Cđ18 hình học kỳ 2

CHUYÊN ĐỀ: Hình học kỳ vấn đề liên quan CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG CHỦ ĐỀ1 ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Tỉ số hai đoạn thẳng Định nghĩa: Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo Đoạn thẳng tỉ lệ Định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai A AB A ' B '  đoạn thẳng A ' B ' C ' D ' có tỉ lệ thức: CD C ' D ' AB CD  A' B ' C ' D ' Định lí Ta-lét tam giác Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ B' hay C' a C B Hình 3.1 B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh BC cho BD  , điểm E thuộc đoạn DC AI IC Nhận xét: Để xuất đoạn thẳng tỉ lệ ta vận dụng định lí Ta-lét nên cần vẽ thêm đường thẳng song song  DN / / BI  Mặt khác ta phải khéo léo vận dụng tỉ thẳng AD cho AE 2 DE Gọi I giao điểm BE AC Tính tỉ số số cho áp dụng hệ thức a a c  b c b Giải Qua D kẻ đường thẳng song song với BI cắt AC N , áp dụng định lí Ta-lét: AI AE A  2 Trong AND, EI / / DN nên: IN ED (vì AE 2 ED); (1) I IN BD N E   (2) Trong BCI , BI / / DN nên IC BC BD BD DC BD  DC BC      (vì ) C B D DC 3 3 Hình 3.2 AI IN AI 2   Từ (1), (2)  IN IC IC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM Gọi I điểm đoạn thẳng AM , tia BI , CI cắt cạnh AC , AB D E Chứng minh rằng: AE AD  AB AC AE AD ; ta chứng minh chúng AB AC tỉ số trung gian Muốn áp dụng định lí Ta-lét phải làm xuất đường thẳng song song, để ý M trung điểm BC nên nghĩ đến việc tạo hình bình hành để có cạnh đối song song Giải Dựng N điểm đối xứng I qua M , M trung điểm BC nên tứ giác BICN hình bình hành (tứ giác có hai đường A chéo cắt trung điểm đường) Suy CI / / BN BI / / CN Áp dụng định lí Ta-lét cho: AE AI ABN , EI / / BN nên D  ; E AB AN I AI AD ACN , ID / / CN nên  M AN AC C B AE AD  Do N AB AC Nhận xét: Để chứng minh hai tỉ số Hình 3.3 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM trọng tâm G Một đường thẳng  d  qua G cắt hai cạnh AB, AC H K Khi  d  thay đổi qua G, chứng tỏ tổng AB AC BH CK   có giá trị khơng đổi AH AK AH AK Nhận xét: Dự đoán: Khi  d  / / BC AB AM AC AB AC    nên  2 3 AH AG AK AH AK BH GM CK BH CK    nên  2 1 AH AG AK AH AK Do  d  đường thẳng qua G nên để vận dụng định lí Ta-lét ta vẽ đường thẳng qua B, C song song với  d  Giải Qua B C kẻ đường thẳng song song với  d  cắt AM E F Áp dụng định lí Ta-lét cho: A K G H E M B F Hình 3.4 C AB AE  ; AH AG AC AF AFC , GK / / FC nên  AK AG AB AC AE  AF   Do đó: (1) AH AK AG Mà AE  AM  ME ; AF  AM  MF  AE  AF 2 AM (vì BEM CFM (g c g)  ME MF ) Lại có: AM  AG (do G trọng tâm ABC ) Từ (1) cho: AB AC AM   2 3 AH AK AG AH  BH AK  CK BH CK BH CK  3    3   1 Suy ra: AH AK AH AK AH AK AB AC  , ta tính Chú ý: Q trình giải hồn tồn tương tự cách tính tổng AH AK ABE , HG / / BE nên BH CK  toán yêu cầu tính hai tổng AH AK Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm AC Đường thẳng qua A tổng DC DB Nhận xét: Để ý ABC vuông cân A nên đường cao AH kẻ từ A đường trung tuyến, giao điểm I BM AH vừa trọng tâm ABC vừa trực tâm ABD Như ta làm xuất DI song song với AC để vận dụng định lí Ta-lét