 KL: Vậy hệ phương trình có nghiệm (5; 2) 2b Điều kiện: x (3,0 đ) Với điều kiện trên, phương trình tương đương: 0,25 1,0 3x ( x 2) x 2 x x x( x 2) x ( x 2)(2 x x 2) 2)(3 2(2xx 21) x2 00 (1) (x x 13x x22x 41 x 22) Đặt (loại) x 2(2 x 1) x 0(2) x x2 1x x x t1 x x(t20)0(1) x 0,5 0,5 Phương trình (2) trở thành: 2t 3t 0 21 1 t 2 x (loại) t 2 t x1 x x 24 0 Với 0,5 x 43;4+2 Kết hợp điều kiện, tập S {4-2 3} nghiệm phương trình x 4 là: 0,25 Ta có: 0,5 (1,5đ) Theo đề bài: Vậy tam giác ABC cân B Gọi B(b;0), C(0;c) () 2S S bhb hb S p( p bb) S 2Spb( p a )( p b)( p c) b p ( p b) p a p c 0 ( p a )( p c ) b p a p c 2( pa ac)( p c ) p a p c b, c 0 0,5 0,5 1,5 (3,5đ) Tam giác ABC vng A Mà Lại có: Xét hàm số () Bảng biến thiên: x AB (b 3; 1) AB (b 3) ABAC AC09 (c 1) AC ( 3; c 1) 3(b 3) (c 1) 0 10 c 0 c10 103b 3b0 b (b 3)2 (c 1) (b 3)2 (3 b) 10 f ( x ) 0 xx 2 x 15 3 b 9b 215 10 SABC 1,0 1,0 f(x) 15 33 B (0;0), C (0;10) Vậy diện tích tam giác ABC lớn 15 b=0 (3,0đ) *) Chứng minh tính chất: OA OB OC OH Cho tam giác ABC Gọi H, O trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì: 1,0 Gọi A’ điểm đối xứng A qua O, D trung điểm BC Ta có: tứ giác BHCA’ hình bình hành nên D trung điểm HA’ OB OC 2OD AH OB OC OH OA *)Ta có: H, I, K lần lượt OA trực tâm giác ACF, AED, BCE OB của OCtam OH OH OA OC OF(1) Từ (1)và (2) OI OADC OEEF OD(2) IH OBBA OC OE (3) (1)và (3) KH OK EF n DC BH mm n,EF EF Mà AB//CD//EF Mà 1,0 1,0 cho , KH IH ((nm1)EF 1)EF IH , KH , phương I, H, K thẳng hàng Đặt , (x,y >0) (3,0đ) Theo đề : ab c a b c ab 2bc 2ca 0 xy 1,0 x y xy x y 0 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si: Do đó: Ta có: ( x y 1) (x xy y)2 xy x y 1 ( x y)2 x y 2 c2 c2 ab P 2 1a b ( a1 b c) xya b x y 24 ( x y 1) 1x y P 2 x y xy 1( x y )41 2( x y ) x y 2 2 x y 2 2xy 2.2 Dấu xảy x = y =1a=b=c xy 1 2 xy xy x y x y xy 2 ( x y) xy x y 2 ( x y) 2( x y ) xy 1,5 0,5