Đề thi học kỳ I lớp 11 THPT chuyên Thái Nguyên năm 2012 - 2013 môn Toán

Trờng THPT Chuyên TN Kì thi chất lợng học kì I năm học 2012 - 2013 Môn thi: Toán Lớp 11 Chơng trình Chuẩn Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi chính thức Câu 1 (3 điểm): Giải các phơng trình lợng giác sau: a. 3cos sin 2x x ; b. 2 2 4sin 3sin cos cos 0x x x x ; c. 2 2 sin 1 2cos 2 3sin 2 0x x x . Câu 2 (2 điểm): Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 9 2 1 3x x . Câu 3 (2 điểm): Từ một bộ bài tú lơ khơ có 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc ba con. Tính xác suất sao cho: a. Cả ba con đều là con K; b. Đợc hai con K và một con không phải là K. Câu 4 (3 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh SB, SD và BC. a. Chứng minh rằng MN song song với BD; b. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD). Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNP). Hết Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:.Chữ kí giám thị: Trờng THPT Chuyên TN Kì thi chất lợng học kì I năm học 2012 - 2013 Môn thi: Toán Lớp 11 Chơng trình Chuẩn Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi chính thức Hớng dẫn Chấm Thi (Bản Hớng dẫn chấm thi gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm Câu 1 ( 3 điểm ) a) (1,0 điểm) 3 1 3cos sin 2 cos sin 1 2 2 sin 1 3 x x x x x 0,5 5 2 2 , 3 2 6 x k x k k Vậy nghiệm của phơng trình là 5 2 , 6 x k k 0,5 b) (1, 0 điểm) +) Nếu cosx = 0 2 x k thay vào phơng trình ta có 4 = 0 (vô lí). Vậy 2 x k không là nghiệm của phơng trình. 0,25 +) Nếu cosx 0 2 x k , chia cả hai vế của phơng trình cho 2 cos x ta đợc phơng trình 2 tan 1 4tan 3tan 1 0 1 tan 4 x x x x 0,5 4 1 arctan 4 x k x k 0,25 c) (1, 0 điểm) 2 2 2 2 sin 1 2cos 2 3sin 2 0 sin 1 0 2cos 2 3sin 2 0 x x x x x x 0,25 )sin 1 2 2 x x k 0,25 2 2 2 2 1 cos2 )2cos 2 3sin 2 0 2cos 2 3 2 0 2 cos2 1 4cos 2 3cos2 1 0 1 cos2 4 x x x x x x x x 0,25 1 1 arccos 2 4 x k x k Vậy phơng trình đã cho có nghiệm 2 2 , 1 1 arccos 2 4 x k x k k x k 0,25 Câu 2 ( 2điểm ) Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1) của khai triển là 9 9 9 3 9 9 2 1 . 3 . . 3 . 1 . k k k k k k k C x C x x 1,0 Số hạng không chứa x ứng với 9 3 k = 0 k = 3 0,5 Vậy số hạng cần tìm là 3 3 6 9 .3 1 61236.C 0,5 Câu 3 ( 2 điểm ) a) (1,0 điểm) +) Số phần tử của không gian mẫu bằng số cách rút 3 con bài từ 52 con bài bằng 3 52 C (phần tử) 0,25 +) Số cách rút 3 con K từ 4 con K là 3 4 C (cách) 0,25 +) Vậy xác suất rút đợc cả ba con đều là con K là 3 4 3 52 1 5525 C C 0,5 b) (1,0 điểm) +) Để rút đợc ba con thoả mãn yêu cầu bài toán ta làm nh sau: - Rút 2 con K từ 4 con K có 2 4 C (cách) 0,25 - Rút 1 con bất kì từ 48 con không có bộ K có 1 48 C (cách) 0,25 +)Vậy số cách rút đợc ba con thoả mãn yêu cầu là 2 4 C . 1 48 C (cách) 0,25 +) Vậy xác suất cần tìm là 2 1 4 48 3 52 . 72 5525 C C C 0,25 Câu 4 ( 3 điểm ) a) (1,0 điểm) S B C D A M N P E F H 0,25 Vì M và N lần lợt là trung điểm của SB và SD nên MN là đờng trung bình trong tam giác SBD. Vậy MN song song với BD. 0,75 b) (2, 0 điểm) +) (MNP) và (ABCD) có điểm P chung 0,25 +) Ta có , , / /MN MNP BD ABCD MN BD 0,25 +) Vậy , , / / / /MNP ABCD PE E DC PE BD MN 0,5 +) Trong (ABCD), gọi F PE AD +) Trong (SAD), gọi H NF AS 0,25 +) Vậy ta có MNP ABCD PE MNP SCD EN MNP SAD HN MNP SAB MH MNP SBC MP 0,5 +) Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) là ngũ giác PENHM. 0,25 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán - Lớp 11 chuyên Toán. ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1 (2 điểm) : Cho phương trình 2 3 2 2 cos cos 1 cos2 tan cos x x x x x     (1). a) Giải phương trình (1). b) Tìm các nghiệm của phương trình (1) thuộc đoạn   1;70 . Tính tổng các nghiệm đó. Câu 2 (2 điểm): Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 2 8 2m x x   . Câu 3 (2 điểm): Cho dãy số   n u xác định bởi   1 1 3 2 1 , 1. 1 1 2 n n n u u u n u                Tìm 2003 u . Câu 4 (1,5 điểm): Cho tứ giác lồi ABCD và M là điểm bên trong tứ giác sao cho ABMD là hình bình hành. Chứng minh rằng nếu   CBM CDM thì   ACD BCM . Câu 5 (2,5 điểm): Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, A’B’C’, ACC’. Chứng minh rằng     / / ' 'IKG BB C C và     ' / / 'A KG AIB . HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Chữ kí giám thị: TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán - Lớp 11 chuyên Toán. ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Bản Hướng dẫn chấm thi gồm 03 trang) I. Hướng dẫn chung - Nếu thí sinh làm bài đúng theo cách khác với đáp án dưới đây vẫn cho điểm tối đa. - Điểm từng bài thi được chấm lẻ tới 0,5 điểm. II. Đáp án và thang điểm Câu Nội dung Điểm 1 Điều kiện cos 0 , 2 x x k k        . Phương trình đã cho tương đương với   2 2 cos2 tan 1 cos 1 tanx x x x     2 cos2 cos 0 2cos cos 1 0x x x x       2 cos 1 2 , 1 3 3 2 cos 3 2 x k x x k k x k x                              1,0 Ta có   2 1 70 0;1;2; ;32 3 3 k k        Vậy phương trình có 33 nghiệm trên đoạn   1;70 . 0,5 Ta có 0 1 2 32 2 2 2 ; ; 2. ; ; 32. 3 3 3 3 3 3 3 x x x x               Do đó tổng các nghiệm là   2 33 1 2 32 11 352 363 3 3             0,5 2 Phương trình tương đương với 2 2 8 x m x    Xét hàm số         2 2 2 2 8 2 , , ' , ' 0 4 8 8 8 x x f x x f x f x x x x x             , 0,5 Lập bảng biến thiên của hàm số Trong đó có tính toán đúng các giới hạn     lim 1, lim 1 x x f x f x      và   6 4 2 f  . 0,75 Từ bảng biến thiên ta có 0,75 1 1m   : Phương trình có 1 nghiệm duy nhất. 6 1 2 m  : Phương trình có 2 nghiệm. 6 2 m  : Phương trình có 1 nghiệm (kép). 3 Ta có   2 2 1 cos 2 1 4 tan 2 1 tan 2 1 8 8 2 1 1 cos 4                0,5 Bằng quy nạp ta chứng minh   tan 1 tan 3 8 n u n            Với n = 2 ta có 1 2 1 tan tan tan 8 3 8 tan 3 8 1 tan 1 tan .tan 8 3 8 u u u                       0,5 Giả sử bài toán đúng đến n = k, tức là   tan 1 tan 3 8 k u k            Ta chứng minh bài toán đúng với n = k+1. Ta có         1 tan 1 tan 2 1 3 8 8 tan 1 tan 3 8 8 3 8 1 1 2 1 tan 1 tan 3 8 8 k k k k u u k k u k                                                       0,5 Vậy   tan 1 tan 3 8 n u n            , do đó   2003 3 1 tan 2002 tan 2 3 3 8 3 4 1 3 u                           0,5 Xét phép tịnh tiến theo véc tơ BA  . Gọi D, E lần lượt là ảnh của M, C qua phép tịnh tiến này. Ta có     DAE MBC MDC ECD   nên tứ giác DAEC nội tiếp. 1,0 4 Từ đó suy ra    ACD AED BCM  0,5 5 Dễ thấy / / 'KI CC (1). Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của CC’ suy ra 2 2 , , / / 3 3 AG AI AG AI NM GI AN AM AN AM     (2). Từ (1) và (2) suy ra (IKG) // (BCC’B’). 1,0 Ta có AI // A’K (3); CP nằm trong mặt phẳng (A’KG) và B’M nằm trong (AIB’) mà CP // B’M (4) nên từ (3) và (4) suy ra (A’KG) // (AIB’). 1,0 Hình vẽ 0,5 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán- Lớp 11 – Chương trình nâng cao Thời gian làm bài : 90 phút Câu 1 (3 điểm): Giải các phương trình sau: 1, xxx 3cos2sin)5 2 cos(   2, )1sin4(32cos32sin4  xxx 3, xx x xx sincos 1sin )1)(cotcos1(2 2    Câu 2 (2 điểm): Tìm số hạng chứa x 20 trong khai triển A = 29 ) 3 1 9( x x  Câu 3 (2 điểm): Một hộp chứa 12 thẻ, trong đó có 2 thẻ ghi số 1 ; 4 thẻ ghi số 5 và 6 thẻ ghi số 10. Chọn ngẫu nhiên 6 thẻ. Tính xác suất để các số ghi trên 6 thẻ được chọn có tổng không nhỏ hơn 50. Câu 4 (3 điểm): Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên BD lấy một điểm K sao cho BK = 2 KD. 1, Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (IJK). 2, Gọi F là giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (IJK). Chứng minh FA = 2FD 3, Gọi M, N là hai điểm bất kỳ lần lượt trên đoạn AB, CD. Tìm giao điểm của MN với mặt phẳng (IJK). Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Chữ ký giám thị: TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán- Lớp 11 – Chương trình nâng cao Thời gian làm bài : 90 phút. HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Bản Hướng dẫn chấm thi gồm 01 trang) 1, Hướng dẫn chung: Học sinh làm đúng đến bước nào cho điểm từng phần đến bước đó. 2, Đáp án và thang điểm: Câu 1/1 (1đ): Phương trình đã cho tương đương với cos3x(sin2x+1)=0 <=> Zk kx k x x x                   4 36 12sin 03cos . Kết luận : PT có 2 họ nghiệm trên. Câu 1/2 (1đ): Phương trình đã cho tương đương với            PTVN Zkkx xx x xxx )2( ,)1( )2( 06sin3cos4 )1(0sin 0)6sin3cos4(sin  Kết luận : Phương trình có nghiệm x = Zkk ,  Câu 1/3 (1đ): Điều kiện      0sincos 0sin xx x Phương trình đã cho tương đương với                 2 ,2 2 1cos 1sin 0)1)(cos1(sin kx Zkkx x x xx Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm Zkkx  ,2 2   Câu 2 (2đ): k = 6 ; Số hạng chứa x 20 bằng 20436 29 3 xC Câu 3 (2đ): Số trường hợp có thể : 6 12 C =924 ; P = 924 127 1 6 12 2 4 4 6 1 6 5 6   C CCCC Câu 4/1 (1đ): Thiết diện là tứ giác IJKF ( Hình vẽ) Câu 4/2 (1đ): Gọi H là trung điểm của BD, Ta có CD JH KD HK DE JH  2 1 => D là trung điểm của CE. Trong ACE có AD, EI là đường trung tuyến => F là trọng tâm của tam giác ACE. Kết luận: FA = 2 FD Câu 4/3 (1đ): Trong (ACD) có 'AIFAN  ; Trong (BCD) có 'BJKBN  ; Trong (ABN) có OMNBA '' . Điểm O chính là giao điểm phải tìm. . t i liệu. Giám thị không gi i thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Chữ kí giám thị: TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán - Lớp 11 chuyên Toán. ĐỀ THI. Vậy thi t diện của hình chóp cắt b i mặt phẳng (MNP) là ngũ giác PENHM. 0,25 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán - Lớp 11 chuyên Toán. ĐỀ THI CHÍNH. dụng t i liệu. Giám thị không gi i thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Chữ ký giám thị: TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 201 2- 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán- Lớp 11 –