vng góc với BM cắt BC D Tính tính tỉ số DC DB E A M I B H D C Giải Hình 3.5 Kẻ đường cao AH ABC , cắt BM I Do BI  AD nên I trực tâm ABD  DI  AB  DI / / AC (vì vng góc AB ) DC IM  Trong BMC , DI / / MC nên: (định lí Ta-lét) DB IB Mặt khác, ABC cân A nên AH đường trung tuyến  I trọng tâm ABC IM   (tính chất trọng tâm) IB DC  Vậy: DB Chú ý: Nếu từ C ta kẻ đường thẳng song song với AD ta có cách giải khác Cách khác: Dựng đường thẳng qua C song song với AD cắt đường thẳng AB E   Ta có: ABM MAD (cùng phụ với AMB ), MAD  ACE (so le trong, AD / / CE ) Suy ra: ABM  ACE Do đó: ABM ACE (g c g)  AE  AM Áp dụng Ta-lét với AD / / CE : DC AE AM    DB AB AC C BÀI TẬP 3.1 Cho G trọng tâm tam giác ABC Qua G vẽ đường thẳng song song với AB AC cắt BC D E Chứng minh rằng: BD  ; a) b) BD DE EC BC 3.2 Đường thẳng d cắt cạnh AB, AD đường chéo AC hình bình hành ABCD AB AD AC   AE AF AO Cho tam giác ABC Từ điểm D cạnh AC kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB E Trên tia đối tia BA lấy điểm I cho BI DC Gọi K giao điểm E , F O Chứng minh 3.3 DK AB  KI AC Cho tam giác ABC , gọi M điểm thuộc miền tam giác ABC , tia AM cắt BC N Dựng hình bình hành ADME  D  AB, E  AC  Chứng minh DI BC Chứng minh 3.4 AD AE MN   có giá trị khơng đổi AB AC AN Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi M , N trung điểm BO, AO Lấy điểm F cạnh AB cho tia FM cắt cạnh BC E tia FN cắt cạnh AD K Chứng minh rằng: BA BC  4; a) b) BE  AK BC BF BE Cho tứ giác ABCD, gọi O trung điểm cạnh BC E điểm đối xứng D qua O Một điểm M di động cạnh AD, đường thẳng EM cắt OA I Từ I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC K H Chứng minh rằng tổng 3.5 3.6 biểu thức AB AC AD   có giá trị khơng đổi AK AH AM CHỦ ĐỀ2 ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định lí Ta-lét đảo Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác Cho tam giác ABC  AB ' AC '  AB  AC   AB '  AC '  a / / BC  BB CC  BB ' CC '    AB AC Hệ định lí Ta-lét A C' a B' B C Hình 3.6 Nếu đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cắt phần kéo dài hai cạnh) tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho AB ' AC ' B 'C'   Cho tam giác ABC : a / / BC  AB AC BC B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A Đường thẳng vuông góc với BC B cắt đường thẳng vng góc với AC C D Vẽ BE  CD E , gọi M giao điểm AD BE Vẽ EN  BD N Chứng minh rằng: a) MN / / AB b) M trung điểm BE Nhận xét: Để chứng minh MN / / AB ta nghĩ đến dùng định lí đảo Ta-lét DM DN  Vận dụng định lí Ta-lét để chứng minh tỉ Khi ta cần chứng minh DA DB số tỉ số trung gian a c Chứng minh M trung điểm BE , ta dùng tính chất:  mà b d nên a c b d Giải a) Ta có BE  CD (gt), AC  BE (gt)  BE / / AC DE DM  Xét DAC có ME / / AC : (định lí Ta-lét) DC DA DE DN  Tương tự có DC DB DM DN  DE   Xét DBA có    MN / / AB DA DB  DC  (Định lí Ta-lét đảo) b) Gọi F giao điểm AC BD Ta có ABC  ABF  ACB  AFB 900 , Mà ABC  ACB ( ABC cân A ) Nên ABF  AFB  ABF cân A  AB  AF Vậy AC  AF   AB  F A B C M N E D ME DM  Hình 3.8 AC DA (hệ định lí Ta-lét); MB DM  DAF có MB / / AF  (hệ định lí Ta-lét) AF DA ME MB  DM   Dó   Vậy ME MB AC AF  DA  Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E Đường thẳng qua B song song với AD cắt AC F Chứng minh EF song song với DC Nhận xét: Vận dụng định lí đảo Ta-lét để chứng minh EF / / CD, nghĩa lầ ta cần DAC có ME / / AC  OE OF  Để ý OAE OBC có AE / / BC , OAD OFB có OD OC AD / / BF , vận dụng hệ định lí Ta-lét ta tỉ số trung gian a a c Dựa vào tính chất:  , ta thu điều phải B b c b chứng minh A Giải O Gọi O giao điểm AC BD OAE OBC có AE / / BC nên: E F OE OA  (hệ định lí Ta-lét); OB OC D C OAD OFB có AD / / BF nên: Hình 3.9 OB OF  (hệ Ta-lét) OD OA chứng minh: OE OB OA OF OE OF    OB OD OC OA OD OC  EF / / CD (định lí đảo Ta-lét) Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD có AB đáy nhỏ, gọi O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AD BC theo thứ tự M , N Chứng minh rằng: OM ON OM ON  Nhận xét: Áp dụng định lí Ta-lét hệ quả, ta chứng minh: AB AB Giải Áp dụng định lí Ta-lét ABD, OM / / AB nên: B A OM OD  (1) AB DB N M OD NC O  Trong BDC , ON / / CD : (2) DB BC Theo hệ Ta-lét, ON / / AB nên NC ON  (3) C D BC AB Hình 3.10 OM ON   OM ON Từ (1), (2), (3) suy AB AB Chú ý: ON OB OM ON OD  OB DB  Kết hợp với (1) ta được:    1 Ta có: CD DB AB CD DB DB 1   Từ ta có tốn: Do OM ON nên ta có: AB CD MN “Cho hình thang ABCD có AB đáy nhỏ, gọi O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AD BC theo thứ tự M , N Suy ra: 1   AB CD MN Xét MN đường thẳng không qua O cắt BD, AC E F Lí luận tương tự ta ME  NF Từ ta có tốn: B A “Cho hình thang ABCD có AB đáy nhỏ Kẻ đường thẳng song song với AB, O N M AD , BC , BD AC cắt theo thứ tự F E M , N , E , F Chứng minh ME  NF ” Đặt vấn đề: Ta xác định đường thẳng C MN song song với AB, thỏa mãn D I ME EF NF Hình 3.11 Gọi I giao điểm tia AE CD ME EF  Do: nên ME EF DI IC Chứng minh rằng:  DI  IC  I trung điểm CD Từ suy cách xác định đường thẳng MN Ta có tốn: “Cho hình thang ABCD có AB đáy nhỏ Gọi M điểm cạnh AD Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC , BD AC theo thứ tự N , E , F Xác định vị trí đường thẳng MN cho ME EF  NF ” Sai lầm: Đa số xác định đường thẳng MN thỏa mãn yêu cầu toán, bỏ qua trường hợp I trung điểm cạnh đáy cịn lại hình thang Ví dụ 4: (Bổ đề hình thang) Chứng minh hình thang có hai đáy khơng nhau, đường thẳng qua giao điểm đường chéo qua giao điểm đường thẳng chứa hai cạnh bên qua trung điểm hai đáy Giải Xét hình thang ABCD có AB đáy nhỏ, gọi O giao điểm hai đường chéo, S giao điểm hai đường thẳng AD, BC Đường thẳng SO cắt AB, CD M , N Áp dụng hệ định lí Ta-lét: S AM SM  ; DN SN M B A MB SM SNC , MB / / NC   O NC SN AM MB  Suy ra: (1) DN NC D N AM OM MB   Tương tự ta có: (2) Hình 3.12 NC ON ND AM MB   MA2 MB  MA.MB Từ (1), (2) có: DN NC NC ND Theo (1) ta NC  ND SDN , MA / / DN  Khai thác: Xét tốn đảo Ví dụ 4: dựng hình thước kẻ Bài toán 1: Cho trước đoạn thẳng AB trung điểm M nó, C   AB  Chỉ thước thẳng, C S D (d) C dựng qua điểm C đường thẳng song song với AB Phân tích: Giả sử dựng đường thẳng  d  qua điểm C song song với AB Trên phần kéo dài tia BC , lấy điểm S Gọi giao điểm SA với  d  D, AC A M B Hình 3.13 cắt BD O Theo bổ đề hình thang, đường thẳng SO qua điểm M , từ suy cách dựng Cách dựng: Lấy điểm S Lần lượt nối AC , SM , đường thẳng cắt O Nối SA, BO, cắt D Đường thẳng  d  qua C , D đường thẳng cần dựng:  d  qua C ,  d  / / AB Kết toán vận dụng nhiều tốn dựng hình thước thẳng Bài tốn 2: Cho hình bình hành ABCD với O tâm Chỉ đùng thước thẳng, qua O dựng đường thẳng song song với cạnh hình bình hành ABCD Giải Theo giả thiết, O trung B A điểm AC , BD Áp dụng toán cho đoạn thẳng y E O AC với O trung điểm AC I B điểm nằm AC , ta hoàn x toàn dựng đường thẳng C D Bx / / AC Tương tự, ta dựng đường Hình 3.14 thẳng Cy / / BD Gọi E giao điểm Bx, Cy, ta thấy OBEC hình bình hành Do đó, gọi I giao điểm BC OE I trung điểm BC , mặt khác O trung điểm BD nên OI đường trung bình BCD, OI / / CD Suy OE đường thẳng cần dựng Bài toán 3: Cho ABC M , N , P điểm cạnh BC , CA, AB Nối AM , BN , CP cắt I , J , K Chứng minh rằng: Nếu S AIN S BJP SCKM S IJK S APJI S BMKJ SCNIK  Giải Gọi L giao điểm CI NK Từ S AIN S IJK  S ANI  S AIJ S IJK  S AIJ A N  S NAJ S KAJ I Ta nhận thấy NAJ KAJ có chung cạnh AJ nên khoảng cách từ N K tới AJ nhau, dẫn đến NK / / AJ L P J B K M C Hình 3.15 Xét hình thang KNAJ , có C giao điểm hai cạnh bên AN JK , I giao điểm AK JN Theo “bổ đề Hình thang”, CI cắt NK trung điểm NK Vậy L trung điểm NK (*) Từ (*) ta chứng minh SCIN SCIK , mà S AIN SCKM  SCIM SCIA  IA IM  ** ( CIM CIA có chung đường cao hạ từ C tới AM ) Từ (**)  S BIA S BIM ( BIM BIA có chung đường cao hạ từ B tới AM )  S BPJ  S APJI S IJK  S BJKM  S APJI S BJKM (do S BPJ S IJK ) Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh cặp ba tứ giác APJI , BMKJ , CNIK có diện tích diện tích ba tứ giác C BÀI TẬP 3.7 Lấy điểm O tam giác ABC , tia AO, BO, CO cắt BC , AC , AB OA OB OC   2 AP BP CR Cho A ', B ', C ' nằm cạnh BC , AC , AB tam giác ABC Biết đồng P, Q, R Chứng minh 3.8 AM AB ' AC '   A ' M CB ' BC ' 3.9 Cho tam giác ABC trung tuyến AM Điểm O thuộc AM F giao điểm BO AC , E giao điểm CO AB Từ M kẻ đường thẳng song song với OC cắt AB H kẻ đường thẳng song song với OB cắt AC K Chứng minh rằng: a) EF / / HK ; b) EF / / BC 3.10 Cho tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D cắt AC E Qua C kẻ Cx song song với AB, cắt DE G Gọi H giao điểm AC BG quy M Chứng minh rằng: Kẻ HI song song với AB  I  BC  Chứng minh rằng: a) DA.EG DB.DE ; b) HC HE.HA; 1   IH AB CG 3.11 Cho tam giác ABC , gọi I điểm thuộc miền tam giác IA, IB, IC theo c) thứ tự cắt BC , CA, AB M , N , P Chứng minh IA NA PA   IM NC PB 3.12 Cho hình thang ABCD  AB / / CD  , O giao điểm hai đường chéo Gọi A ' B ' theo thứ tự điểm đối xứng A B qua đường phân giác góc AOB Chứng  minh rằng: ACA ' BDB ' 3.13 Cho tứ giác ABCD  AC  CD  Lấy điểm M , P theo thứ tự cạnh AB, AC AM CP  Trên tia CA lấy điểm K cho CK CD Gọi H , O AP CD trung điểm BK , AC Qua M , P kẻ đường thẳng song song với BK , chúng cắt AH , CH theo thứ tự N Q a) Chứng minh rằng: MN PQ; b) Khi M , P di động AB, AC trung điểm I MP chuyển động đường cố định nào? cho: