ON TAP HINH HOC KY II

Các đường cao AN và BM cắt nhau tại H và cắt đường tròn O lần lượt tại D và E a Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn, xác định tâm I của đường tròn này.. // DE vì có cặp góc đồng [r]

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AN và BM cắt H và cắt đường tròn (O) D và E a) Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn, xác định tâm I đường tròn này b) Chứng minh: CD = CE c) Chứng minh: MN // DE   a) Ta có: AMB  ANB 90 (gt) Vì hai điểm M và N cùng nhìn đoạn AB góc 90 0, nên tứ giác ABNM nội tiếp đường tròn đường kính AB, tâm đường tròn này là trung điểm I AB    b) Có: DAC EBC (2 góc cùng phụ với ACB )  D sdCE   s dC (2 góc nội tiếp chắn cung nhau)  CD = CE   c) Có BMN BAN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN (I))  D BE  D BA (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD (O)) BMN BE  D  MN Suy : // DE (vì có cặp góc đồng vị nhau) Bài 2: Cho đường tròn (O, R) hai đường kính AB và CD vuông góc với Trên cung AC  o lấy điểm E cho AOE 60 ; ED cắt AB I a) Chứng minh tứ giác EIOC nội tiếp đường tròn b) Kẻ AH và BK vuông góc với CE Chứng minh AH KE = BK HE c) Tính theo R diện tích hình quạt EOBC o o   a) Xét tứ giác EIOC có IOC 90 (gt); DEC 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) =>    IEC 90o , đó IOC  IEC 90o  90o 180o Vậy tứ giác EIOC nội tiếp đường tròn b) Ta có AB  CD (gt) => D là điểm chính ADB o  o  o    nên AED BED 45 => HEA 45 ; KEB 45 (góc nhội tiếp chắn BC ) o  o    Xét hai tam giác vuông AHE và BKE có: H K 90 ; HEA KEB 45 => AHE BKE AH HE  => BK KE hay AH KE = BK HE AE  AOE 60o c) Sđ  o  o o o Sđ BCE 180  sd AE 180  60 120 Diện tích hình quạt EOBC là:  R 120o  R  o (đvdt) S = 360 Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Các đường cao AH và BK tam giác cắt đường tròn D và E, AH cắt BK I a) Chứng minh các tứ giác KIHC và AKHB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh tam giác IBD cân c) Chứng minh  BIC =  BDC từ đó suy độ dài đường tròn ngoại tiếp  BIC theo R d) Chứng minh CO  HK   a) Tứ giác KIHC có IKC = IHC = 900 (gt)    IKC + IHC = 900 + 900 = 1800 Vậy tứ giác KIHC nội tiếp đường tròn đường kính IC   Tứ giác AKHB có AKB = AHB = 900 (gt)  hai đỉnh H và K cùng nhìn AB góc vuông Vậy tứ giác AKHB nội tiếp đường tròn đường kính AB   b) ADB = ACB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)      BID = ACB ( cùng bù HIK )  ADB = BID Vậy  IBD cân B c) Xét  BIC và  BDC có BC chung    IBD cân có BC là đường cao nên là đường phân giác  IBC = DBC IB = BD (vì  IBD cân B) Vậy  BIC =  BDC (c.g.c) Do đó đường tròn ngoại tiếp hai  BIC và  BDC Mà độ dài đường tròn ngoại tiếp  BDC  R nên độ dài đường tròn ngoại tiếp  BIC  R Bài 4: Từ điểm A bên ngoài (O; R), vẽ tiếp tuyến AB (với B là tiếp điểm) và cát tuyến AMN đến đường tròn (O) (với M nằm A, N) Gọi I là trung điểm MN a Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn  b Tia phân giác MBN cắt MN D, cắt đường tròn (O) K Chứng minh AB = AD  c Cho BNM 30 Tính diện tích hình viên phân giới hạn cung BM và dây BM  d Cho BOM 90 Tính thể tích hình nón tạo thành quay BOM xung quanh cạnh OB B A M D O I N K a C/m: Tứ giác ABOI nội tiếp: NI = IM (gt)   OIA 900  OBA 900 ( gt )   OBA   OIA 1800  tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn đường kính OA b C/m: AB = AD    KM  NBK KBM (gt )  NK    D  sñ BM  sñ NK  sñ BK  2  D  KBA   ABD c©n t¹i A  AB = AD   sñ BK   KBA   S ShqOBM  SOBM  2.300 60 sñ BM c Gọi S là diện tích hình viên phân cần tìm ShqOBM  .OB n .R n R    ñvdt  360 3600  BOM OB = OM = R và BOM 60 OB R   ñvdt  4 R R R Svp    2  3  ñvdt  12 1 V  R h  .R R  .R 3 3 d Thể tích hình nón: (đvdt) SOBM    Bài 5: Cho đường tròn (O; R), đường kính BC A là điểm bên ngoài đường tròn cho AB, AC cắt đường tròn (O) D, E (B, D, E, C cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC) a/ Chứng minh AD.AB = AE.AC b/ Đường tròn ngoại tiếp  ABC cắt đường thẳng OA I (I khác A ), DE cắt AI F Chứng minh tứ giác IFEC nội tiếp đường tròn c/ Trong trường hợp  ABC đều, tính diện tích hình quạt ODEC theo R A D F E O B C I   ABE ACD  sd DE A a) Ta có ACD  ABE ( chung, ) AD AC    AD.AB AE.AC AE AB   b) Ta có CIF CBA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)    CBA DEA DEA (tứ giác BDEC nội tiếp,  là góc ngoài)  Suy CIF DEA Nên tứ giác IFEC nội tiếp  c) ABC  ABC 60    nên sđ DEC 2ABC 120 (ABC là góc nội tiếp) Diện tích hình quạt DOCE : R n R 120 R S   360 360 (đvdt)