Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word De thi chon HSG Cap truong doc SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn TOÁN Thời gian 150 phút (không kể t[.]
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn : TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1.(5,0 điểm) Cho phương trình bậc hai x x m (1) với x ẩn số a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x x x x Câu (3,0 điểm) x x3 y xy xy y Giải hệ phương trình: x y xy (2 x 1) Câu 3.(5,0 điểm) 4sin cos sin cos3 b) Cho tam giác ABC Gọi D, E BD BC; AE AC Điểm K đoạn a) Cho góc thỏa mãn tan Tính giá trị biểu thức P thẳng AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AD AK Câu ( 5,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC, D trung điểm 16 AB, E điểm thuộc đoạn AC cho AC = 3EC, có phương trình CD : x 3y 1 , E ;1 3 a) Chứng minh BE phân giác góc B, Tìm tọa độ điểm I giao CD BE b) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm Câu (2,0 điểm) Cho a , b, c số thực dương thoả mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 2 a b c abc Hết -Họ tên thí sinh : Số báo danh : HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm Phương trình x x m 5,0 a) Giải phương trình (1) m 1,5 Khi m PT (1) có dạng: x x 0,5 Ta có: ' 0,5 PT (1) có nghiệm phân biệt: x1 x2 0,5 b) Tìm giá trị m thỏa mãn 3,5 Lập ∆ = 25 - 4m Phương trình có nghiệm x1 , x2 ∆ ≥ hay m 0,5 25 Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1 x2 5; x1 x2 m 0,5 ìïx + x > hay m > Hai nghiệm x1 , x2 dương ïí ïïỵx1x > Điều kiện để phương trình có nghiệm dương x1, x2 < m Ta có: Suy ( x1 + x ) 0,5 = x1 + x + x1 x = + m x1 + x = + m Ta có x1 x x x1 x1.x Hay 25 (*) 0,5 x1 x m m 2m m 5m 36 (1) Đặt t m , (1) thành: 2t3 + 5t2 - 36 = 0,5 (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = t - = 2t2 + 9t + 18 = Với t - = => t = => m = (thoả mãn (*)) 0,5 Với 2t2 + 9t + 18 = : phương trình vơ nghiệm Vậy với m = phương trình cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn 0,5 x1 x x x1 x x3 y xy xy y Giải hệ phương trình: x y xy (2 x 1) 3,0 ( x y ) xy ( x y ) xy Hệ 2 x y xy 1,0 a x y Đặt Hệ trở thành: b xy a ab b (*) a b 0,5 a a 2a a (a a 2) Hệ (*) 2 b a b a 0,5 Từ tìm (a; b) (0; 1); (1; 0); (2; 3) x2 y Với (a; b) (0; 1) ta có hệ x y xy x2 y ( x; y ) (0; 1);(1;0);(1;0) Với (a; b) (1; 0) ta có hệ xy 0,5 Với (a; b) (2; 3) ta có hệ 3 x y 2 y y x 1; y x x xy x 2x ( x 1)( x x 3) 0,5 Kết luận: Hệ có nghiệm ( x; y ) (1; 1);(0; 1);(1; 0);(1; 0);(1; 3) 5,0 a) Cho góc thỏa mãn tan Tính giá trị biểu thức P 4sin cos sin cos 4sin cos P sin cos3 sin cos3 sin co s sin co s 2,5 1.0 4sin sin cos 4sin cos cos3 sin cos3 0,5 tan tan tan tan 0,5 4.8 4.2 8 2 0,5 b) AD đoạn thẳng AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AK b) Cho tam giác ABC Gọi D, E BD BC; AE AC Điểm K Vì AE 2,5 A AC BE BC BA (1) 4 E K 0,5 B D C Giả sử AK x AD BK xBD 1 x BA (1) Mà BD BC nên AK x.AD BK Do BC; BA không phương nên 2x BD (1 x)BA 0,5 m 2x 3m &1 x 0 4 0.5 0,5 Từ suy x ; m Vậy AK AD 0,5 AD 3 AK Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC, D trung điểm AB, E điểm thuộc đoạn AC cho AC = 3EC, có phương trình 16 CD : x 3y 1 , E ;1 5,0 Chứng minh BE phân giác góc B, Tìm tọa độ điểm I giao 2,5 a) CD BE Ta có BA EA E chân đường phân giác BC EC A 0,5 D I B E C Do BD = BC BE CD BE : x y 17 0,5 x 3y 1 I BE CD tọa độ điiểm I nghiệm hệ 3x y 17 0,5 Giải hệ phương trình I 5; 1,0 b) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm Đặt BC a AB 2a, AC a 5, CE 2,5 a 0,5 450 IB IC BC a Do CBE (1) Tam giác EIC vuông I IE EC IC IE 0,5 a (2) Từ (1) (2) IB 3IE B (4;5) Gọi C (3c 1; c) từ 0,5 c BC c 4c c 0,5 Với c C (2;1), A(12;1) (KTM) Với c C (8;3), A(0; 3) (TM) 0,5 Vậy A(0; 3), B (4;5), C (8;3) Cho a , b, c số thực dương thoả mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 2 a b c abc 2,0 Áp dụng BĐT AM- GM ta có ab bc ca 33 a b c 1= a + b + c 3 abc abc P P 0,5 ab bc ca 33 abc 3 abc 9abc 2 a b c ab bc ca 1 2 a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca 0,5 0,5 30 a b c 2ab 2bc 2ca a b c 2 2 Vậy giá trị nhỏ P 30 chẳng hạn a b c 0,5