TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Chương II TAM GIÁC Chuyên đề TỔNG BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC A Kiến thức cần nhớ Tổng ba góc tam giác Tổng ba góc tam giác 180 C 180 ABC A B Áp dụng vào tam giác vuông a) Định nghĩa: Tam giác vng tam giác có góc vng b) Tính chất: Trong tam giác vng, hai góc nhọn phụ ABC C 90 B A 90 Góc ngồi tam giác a) Định nghĩa: Góc ngồi tam giác góc kề bù với góc tam giác b) Tính chất: * Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với ACD A B * Góc ngồi tam giác lớn góc khơng kề với ACD A, ACD B B Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm x, hình vẽ bên: Giải * Tìm cách giải Để tìm số đo x, vận dụng: - Tổng ba góc tam giác 180 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN - Góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với * Trình bày lời giải C 180 (tính chất) + Hình ABC có A B 41 x 28 180 x 37 N (góc ngồi tam giác) + Hình MNP có MPx M 126 3x x x 18 E F 180 (tính chất) + Hình DEF có D x 70 x 42 180 x 76 60 Hai tia phân giác góc B C cắt Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A 80 , B I Vẽ tia phân giác đỉnh B cắt tia CI D Chứng minh BCD C Giải nên hiển nhiên tính số đo C Dựa theo kết luận * Tìm cách giải Đề cho số đo A; B tốn cần tính số đo BDC Khi tính tốn số đo góc, lưu ý giả thiết có yếu tố tia phân giác * Trình bày lời giải C 180 (tính chất) ABC có A B 180 ; C 40 80 60 C 120 ABC có ABx A C B ABx 60 B 2 C 1 C 20 Ta có: C 2 BCD có: CBD BDC C 180 BDC 20 60 60 180 BDC 40 Do BDC C Ví dụ 3: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E Các tia phân giác ACE ; DBE cắt BAC BDC K Chứng minh: BKC Giải File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN * Tìm cách giải Chúng ta nhận thấy BKC góc tam giác BKG; CKH nên cần phải ghép ) đồng thời để vào hai tam giác Khai thác yêu cầu toán (liên quan tới góc A ; C vận dụng yếu tố tia phân giác giả thiết, cần xét cặp tam giác KGB, AGC cặp tam giác KHC , DHB * Trình bày lời giải Gọi G giao điểm CK AE H giao điểm BK DE Xét KGB AGC có: KGB AGC (đối đỉnh) B A C K 1 1 Xét KHC DHB có: (đối đỉnh) KHC BHD C D B K 2 2 B ;C C 2K A D Từ (1) (2), kết hợp với B 2 A D K Ví dụ 4: Cho hình vẽ bên, biết BD CE tia phân giác góc B, góc C a) Nếu A 80 , tính BIC b) Nếu BDC 84 ; BEC 96 , tính A Giải C 180 nên B C 100 a) ABC có A B C B C B 2 2 C 50 BIC có B C BIC B 180 nên BIC 130 2 2 C 180 mà BDC C 96 b) BDC có BDC B 84 nên B 2 C 84 C 180 mà BEC BEC có BEC B 96 nên B 2 B C C 96 84 Suy B 2 Do B C 180 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN C 120 nên A 60 B Nhận xét: A - Nếu A 80 ta ln chứng tỏ BIC 90 * C mà khơng cần tính góc B góc C B - Để tính A cần tìm góc B 2 C Ngồi dựa vào cơng thức (*) ta tính BIC cách xét BIE CID để tìm được: EIB DIC 84 96 B C 1 C B C EIB Và lưu ý: B ta tính EIB DIC 1 2 Ví dụ 4: Cho ABC có A 90 Kẻ AH vng góc với BC H BC Các tia phân giác góc C góc BAH cắt K Chứng minh AK CK Giải ABH ; ABC vuông nên BAH (cùng phụ với ABC ) HCA HAC Mặt khác A1 BAH ;C A1 C 1 2 Ta có: A1 KAC 90 KAC C 90 Suy KAC vuông K Vậy AK KC * Nhận xét: Qua ta nhận thấy có thêm dấu hiệu nhận biết tam giác vuông chứng minh tam giác có tổng hai góc 90 C Bài tập vận dụng 7.1 Tìm x, hình vẽ sau: 130 Tính C 7.2 Cho hình vẽ bên Biết A1 45 ; B 1 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7.3 Các góc ngồi đỉnh A, B, C tỉ lệ với 2; 3; Tính tỉ lệ ba góc tam giác B 3.C 7.4 Cho tam giác ABC có A 2.B a) Tính góc A; B; C? b) Gọi E giao điểm đường thẳng AB với tia phân giác góc ngồi đỉnh C Tính góc AEC? C Tia phân giác BAC 7.5 Tam giác ABC có B cắt BC D C a) Chứng minh ADC ADB B b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngồi đỉnh A tam giác ABC cắt đường thẳng BC C B E Chứng minh AEB C 18 Tia phân giác góc A cắt BC D Tính số góc 7.6 Cho tam giác ABC có B ADC? Góc ADB? 7.7 Cho tam giác ABC Tia phân giác góc A cắt cạnh BC D Biết ADB 85 C a) Tính B 5.C b) Tính góc tam giác ABC 4.B 7.8 Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam giác a) Chứng minh BOC A ABO ACO A b) Biết ABO ACO 90 tia BO tia phân giác góc B Chứng minh tia CO tia phân giác góc C 7.9 Cho tam giác ABC có A 180 3C 2.C a) Chứng minh B b) Từ điểm D cạnh AC vẽ DE //BC E AB Hãy xác định vị trí D cho tia DE tia phân giác góc ADB 7.10 Chứng minh với tam giác tồn góc ngồi khơng lớn 120 cắt AB D 7.11 Cho tam giác ABC vng góc A Tia phân giác C File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN a) Chứng minh góc BDC góc tù b) Giả BDC 105 Tính số đo góc B 7.12 Cho hình vẽ bên C D E F Tính tổng A B File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Hướng dẫn giải 7.1 C 180 - Hình ABC có A B 56 x 12 x 180 x 56 P 90 - Hình MNP vuông M N x x 15 90 x 35 E F 180 - Hình DEF có D x x 25 x 10 180 x 39 7.2 Ta có: A2 A1 45 (đối đỉnh) B 180 B 50 Ta có B 2 A B (góc ngồi tam giác) suy ra: C 95 ABC có C 2 7.3 Đặt số đo góc ngồi đỉnh A; B; C x; y; z Theo đầu bài, ta có: x y z 360 Giải ra, ta được: x 80 ; y 120 ; z 160 Từ suy góc đỉnh A; B; C tương ứng 100 , 60 , 20 Do tỉ lệ ba góc là: : :1 7.4 ; B 3.C A 6C a) Ta có A 2.B C 180 6.C 3C C 180 ABC có A B 18 ; B 54 ; A 108 C 180 (hai góc kề bù) b) Ta có ACx C ACx 18 180 ACx 162 C ACx 81 Ta có: C BCE có B BCE 54 18 81 180 E 27 hay AEC 27 E 180 ; E 7.5 ADB 180 ; a) ABD có A1 B ADC 180 ; ACD có A2 C File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 x y z TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ADC B ADB ADC ADB B C Mà A1 A2 nên C C (góc ngồi tam giác) b) ABC có BAx B C 1 B A3 A4 BAX 2 C (góc ngồi) ACE có: A4 E A C AEB B C C hay AEB B C E 2 B A (góc ngồi tam giác) 7.6 ACD có D C A (góc ngồi tam giác) mà A A ABD có D 2 D B C nên D D 180 D 18 mà D D 2 180 18 99 ; D 180 18 81 nên D 2 7.7 a) Ta có ADB 85 ADC 95 ADB 180 ; ABD có A1 B ADC 180 ; ACD có A2 C ADC B ADB Mà A1 A2 nên C C ADC ADB B C 95 85 10 Vậy B 5.C B C b) 4.B File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Áp dụng tính chất dãy tỷ số nhau, ta có: C 10 B C B 10 5 50 ; C 40 Suy ra: B 7.8 A ABO (góc ngồi tam giác) a) ABO có O 1 A ACO (góc ngồi tam giác) ACO có O 2 O A A ABO ACO Hay BOC O A ABO ACO 2 A b) Từ ABO ACO 90 C 180 A B C B C B 2 2 2 C B C mà BO tia phân giác B B nên B B 2 2 C ; hay CO tia phân giác góc C suy C 2 7.9 A A B C 3.C suy B 2.C a) Từ: A 180 3.C (góc đồng vị) EDB b) DE // BC ADE (góc so le trong) C DBC 1 1 B nên DBC DBC B Tia DE tia phân giác ADB ADE EDB mà C C 2 BD tia phân giác ABC AC DE tia phân giác ADB Vậy D giao điểm tia phân giác B 7.10 Giả sử ba góc ngồi ba đỉnh lớn 120 suy góc nhỏ 60 Vậy tổng ba góc tam giác nhỏ 180 , vơ lí Do tồn góc ngồi có số đo khơng lớn 120 7.11 a) Góc BDC góc ngồi đỉnh D tam giác ACD nên góc tù BDC A 90 ; 90 BDC 180 BDC b) BDC A ACD (góc tam giác) 60 ACD 15 ACB 30 B File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 180 AIB 7.12 Xét ABI có A B D 180 CHD Xét CDH có C F 180 EKF Xét EFK có E C D E F 540 AIB CHD EKF Suy ra: A B 540 KIH IHK IKH 540 180 360 File word: Zalo_0946 513 000 10 -File word: Zalo_0946 513 000