Đề thi HSG môn toán lớp 11 THPT tam dương vĩnh phúc 2012 2013 giải chi tiết

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013 ————————— ĐỀ THI MƠN: TỐN TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu I: (2,0 điểm) 1.Giải phương trình: (1 + t anx)cos3 x + (1 + cot x)sin x = 2sin 2x Tìm nghiệm khoảng ( −π; π ) phương trình: π  2sin  3x + ÷ = + 8sin 2x cos 2x 4  Câu II: (2,0 điểm) Có số tự nhiên gồm chữ số khác có số chẵn số lẻ ? Cho k số tự nhiên thỏa mãn ≤ k ≤ 2011 Chứng minh rằng: k k −1 k −5 k C50 C2011 + C15 C 2011 + + C55 C2011 = C 2016 Câu III: (2,0 điểm)   Cho Pn= 1−   2   1−  1− 2.3 3.4  (n+ 1)(n+ 2) lim Un Gọi Un số hạng tổng quát Pn Tìm n→ +∞ (x + 2012) − 2x − 2012 4x + Tìm giới hạn: lim x →0 x Câu IV: (1,0 điểm) u1 = 11 un+1 = 10un + − n,∀n∈ N Cho dãy số (un) xác định :  Tìm cơng thức tính un theo n Câu V: ( 3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c M điểm tùy ý cạnh AB, (P) mặt phẳng qua M song song với AC BD cắt BC, CD, DA N, P, Q Tìm vị trí M điều kiện a, b, c để thiết diện MNPQ hình vng, tính diện tích thiết diện trường hợp http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Cho tam giác ABC có góc nhọn Xác định điểm M bên tam giác cho MA + MB + MC nhỏ -Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN : TỐN 11 THPT -Câu I Nội dung Điểm 2.0 (1.0 đ) ĐK: sin x cos x > Khi pt trở thành: sinx + cos x = sin x cos x (1) 0.25 ĐK: sinx + cos x > dẫn tới sinx > 0;cos x > Khi đó: (1) ⇔ sin 2x = ⇔ x = KL nghiệm : x = 0.25 π + kπ 0.25 π + 2mπ 0.25   (1.0 đ).ĐK: sin  3x + π ÷≥ 4 (1) 0,25 Khi phương trình cho tương đương với pt: π 5π ⇔ x = + kπ; x= + kπ 12 12 Trong khoảng ( −π; π ) ta nhận giá trị : sin 2x = x= 0.25 π 11π 5π 7π ; x=− ; x=− ; x= 12 12 12 12 0.25 Kết hợp với đk (1) ta nhận hai giá trị thỏa mãn là: x= π ; 12 x=− 7π 12 0,25 3.0 II (1.0 đ) TH1: Trong số chẵn có mặt số Số số tìm 5.C C5 5! = 36000 (số) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 0.5 TH2: Trong số chẵn khơng có mặt số Số số tìm C C5 6! = 28800 (số) Đ/ số 0.25 36000 + 28800 = 64800 số 0.25 (1.0 đ) Dễ thấy ( + x ) (1+ x) 2011 = (1+ x) 2016 ; M = ( + x ) = C50 + C15 x1 + C52 x + C35x + C54 x + C55x 5 N = (1+ x) 2011 k 2011 2011 = C02011 + C12011x1 + + C 2011 x k + + C 2011 x P = (1+ x) 2016 k 2016 2016 = C02016 + C12016 x + + C 2016 x k + + C 2016 x Ta có hệ số x P C k k 2016 0.25 0.25 Vì P = M.N , mà số hạng chứa x k M.N : k − k −1 k− k− − k−3 − k− − k−5 C50 C2011 x k + C15xCk2011 x + C52 x 2C 2011 x + C35x 3C k2011 x + C54 x 4Ck2011 x + C55x 5C k2011 x 0.25 nên k −1 k −5 k C50 C2011 + C15 Ck2011 + + C55 C 2011 = C2016 0.25 (1 điểm) u1 = 11 = 10 + u2 = 10.11 + − = 102 = 100 + Ta có: u3 = 10.102 + − 9.2 = 1003 = 1000 + Dự đoán: Chứng minh: 0.25 0.25 un = 10n + n (1) Ta có: u1 = 11 = 101 + , công thức (1) với n=1 Giả sử công thức (1) với n=k ta có : uk = 10k + k Ta có: uk + = 10(10k + k) + - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công thức(1) với n=k+1 0.25 Vậy un = 10n + n, ∀n∈ N 0.25 2.0 III (1 đ) Ta có: 1− k(k+ 3) = (k + 1)(k+ 2) (k + 1)(k+ 2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 0.25 Cho k=1,2,3,…,n ta 1.4.2.5.3.6 n(n + 3) 2.3.3.4.4.5 (n+2)(n + 1) (n + 3) ⇒ Un= 3(n + 1) Sn = 0.25 0.25 (n + 3) = n→+∞ 3(n + 1) lim Un = lim ⇒ n→ +∞ 0.25 2.(1 điểm)  − 2x − 4x + −  − 2012 Ta có L = Lim  x − 2x + 2012 ÷ x →0 x x   0.25 Lim x − 2x = x →0 Lim x →0 Lim x →0 − 2x − −2x −2 2` = Lim = Lim =− 2 3 x → x → x x( (1 − 2x) + − 2x + 1) ( (1 − 2x) + − 2x + 1) 4x + − 4x = Lim = Lim =2 x →0 x( 4x + + 1) x →0 x 4x + + −2 −16096 − 2012.2 = Vậy L = + 2012 3 0.5 0.25 IV 3.0 1.(2 đ) +) Chứng minh MNPQ hình bình hành 0.5  MN = NP  MP = NQ +) MNPQ hình vng ⇔  ⇔ M trung điểm AB a = c 1.0 +) Lúc SMNPQ = b 0.5 2.(1 đ) Dùng phép quay quanh A với góc quay 600 biến M thành M’; C thành C’ Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’ 0.25 MA+MB+MC bé bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng Khi góc BMA=1200, góc AMC=1200 0.5 0.25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta vị trí M tam giác ABC Chú ý: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... C50 C2 011 x k + C15xCk2 011 x + C52 x 2C 2 011 x + C35x 3C k2 011 x + C54 x 4Ck2 011 x + C55x 5C k2 011 x 0.25 nên k −1 k −5 k C50 C2 011 + C15 Ck2 011 + + C55 C 2 011 = C2016 0.25 (1 điểm) u1 = 11 =... 0.25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta vị trí M tam giác ABC Chú ý: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu... thấy ( + x ) (1+ x) 2 011 = (1+ x) 2016 ; M = ( + x ) = C50 + C15 x1 + C52 x + C35x + C54 x + C55x 5 N = (1+ x) 2 011 k 2 011 2 011 = C02 011 + C12011x1 + + C 2 011 x k + + C 2 011 x P = (1+ x) 2016