THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Vectơ phương Vectơ u gọi vectơ phương (VTCP) đường thẳng giá song song trùng với Nhận xét: Một đường thẳng có vơ số vectơ phương Nếu u vectơ phương ku k vectơ phương Phương trình tham số đường thẳng Cho đường thẳng qua M x ; y u a; b vectơ phương Khi phương trình tham số đường thẳng có dạng: x x at , t y y bt Nhận xét: A A x at; y bt Phương trình tắc đường thẳng Cho đường thẳng qua M x ; y u a; b (với a , b ) vectơ phương Khi phương trình tắc đường thẳng có dạng: x x y y0 a b Vectơ pháp tuyến đường thẳng Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) giá vng góc với Nhận xét: Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến Nếu n vectơ pháp tuyến kn k vectơ pháp tuyến Liên hệ vectơ phương vectơ pháp tuyến: vectơ pháp tuyến vectơ phương vng góc với Do có vectơ phương u a; b n b;a vectơ pháp tuyến Phương trình tổng quát đường thẳng Cho đường thẳng qua M x ; y có vectơ pháp tuyến n a; b Khi phương trình tổng quát đường thẳng có dạng: a x x b y y0 Chú ý: Nếu đường thẳng : ax by c n a; b vectơ pháp tuyến Các dạng đặc biệt phương trình tổng quát song song trùng với trục Ox : by c song song trùng với trục Oy : ax c Trang qua gốc tọa độ : ax by Phương trình đoạn chắn: qua hai điểm A a;0 , B 0; b : x y với ab a b Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 : a1x b1 y c1 : a x b y c Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1 ta xét số nghiệm hệ phương trình a1x b1 y c1 a x b y c (I) Nếu hệ (I) vô nghiệm, hai đường thẳng song song Nếu hệ (I) vô số nghiệm, hai đường thẳng trùng Nếu hệ (I) có nghiệm nhất, hai đường thẳng cắt Nghiệm hệ tọa độ giao điểm hai đường thẳng Chú ý: Nếu a b c thì: 1 a1 b1 a b2 1 // a1 b1 c1 a b2 c2 1 a1 b1 c1 a b2 c2 1 a1a b1b Góc hai đường thẳng Góc hai đường thẳng 1 có vectơ pháp tuyến n1 a1 ; b1 n a ; b : n1.n a1a b1b cos 1 , cos n1 , n n1 n a12 b12 a 22 b 22 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M x ; y đến đường thẳng : ax by c cho công thức: d M0 , ax by c a b2 PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng Phương pháp giải Phương trình đường thẳng qua hai điểm AB biết A x1 ; y1 , B x ; y x1 x , y1 y là: x x1 y y1 x x1 y y1 Trang Đường thẳng qua điểm M x ; y có hệ số góc k có phương trình là: y k x x y Viết phương trình đường trung trực đoạn AB biết A x1 ; y1 , B x ; y x x y1 y Đường trung trực đoạn AB qua trung điểm I ; AB nhận AB x x1 ; y y1 , làm vectơ pháp tuyến Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác tam giác Cho đường thẳng cắt nhau: d1 : A1x B1 y C1 ; d : A x B2 y C2 Phương trình đường phân giác góc tạo đường thẳng là: A1x B1 y C1 A B 2 A x B2 y C A 2 B2 Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song với chúng có vectơ pháp tuyến vectơ phương Hai đường thẳng vng góc với vectơ phương đường thẳng vectơ pháp tuyến đường thẳng ngược lại Cho : Ax By C A x1 ; y1 , B x ; y A B nằm phía Ax1 By1 C Ax By C A B nằm khác phía Ax1 By1 C Ax By C Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Lập phương trình tham số đường thẳng qua M 2;1 có vectơ phương u 3;7 x 3t A : y 7t x 3t B : y 7t x 2 3t C : y 1 7t x 3t D : y 7t Hướng dẫn qua M 2;1 có vectơ phương u 3;7 nên phương trình tham số có dạng: x 3t : y 7t t Chọn A Ví dụ 2: Phương trình đường thẳng qua A 1;3 có vectơ pháp tuyến n 3; 2 là: A 3x 2y B 3x 2y C 3x 2y D 3x 2y Hướng dẫn Phương trình đường thẳng có dạng: x 1 y 3 3x 2y Chọn C Ví dụ 3: Viết phương trình tổng qt đường thẳng qua điểm A 3; 1 B 1;5 A 3x y B 3x y C x 3y D 3x y 10 Trang Hướng dẫn Đường thẳng qua điểm nhận vectơ AB 2;6 vectơ phương suy đường thẳng có vectơ pháp tuyến n 6; 3;1 Vậy phương trình đường thẳng là: 3x y Chọn B Ví dụ 4: Cho điểm A 1;7 , B 7;5 Viết phương trình đường tắc trung trực đoạn thẳng AB A x 4 y6 1 B x 4 y6 C x 4 y6 3 D x 4 y6 1 Hướng dẫn Đường trung trực AB đường thẳng qua trung điểm AB vuông góc với AB Ta có I 4;6 trung điểm AB AB 6; 2 suy vectơ phương đường thẳng u 2;6 1;3 Vậy phương trình đường thẳng là: x 4 y6 Chọn B Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A 2;0 , B 0;3 , C 3;1 Đường thẳng qua B song song với AC có phương trình: A 5x y B 5x y C x 5y 15 D x 5y 15 Hướng dẫn Gọi d đường thẳng cần tìm Do d song song với AC nên nhận AC 5;1 làm vectơ phương Suy n 1; 5 vectơ pháp tuyến d d có phương trình: 1 x y 3 x 5y 15 Chọn D Ví dụ 6: Lập phương trình đường thẳng qua điểm M 5; 3 cắt hai trục tọa độ hai điểm A B cho M trung điểm AB A 3x 5y 30 B 3x 5y 30 C 5x 3y 34 D 5x 3y 34 Hướng dẫn Gọi A Ox A x A ;0 ; B Oy B 0; y B x A x B 2x M x 10 A Ta có M trung điểm AB y A y B 2y M y B 6 Suy AB : x y 3x 5y 30 10 6 Chọn A Trang Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : x y ; AC : 7x y ; BC :10x y 19 Viết phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC A 12x 4y B 2x 6y C 2x 6y D 2x 6y Hướng dẫn Do B AB BC nên tọa độ B nghiệm hệ phương trình: x y x B 2; 1 10x y 19 y 1 Do C AC BC nên tọa độ C nghiệm hệ phương trình: 7x y x C 1;9 10x y 19 y Phương trình đường phân giác góc A là: x y 1 12 12 7x y 1 2x 6y d1 12x 4y d Xét d1 : 2x 6y ta có: 2x B 6y B 2x C 6y C Suy B, C nằm khác phía so với d1 phía so với d Vậy phương trình đường phân giác góc A là: d1 : 2x 6y Chọn B Ví dụ 8: Đường thẳng d qua M 1; 5 cắt trục Ox, Oy A, B cho OA = 2OB Viết phương trình đường thẳng d A x 2y 11 x 2y B x y x y C x 2y 11 x y D x y x 2y Hướng dẫn Cách 1: Sử dụng phương trình đường thẳng dạng hệ số góc Gọi α góc đường thẳng d trục Ox Do tam giác OAB vng O nên ta có: tan BAO OB OA 180 tan Trường hợp 1: BAO Đường thẳng d có hệ số góc y qua M 1; 5 nên có phương trình là: x 1 x 2y 11 tan Trường hợp 2: BAO Trang Đường thẳng d có hệ số góc y qua M 1; 5 nên có phương trình là: x 1 x 2y Cách 2: Sử dụng phương trình đoạn chắn Giả sử A a;0 , B 0; b ; ab phương trình đường thẳng AB là: x y bx ay ab (1) a b a 2b Do OA = 2OB nên a b a 2b Trường hợp 1: Nếu a = 2b ta có (1) bx 2by 2b x 2y 2b (2) Do M 1; 5 nằm d nên 1 5 2b 2b 11 Thay vào (2) ta phương trình đường thẳng d là: x 2y 11 Trường hợp 2: Nếu a 2b ta có (1) bx 2by 2b x 2y 2b (3) Do M 1; 5 nằm đường thẳng d nên 1 5 2b 2b 9 Thay vào (3) ta phương trình đường thẳng d là: x 2y Chọn A Bài tập tự luyện Câu Đường thẳng qua A 1; , nhận n 2; 4 làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: A x 2y B x y C x 2y D x 2y Câu Phương trình đường thẳng qua A 5;1 song song với d : x y là: A 3x 2y B x y C 3x 2y D 3x 2y Câu Phương trình đường thẳng qua B 2;1 vng góc với d : x 2y là: A 3x 2y B 2x y C x 2y D 2x y Câu Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A 3; 1 B 1;5 x t A y 1 3t x t B y 1 3t x t C y 3t x t D y 1 3t Câu Cho tam giác ABC có A 2; 1 , B 1;3 , C 6;1 Viết phương trình đường phân giác ngồi góc A tam giác ABC A x y Đáp án 1–D B 5x 3y 2–B 3–D 4–A C 3x 3y D x y 5–D Dạng 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Ví dụ minh họa Trang x 3 4t x 2t Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối đường thẳng: 1 : : y 6t y 3t A Song song B Trùng C Vng góc D Cắt khơng vng góc Hướng dẫn 1 có phương trình dạng tổng quát x 3 y2 3x 2y 6 có phương trình dạng tổng quát x 1 y 3x 2y 11 2 Vì 3 nên hai đường thẳng song song 2 11 Chọn A Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng : x y d : 3x 4y 10 Khi hai đường thẳng này: A Cắt khơng vng góc C Song song với B Vng góc D Trùng Hướng dẫn : x y 4x 3y 12 Vì suy hai đường thẳng cắt 3 Ta lại có: 3.4 3 suy hai đường thẳng vng góc với Chọn B Ví dụ 3: Hai đường thẳng d1 : 4x 3y 18 ; d : 3x 5y 19 cắt điểm có tọa độ: A 3; B 3; C 3; 2 D 3; 2 Hướng dẫn 4x 3y 18 x Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình 3x 5y 19 y Vậy hai đường thẳng cắt điểm có tọa độ: 3; Chọn A Ví dụ 4: Cho điểm A 3;1 , B 9; 3 , C 6;0 , D 2; Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB CD A 6; 1 B 9; 3 C 9;3 D 0; Hướng dẫn Ta có AB 6; 4 VTPTn AB 2; 3 AB : 2x 3y 9 Trang Ta có CD 4; VTPTn CD 1; 1 CD : x y 6 Gọi N AB CD 2x 3y 9 x 9 Suy N nghiệm hệ N 9; 3 x y 6 y 3 Chọn B Ví dụ 5: Cho đường thẳng d1 : 2x y , d : x 2y , d : mx y Để ba đường thẳng đồng qui giá trị thích hợp m là: A m 6 C m 5 B m = D m = Hướng dẫn Giao điểm d1 d nghiệm hệ phương trình: 2x y x x 2y y 1 Do d1 cắt d A 1; 1 Để đường thẳng d1 , d , d đồng qui d phải qua điểm A tọa độ điểm A phải thỏa mãn phương trình d : m m Chọn B Bài tập tự luyện Câu Cho đường thẳng d : x 2y : x y , vị trí tương đối hai đường thẳng là: A d // B d C d D d cắt Câu Cho đường thẳng d : x 2y : x 3y , tọa độ giao điểm hai đường thẳng là: 3 A A ; 5 3 1 B A ; 5 5 1 C A 3; 5 3 1 D A ; 5 Câu Cho điểm A 4; 3 , B 5;1 , C 2;3 , D 2; Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng AB CD A Trùng B Cắt C Song song D Vng góc Câu Với giá trị m hai đường thẳng : 2m 1 x y m d : x m y vng góc với nhau? B 2 A Đáp án 1–D 2–B C 1 3–B D 4–C Dạng 3: Góc khoảng cách Phương pháp giải Xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng (d) Cách 1: Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với (d) Tọa độ điểm H giao điểm đường thẳng (d) đường thẳng Trang Cách 2: Cho d : ax by c at c Gọi H hình chiếu điểm M lên đường thẳng d Khi ta có: H t; b Ta có: AH u d AH.u d Từ suy tọa độ điểm H Chú ý: Nếu điểm M x ; y , tọa độ hình chiếu H M trên: Ox có tọa độ H x ;0 Oy có tọa độ H 0; y Xác định điểm M1 đối xứng với điểm M qua (d) Bước 1: Xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng (d) x M 2x M x M Bước 2: Gọi M1 điểm đối xứng với M qua d H trung điểm MM1 , ta được: y M1 2y M y M Viết phương trình hình chiếu đối xứng đường thẳng Cho đường thẳng d1 d Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với d1 qua d Bước 1: Xác định giao điểm I hai đường thẳng d1 d Bước 2: Lấy điểm M d1 Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua d Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua IM Chú ý: Nếu d1 // d ta làm sau: Bước 1: Lấy điểm M, N d1 sau xác định hình chiếu điểm M, N qua d M , N Bước 2: Viết phương trình đường thẳng d qua M, N Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Khoảng cách từ điểm M 1; 1 đến đường thẳng : 3x 4y 17 là: A B C 18 D 10 Hướng dẫn Khoảng cách từ điểm M 1; 1 đến đường thẳng : 3x 4y 17 là: d M, 3.1 1 17 32 42 2 Chọn B Ví dụ 2: Khoảng cách hai đường thẳng song song : 6x 8y 101 d : 3x 4y là: A 10,1 B 1,01 C 101 D 101 Hướng dẫn Trang Lấy điểm O 0;0 d : 3x 4y Khoảng cách hai đường thẳng song song là: d d; d O; 101 62 8 101 10,1 10 Chọn A Ví dụ 3: Tìm điểm M trục Ox cho cách hai đường thẳng: d1 : 3x 2y d : 3x 2y ? A 1;0 B 0;0 C 0; D 2;0 Hướng dẫn Gọi M a;0 thuộc Ox Vì M cách hai đường thẳng d1 d nên ta có: d M, d1 d M, d 3a 32 22 3a 3a 3a 3a a 32 22 3a 3a 3a Vậy M 0;0 Chọn B Ví dụ 4: Cho ba điểm A 0;0 , B 2;1 , C 2;3 Tìm hình chiếu H C lên đường thẳng AB 1 A H ; 5 2 B H ; 5 C H 4; 2 D H 4; Hướng dẫn Phương trình đường thẳng AB: x Gọi H 2a; a CH 2a 2; a 3 1 H hình chiếu C lên AB nên CH.AB a H ; 5 Chọn A Ví dụ 5: Cho điểm M 1; đường thẳng d : 2x y Tọa độ điểm đối xứng với điểm M qua d là: A 0; 6 3 B 0; 5 12 C ; 5 3 D ; 5 5 Hướng dẫn Gọi A hình chiếu M lên d : 2x y suy A x;5 2x Khi MA x 1;3 2x Vì MA vng góc với d nên MA song song với vectơ pháp tuyến d x 2x 11 x 4x x A ; 5 Trang 10 Ví dụ 4: Cho (C): x y 4x 8y 16 (d): y x m Tìm m để (d) cắt (C) điểm A B cho OAB tam giác A m B m C m D m < Hướng dẫn (C) có tâm O 2; , R = 2; (d): x y m OAB d I, d 24m R m2 m 2 Chọn B Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x y 6x 2y Viết phương trình đường thẳng d qua M 0; cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài A d1 : 2x y 0, d : x 2y B d1 : 2x y 0, d : x 2y C d1 : 2x y 0, d : x 2y D d1 : 2x y 0, d : x 2y Hướng dẫn O 3;1 (C): ; C d A, B R Gọi phương trình đường thẳng d qua M 0; là: ax b y ax by 2b Hạ OH vng góc với AB H trung điểm AB Suy AH = Xét tam giác AOH vng H, ta có: OH OA AH 32 22 Trang a 2b OH 2a 3ab 2b 2 a b a b 3a b 2 Với a = 2b, chọn b = 1, a = 2, phương trình đường thẳng d là: d1 : 2x y Với a b , chọn a = 1, b 2 , phương trình đường thẳng d là: d : x 2y Chọn C Bài tập tự luyện Câu Cho C1 : x y 1 16 C2 : x y 6x 2y Hai đường tròn trên: A Tiếp xúc B Tiếp xúc C Đựng D Ngoài Câu Cho C : x 1 y 3 : y mx Tìm m để cắt (C) A B cho IAB 2 A m 2 Đáp án 1–B C m 2 B m D m 1 2–A Dạng 4: Phương trình tiếp tuyến với đường trịn Phương pháp giải Cho đường tròn (C) tâm I a; b , bán kính R Nếu biết tiếp điểm M x ; y tiếp tuyến qua M nhận vectơ IM x a; y b làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x a x x y b y y Nếu khơng biết tiếp điểm dùng diều kiện: Đường thẳng tiếp xúc đường tròn (C) d I; R để xác định tiếp tuyến Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) điểm M 3;5 biết đường trịn (C) có phương trình là: x 1 y 3 A x 2y B x 13 C x 2y D x y 13 Hướng dẫn Đường trịn (C) có tâm điểm I 1; 3 bán kính R = Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M 3;5 là: 3 1 x 3 3 y 5 4x 8y 52 x 2y 13 Chọn B Ví dụ 2: Cho đường trịn (C): x y 4x 4y , điểm M 4;6 Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua M Trang A 3x 4y 12 B 3x 4y C 3x 4y 12 D 3x 4y Hướng dẫn Đường trịn (C) có a = 2, b = 2, c = 4, a b c đường trịn (C) có tâm I 2; , bán kính R = Gọi đường thẳng qua M 4;6 , nên có dạng: : A x B y A B2 Ax By 4A 6B tiếp tuyến (C) d I, R 2A 2B 4A 6B A B 2 2A+4B A B2 4A 16B2 16AB 4A 4B2 12B2 16AB B 4B 3B 4A B 4A B Chọn A = B 4 Nếu A = 3, B = 0, ta có: 1 : x Nếu A = 3, B 4 , ta có: : 3x 4y 12 Chọn A Ví dụ 3: Cho đường trịn (C) có phương trình: x y 4x 8y 18 Tổng hệ số góc hai phương trình tiếp tuyến (C) qua A 1;1 là: A 10 B C 12 D Hướng dẫn Ta thấy A 1;1 khơng thuộc đường trịn (C) Phương trình đường thẳng qua điểm A 1;1 với hệ số góc k là: : y k x 1 kx y k Để đường thẳng tiếp tuyến đường trịn (C) khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng phải bán kính R Đường trịn (C) có tâm điểm I 2; 4 bán kính R Ta có: d I, R 2k k k 1 k k 1 k 10k 25 2k k 10k 23 k1 k1 k 10 k Trang 10 Chọn A Ví dụ 4: Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x y 8x 12 điểm E 4;1 Tìm tọa độ điểm M trục tung cho từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C), với A,B tiếp điểm cho E thuộc đường thẳng AB A M 1; B M 0; C M 4; D M 0; Hướng dẫn Đường tròn (C): x y I 4;0 , R 2 Gọi M 0;a thuộc Oy, A x1 ; y1 , B x ; y C Tiếp tuyến A B có phương trình là: x1 x y1y , x x y2 y Để thỏa mãn tiếp tuyến qua M 0;a x1 y1a , x y1a Chứng tỏ (AB) có phương trình: 4 x ay Vì (AB) qua E 4;1 : 4 a.1 a Vậy Oy có M 0; thỏa mãn Chọn B Bài tập tự luyện Câu Phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) điểm M 3; biết đường tròn (C) có phương trình là: x 1 y 2 A 2x 2y B x y 14 C 2x y 14 D x y Câu Cho đường trịn (C) có phương trình: x y 4x 8y 18 Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A 1; 3 A x y Đáp án B x y 1–D C x y D x y 2–C PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu Tìm độ dài bán kính đường trịn 16x 16y 16x 8y 11 A B C D Câu Lập phương trình đường trịn (C) có tâm I 2;0 R = A x y B x y 2 C x y D x y 2 Câu Viết phương trình đường trịn (C) có đường kính AB với A 1;1 , B 5;3 A x 3 y B x 3 y C x 3 y D x 3 y 2 2 2 2 Trang 11 Câu Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn Cm có phương trình x y 2mx m 1 y 12 Với giá trị m bán kính đường trịn nhỏ nhất? A m = C m B m = 1 D m Câu Trong mp Oxy, cho đường thẳng d1 : 2x y , d : 2x y Viết phương trình đường trịn (C) có tâm nằm trục Ox đồng thời tiếp xúc với d1 d 1 A x y 2 20 1 B x y 2 20 2 1 1 C x y D x y 4 20 4 20 Câu Cho (C): x y 8x 6y Viết phương trình tiếp tuyến (C) O 0;0 thuộc (C) A 2x 3y B 2x 3y C 4x 3y D 4x 3y Câu Cho Cm : x y 2mx m 1 x m d : x my Tìm m để d qua tâm đường tròn A m = B m m 1 C m D m = Câu Cho C : x y 4x 4y A 6; Tìm khẳng định A A nằm (C) B A nằm (C) C A trùng với tâm (C) D AI = 2R Câu Cho C1 : x y 2x 4y 0; C2 : x y 6x 2y Hai đường trịn trên: A Tiếp xúc ngồi B Tiếp xúc C Đựng D Ngoài m2 m3 Câu 10 Cho đường tròn (C): x y 1 m 1 m 1 Tìm tập hợp tâm I (C) A Tập hợp đường thẳng 2x 3y B Tập hợp đường thẳng 3x 2y C Tập hợp đường thẳng x y D Tập hợp đường tròn C : x y 3x 2y Câu 11 Cho đường tròn C : x y 2x 4y Tìm trục Oy điểm mà từ kẻ hai tiếp tuyến vng góc với đến (C) A M 0; B M 0; 2 C M 0; 3 D M 0;3 Câu 12 Cho đường tròn C : x y 4x 2y Hãy viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn điểm A 1;1 A 3x 2y B 3x 2y C 3x 2y D 3x 2y Câu 13 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn C : x y 2x 6y điểm M 2; Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn hai điểm A,B cho M trung điểm AB A d : x y B d : x y C d : x y D d : x y Trang 12 Câu 14 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x y 1 20 điểm M 3; 1 2 Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C) điểm phân biệt A, B cho diện tích IAB A 4x 3y B 4x 3y C 4x 3y D 4x 3y Đáp án: 1-D 2-C 3-A 4-C 11 - C 12 - B 13 - D 14 - C 5-D 6-C 7-B 8-D 9-D 10 - A Trang 13 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ELIP PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa đường elip Cho hai điểm cố định F1 F2 cho F1 F2 2c c số 2a a c Đường elip E tập hợp điểm M cho MF1 MF2 2a Hai điểm F1 , F2 tiêu điểm elip Khoảng cách 2c tiêu cự elip Phương trình tắc elip Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm F1 c;0 F2 c;0 với c phương trình tắc elip nhận F1 , F2 làm tiêu điểm là: E: x2 y a b2 Trong đó: b a c Elip E nhận trục tọa độ làm trục đối xứng nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng E cắt trục tọa độ điểm A1 a;0 , A2 a;0 , B1 0; b , B2 0; b gọi đỉnh Elip elip Đoạn thẳng A1 A2 2a gọi trục lớn Đoạn thẳng B1 B2 2b gọi trục nhỏ Các đường thẳng x a, y b cắt đơi P, Q, R, S tạo thành hình chữ nhật sở PQRS elip E Tâm sai elip tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn: e c (do c a nên e ) a PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định yếu tố elip biết phương trình tắc elip Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Elip có phương trình sau x2 y Xác định tọa độ đỉnh elip A A1 1;0 ; A2 1;0 ; B1 0; 1 ; B2 0;1 B A1 2;0 ; A2 2;0 ; B1 0; 2 ; B2 0; C A1 1;0 ; A2 1;0 ; B1 0; 2 ; B2 0; D A1 2;0 ; A2 2;0 ; B1 0; 1 ; B2 0;1 Hướng dẫn Từ phương trình E ta có a , b c a b Trang Suy tọa độ đỉnh A1 2;0 ; A2 2;0 ; B1 0; 1 ; B2 0;1 Chọn D Ví dụ 2: Cho elip có phương trình: A F1 7;0 , F2 7;0 x2 y Khi tọa độ tiêu điểm elip là: 16 B F1 16;0 , F2 16;0 C F1 9;0 , F2 9;0 D F1 4;0 , F2 4;0 Hướng dẫn a a 16 Ta có: c a b2 b b Tọa độ tiêu điểm elip F1 7;0 , F2 7;0 Chọn A Bài tập tự luyện Câu Xác định độ dài trục elip: E : x2 y 1 52 32 A A1 A2 5; B1 B2 B A1 A2 6; B1 B2 10 C A1 A2 10; B1 B2 D A1 A2 3; B1 B2 Câu Xác định tiêu cự elip: E : A x2 y 1 25 16 B C D Đáp án: 1–C 2–C Dạng 2: Viết phương trình elip Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Viết phương trình tắc elip E có độ dài trục lớn tâm sai e A x2 y 1 16 B x2 y 1 C x2 y 1 16 D x2 y 1 Hướng dẫn Phương trình tắc E có dạng: E có độ dài trục lớn suy Tâm sai e x2 y , a b 0 a b2 2a a c nên c , b a c a Trang Vậy phương trình tắc E x2 y 1 Chọn D Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tục tọa độ Oxy, cho elip E có độ dài trục lớn 12 độ dài trục bé Phương trình sau phương trình elip E A x2 y 1 144 36 B x2 y 1 36 C x2 y 1 36 D x2 y 0 144 36 Hướng dẫn Phương trình tắc elip có dạng x2 y a, b a b2 Ta có độ dài trục lớn 12 nên 2a 12 a Độ dài trục bé nên 2b b Vậy phương trình Elip là: x2 y 36 Chọn C 12 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phương trình E qua điểm M 0;3 , N 3; 5 là: A x2 y 1 B x2 y 1 25 C x2 y 1 D x2 y 1 36 Hướng dẫn Cách 1: Phương trình elip có dạng: x y , a b 0 a b Vì phương trình E qua hai điểm M, N ta được: 0 a b b 144 a 25 a 25b Vậy phương trình elip: x2 y 25 Cách 2: Sử dụng máy tính Casio Fx 570 VN PLUS X2 Y2 Dùng máy tính nhập: 25 CALC X ; Y CALC X ; Y 12 Kết đáp án Chọn B Trang Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tìm phương trình tắc Elip có tiêu cự qua điểm A 0;5 A x2 y 1 100 81 B x2 y 1 34 25 C x2 y 1 25 D x2 y 1 25 16 Hướng dẫn Phương trình tắc elip có dạng x2 y a, b a b2 Theo giả thiết: 2c c Vì A 0;5 E nên ta có phương trình: 52 b 25 a b2 Khi đó: a b c a 52 32 a 34 a 34 Vậy phương trình tắc Elip là: x2 y 34 25 Chọn B Ví dụ 5: Viết phương trình tắc elip tâm O có tiêu cự 8, tỉ số x2 y2 A 1 192 256 x2 y B 1 48 64 c a x2 y2 C 1 256 192 x2 y D 1 64 48 Hướng dẫn Tiêu cự 2c c Tỉ số: c a 2c a Suy ra: b a c 64 16 x2 y Vậy phương trình tắc elip là: 64 48 Chọn D 3 Ví dụ 6: Lập phương trình tắc elip biết elip có tiêu điểm F1 3;0 điểm M 1; nằm elip x2 y A 1 x2 y B 1 x2 y C 1 25 x2 y D 1 Hướng dẫn Phương trình tắc elip có dạng x2 y a, b a b2 Vì elip có tiêu điểm F1 3;0 nên c a b 1 3 Lại có M 1; E a 4b Trang Thay (1) vào (2) ta được: 4b 5b b a b 4b Vậy phương trình tắc elip là: x2 y 1 Chọn A Ví dụ 7: Hình chữ nhật sở elip E có cạnh nằm đường thẳng y có diện tích 48 Viết phương trình tắc elip E A x2 y 1 25 22 B x2 y 1 C x2 y 1 16 D x2 y 1 36 Hướng dẫn E có hình chữ nhật sở có cạnh nằm đường thẳng y suy b Mặt khác hình chữ nhật sở diện tích 48 nên 2a.2b 48 a Vậy phương trình tắc E x2 y 1 36 Chọn D Ví dụ 8: Viết phương trình tắc elip E có tâm sai hình chữ nhật sở E có chu vi 20 A x2 y 1 25 22 B x2 y 1 C x2 y 1 16 D x2 y 1 Hướng dẫn E có tâm sai suy a b2 hay 4a 9b 1 a Hình chữ nhật sở E có chu vi 20 suy a b 20 Từ (1) (2) suy a , b Vậy phương trình tắc E x2 y 1 Chọn D Bài tập tự luyện Câu Cho elip E có độ dài trục lớn 8, độ dài trục nhỏ Phương trình tắc E có dạng: A x2 y 1 16 B x2 y 1 64 C x2 y 1 32 D x2 y 1 16 D x2 y2 1 152 102 Câu Lập phương trình Elip E : độ dài trục lớn 10 tiêu cự A x2 y2 1 252 162 B x2 y 1 162 92 C x2 y 1 92 252 Trang Câu Lập phương trình tắc Elip E biết độ dài trục lớn độ dài trục nhỏ đơn vị, độ dài trục nhỏ độ dài tiêu cự đơn vị A x2 y 1 64 60 x2 y 1 25 B C x2 y 1 100 64 D x2 y 1 Đáp án: 1–A 2–A 3–C Dạng 3: Xác dịnh điểm nằm đường elip thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Để xác định tọa độ điểm M thuộc elip có phương trình tắc x2 y , a b ta làm a b2 sau: xM2 yM2 Bước 1: Giả sử M xM ; yM , điểm M E ta thu phương trình thứ a b Bước 2: Từ điều kiện toán ta thu phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn xM , yM ta tìm tọa độ điểm M Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho elip E : x2 y Tìm điểm M thuộc elip E biết điểm M nhìn hai tiêu điểm 20 góc vng A 15;1 B 10; C 5; D 2; 5 Hướng dẫn E có a , b , c Điểm M E nhìn tiêu điểm góc vng M nằm đường trịn C tâm O đường kính F1 F2 C : x y 16 tọa độ điểm M nghiệm hệ: x2 y 2 1 x 15 M 20 x y 16 y 15;1 Chọn A x2 y Ví dụ 2: Cho elip E : đường thẳng d : x y 12 Số giao điểm đường thẳng d 16 elip E là: A B C D Hướng dẫn Trang Ta có d : x y 12 y 3x x2 y , thay vào phương trình E : ta được: 16 3x 3 x y x x2 x 4 1 x2 8x 16 16 16 x y Vậy d cắt E hai điểm phân biệt A 0;3 , B 4;0 Chọn C Ví dụ 3: Cho E : x y Đường thẳng qua tiêu điểm E song song với trục Oy cắt E điểm M, N Tính độ dài đoạn thẳng MN A B C D Hướng dẫn Do Elip có tính đối xứng nên đường thẳng qua F1 F2 song song với trục tung cắt E điểm có tung độ nối Xét phương trình đường thẳng d qua tiêu điểm F2 song song với trục tung, ta có: d : x Tọa độ giao điểm d E nghiệm hệ: x x x 1 2 x y y y 1 1 Do M 3; , N 3; 2 2 Vậy MN yM Chọn A Bài tập tự luyện x2 y Hình vng ABCD nội tiếp Elip đỉnh A nằm góc phần tư 16 thứ Tìm tọa độ A Câu Cho elip E : A A 2; Câu Cho E : 3 B A ; 2 4 C ; 5 D A 4;0 x2 y , điểm M nằm góc phần tư thứ MF1 MF2 Hoành độ điểm M là: A B 3 C D Đáp án: 1–C 2–B Trang PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu Xác định tọa độ đỉnh elip E : x2 y 1 252 92 A A1 4, , A2 0, 4 , B1 0,3 , B2 0, 3 B A1 5, , A2 5, , B1 0, 3 , B2 0,3 C A1 6, , A2 6, , B1 0, 2 , B2 0, D A1 2, , A2 2, , B1 0, 3 , B2 0,3 Câu Cho Elip E : A c x2 y Biết trục lớn lần trục nhỏ Tỉ số là: a a b B Câu Cho elip E có tâm sai C 2 D 3 , độ dài trục nhỏ Phương trình tắc elip E có dạng: x2 y A 1 25 C x2 y B 1 25 16 x2 y 1 D x2 y 1 Câu Viết phương trình tắc E biết elip có tiêu điểm F 2;0 , độ dài trục lớn 10: A F : x2 y 1 B F : x2 y C F : 1 Câu Cho E : x2 y D F : 1 x2 y đường tròn C : x y 8x y 24 Tìm khẳng định sai 36 20 A C cắt E điểm phân biệt C E có tỉ số x2 y 1 25 21 c b Câu Cho elip E : x B Tâm I C nằm E D C có tâm I 4;3 , bán kính R y2 đường thẳng d : x y m Tìm m để (d) cắt E điểm phân biệt A 3 m B m C 10 m 10 D m 2 Câu Lập phương trình tắc elip E : b x2 y , c a b biết a c 16 c a b Trang A x2 y 1 12 B x2 y 1 12 C x2 y 1 12 D x2 y 1 Câu Cho elip E : x2 y đường tròn C : x y 2mx y m Tìm m để C cắt 25 E điểm phân biệt A m B m C 2 m D m Câu Viết phương trình tắc E trường hợp sau: Độ dài trục lớn 6, tiêu cự A F : x2 y 1 B F : x2 y 1 C F : x2 y 1 D F : x2 y 1 x2 y a, b, c 0; a b c Biết điểm trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm a b c đối mặt vng góc Tỉ số là: a Câu 10 Cho Elip E : A C B 2 D x2 y Một đường thẳng qua tiêu điểm F2 E song song với trục tung điểm phân biệt M N Tìm độ dài MN Câu 11 Cho E : A 2 C B D Câu 12 Viết phương trình tắc elip E qua điểm M ; M nhìn hai tiêu điểm F1 , 5 F2 góc vng A x2 y 1 92 42 B x2 y 1 32 22 C x2 y 1 52 52 D x2 y 1 52 32 Đáp án: 1–B 2–C 11 – A 12 - B 3–B 4–B 5–B 6–C 7–B 8–B 9–A 10 – B Trang ... dạng: A x2 y 1 16 B x2 y 1 64 C x2 y 1 32 D x2 y 1 16 D x2 y2 1 1 52 1 02 Câu Lập phương trình Elip E : độ dài trục lớn 10 tiêu cự A x2 y2 1 25 2 1 62 B x2 y 1 1 62 92 C x2 y ... hai tiêu điểm F1 , 5 F2 góc vng A x2 y 1 92 42 B x2 y 1 32 22 C x2 y 1 52 52 D x2 y 1 52 32 Đáp án: 1–B 2? ??C 11 – A 12 - B 3–B 4–B 5–B 6–C 7–B 8–B 9–A 10 – B Trang ... x2 y 1 25 2 92 A A1 4, , A2 0, 4 , B1 0,3 , B2 0, 3 B A1 5, , A2 5, , B1 0, 3 , B2 0,3 C A1 6, , A2 6, , B1 0, ? ?2 , B2 0, D A1 ? ?2, , A2
Ngày đăng: 11/04/2022, 09:21
Xem thêm: