Cđ15 biểu thức đại số giá trị của một biểu thức đại số

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Chuyên đề 15 BIỂU THỨC ĐẠI SỐ GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ A Kiến thức cần nhớ Biểu thức mà ngồi số, ký hiệu phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa cịn có chữ (đại diện cho số) gọi biểu thức đại số Trong biểu thức đại số, chữ đại diện cho số tùy ý Những chữ gọi biến số (gọi tắt biến) Khi thực phép toán biến, ta áp dụng tính chất, quy tắc phép toán số Để tính giá trị biểu thức đại số giá trị cho trước biến, ta thay giá trị cho trước vào biểu thức thực phép tính B Một số ví dụ Ví dụ 1: Hãy viết biểu thức đại số biểu thị: a) Tổng hai lần x năm lần y bình phương; b) Bình phương hiệu x y ; c) Tổng lập phương x y ; d) Tích hiệu a b với tổng bình phương a b  Tìm cách giải: Dựa vào quy ước: Trong biểu thức, phép tính làm trước đọc sau, phép tính làm sau đọc trước Giải a) x  y ; b)  x  y  ; c) x  y ; 2 d)  a  b   a  b  Ví dụ 2: Cho biểu thức x  x  Tính giá trị biểu thức tại: a) x  ; b) x 0,5 ; c) x 0 ; d) x   Tìm cách giải: Thay biến x biểu thức đại số số cho ta biểu thức số Kết nhận thực phép tính biểu thức số giá trị biểu thứ c đại số giá trị cho trước biến Giải File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN a) Thay x  vào biểu thức ta có: 5.    4.    5.4   31 Vậy giá trị biểu thức: x  x  x  31 b) Thay x 0,5 vào biểu thức ta có: 5. 0,5    0,5   5  0,25    2,25 Vậy giá trị biểu thức: x  x  x 0,5 2,25 c) Thay x 0 vào biểu thức ta có: 5.02  4.0  3 Vậy giá trị biểu thức: x  x  x 0 d) Thay x  vào biểu thức trên, ta có: 2 11  2 5.        2 5 5  5 Vậy giá trị biểu thức x  x  x  5 Ví dụ 3: a) Hãy viết biểu thức đại số P biểu thị: Hiệu diện tích hình tam giác đáy a, đường cao h a với diện tích hình chữ nhật có kích trước b c (a, ha, b, c có đơn vị đo) Tính P biết a  25cm; 10cm; b 5cm; c 4cm b) Hình trịn có chu vi C diện tích Q hình trịn biểu thị cơng thức Tính Q biết C 3,2m;  3,14 Giải a) P  a.ha b.c Thay a  25cm; 10cm; b 5cm; c 4cm ta được: P 25.10  5.4 105  cm  b) Ta biết hình trịn bán kính r , C  2 r  r  C 2 Diện tích hình trịn bán kính r cho công thức: S  r 2  C  C2 Do Q       2  16 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN  3,2  0,2 m2 Thay C 3,2m ta có: Q    16 Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức A  x  xy  y tại: a) x  y  b) x  y 10 3x  y c) x 0,5 y 4 d) x   y  0  Tìm cách giải: Biểu thức A có hai biến x y a) Đã cho biết giá trị biến x ; suy y thay giá trị hai biến vào biểu thức A b) Từ quan hệ hai biến x  y 5 (1) 3x 2 y (2) ta biểu diễn x theo y từ (1) thay vào (2) để tìm giá trị y Từ tìm tiếp giá trị x  x 0,5 c) Lưu ý x 0,5   nên phải xét hai cặp giá trị  x 0,5; y 4   x  0,5; y    x  0,5  M 0 d) Lưu ý M  N 0    N 0 Giải a) Với x  y  ta có x  y  2 Ta có A               16  16  24  24 b) Từ x  y 10  x 10  y 3x 2 y   10  y   y  30  y  y  30 5 y  y 6 Từ có x  Thay vào biểu thức A  42  2.4.6  3.63 616  x 0,5 c) x 0,5    x  0,5 Với x 0,5 y 4 A  0,5   2. 0,5   3.43 188,25 Với x  0,5 y 4 A   0,5   2.  0,5   3.43 196,25 d) x  0  x 2 y  0  y  3 Do A 22  2.2.  3    3  65 Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức sau: A  File word: Zalo_0946 513 000 3a  4b a biết  4a  3b b -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN  Tìm cách giải: Do a a b  chứng tỏ a 0 b  nên hướng giải làm xuất b b a biểu thức cách chia tử mẫu cho a cho b Hoặc biểu diễn a theo b (hoặc b theo a) Cũng biểu diễn a b theo biến phụ k từ tỉ số Từ có số cách giải sau: Giải Do a  nên a 0 b  b  Cách 1: Chia tử mẫu cho b, ta có: a 15 21     A b  9  3 a 20   3  b 9  Cách 2: Chia tử mẫu cho a Do a b  nên  Nên: b a b 21   a   3 A b    a 5   Cách 3: A a  nên 9a 5b Do đó: b  3a  4b   3.9a  36b  15b  36b   21b 3  4a  3b  4.9a  27b 20b  27b  7b  Cách 4: a 3.5k  4.9k  21k   a 5k ; b 9k nên A   3 b 4.5k  3.9k  7k 15 21 b  4b b  4b  b a 5 9  3  Cách 5:   a  b  A  20 b 9 b  3b b  3b  b 9 9 21 3a  a  a a  3  Cách 6:   b  a  A  b 4a  a  a 5 Ví dụ 6: Tính giá trị biểu thức sau: B  4a  b 4a  2018  5a  2018 5a  b biết a  b  2018; b  4a; a  504,5; a  403,6; b 5a File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN  Tìm cách giải: Do b  4a; a  504,5; a  403,6; b 5a nên mẫu số B trước sau biến đổi khác Mặt khác, a  b 2018 nên ta thay 2018  a  b biểu thức biểu diễn a theo b; b theo a từ a  b 2018 Từ có số cách giải sau: Giải  Cách 1: Thay 2018  a  b vào B, ta có: B 4a   a  b  4a  b 5a  b 4a  b    1   5a   a  b  5a  b 4a  b 5a  b  Cách 2: Biến đổi B  5a  a  b 4a  2018 5a   a  b  4a  2018    5a  2018 4a  a  b 5a  2018 4a   a  b  Thay x  y 8 ta có B  5a  2018 4a  2018  1  2 5a  2018 4a  2018  Cách 3: Từ a  b  2018  a  2018  b thay vào B, ta có: B  2018  b   b  2018  b   2018 8072  5b 10090  4b    1    2018  b   2018  2018  b   b 8072  5b 10090  4b  Cách 4: Từ a  b  2018  b a  2018 thay vào B, ta có: B 4a   a  2018  4a  2018 5a  2018 4a  2018    1   5a  2018 5a   a  2018  5a  2018 4a  2018 Ví dụ 7: Tìm giá trị biến để: a) Biểu thức 2016 có giá trị 1; x  2019 b)  t    x  1  y    z   có giá trị 0; c) z  z  10 có giá trị lớn 10  Tìm cách giải: a) 2016 2016 1 (hoặc 2016 3 x  2019 ) có giá trị có nghĩa x  2019 x  2019 b) Một tích thừa số c) z  z  10 có giá trị lớn 10 nghĩa z  z  Giải a) 3x  2016 2019  x 4035  x 1345 b) Do t   với giá trị t nên  t    x  1  y    z   0  x3  0    y  0   z  0   x 1   y 9   z    x 1  y 3   z  File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 2 c) z  z  10  10  z  z   z  z    z   Suy z z  phải dấu nghĩa  z   z    z   z   z 8  z  z   z 0  z  z 8 Vậy để z  z  10 có giá trị lớn 10  z 0 Ví dụ 8: Cho a.b.c.d 0; a  b  c 0 c  3d c  c  a  b  Tính giá trị biểu thức M             c  a  d  b   Tìm cách giải: Do a.b.c.d 0 nên a, b, c, d khác a b a b c b c a c  ; 1  ; 1  b b c c a a Ta có:  Với c  3d từ a  b  c 0   c b  a; a  c b; c  b a thay vào biểu thức ta có cách giải sau: Giải M  b  a c  b a  c   3d   c a b          1    2 b c a  d  b b a C Bài tập áp dụng 15.1 Tìm cặp biểu thức đại số a), b)… với diễn đạt tương ứng 1); 2);… 5a   5b  33p a) 1) Bình phương hiệu bình phương a b b) 2) Lập phương tích x bình phương c) 3) Hiệu 5a bình phương 5b d) 4) Bình phương hiệu hai số 2a b  e) 5) Tổng với lần lập phương p g) 6) Tích hiệu hai số x y với tổng chúng 3  3x   x  y  x  y a b 2  2a  b  15.2 Viết biểu thức đại số biểu thị: a) Hiệu bình phương a với lần tích b c; b) Bình phương hiệu lập phương x y ; c) Hiệu lập phương tổng bình phương a b với hiệu lập phương chúng; d) Tích tổng hai số x y với hiệu bình phương chúng 15.3 Tính giá trị biểu thức P 6 x  4,5 xy  tại: File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN a) x  2; y 5 ; b) x 3; y  ; c) x   y  0 15.4 Viết biểu thức đại số biểu thị: a) Tổng A chu vi hình vng cạnh a với chu vi tam giác cạnh b Tính giá trị A với a 8cm; b 9cm ; b) Hiệu B diện tích hình vng cạnh c với diện tích hình chữ nhật cạnh c d Tính giá trị B với c  dm; d  dm ; c) Hiệu C diện tích hình thang hai đáy e, g đường cao h với diện tích tam giác cạnh đáy e, đương cao tương ứng h Tính giá trị C với e 18,4m; g 16,5m; h 6,8m ; d) Tổng D diện tích hai hình trịn bán kính r1 r2 Tính giá trị D với r1  m r2 0,5m;  3,14 15.5* Với n số tự nhiên: a) Viết biểu thức biểu diễn: Tổng P 100 số tự nhiên liên tiếp n Tính giá trị P n 10 ; b) Viết biểu thức biểu diễn: Tổng Q 10 số tự nhiên lẻ liên tiếp Tìm 10 số lẻ biết Q 200 ; c) Biết tổng ba số tự nhiên chẵn liên tiếp 36 Tính giá trị H hiệu bình phương số lớn số nhỏ ba số 15.6 Tính giá trị biểu thức sau: 1 a) E 2 x  y  z x  ; y  ; z  2 b) F  x  y  3z x  2; y  3; z  c) G 2 x   xy  3z x 3; y  2; z  15.7 Giữa sân hình vng cạnh a (mét) người ta xây vườn hoa hình vng có cạnh b (mét) ( a  b ), a) Viết biểu thức đại số biểu thị diện tích S cịn lại sân b) Viết biểu thức đại số biểu diễn số viên gạch cần mua N để lát kín sân gạch hình hộp chữ nhật, mặt hình chữ nhật viên gạch để lát sân có kích thước dài c(m); rộng d(m); File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN c) Tính N a 40m; b 12m; c 0,2m; d 0,1m 15.8 Một bể nước có ba vịi chảy vào vòi chảy Vòi thứ phút chảy vào x lít nước Vịi thứ hai hai phút chảy vào y lít nước Vịi thứ ba ba phút chảy vào z lít nước Vịi thứ tư chảy bốn phút chảy t lít nước a) Viết biểu thức đại số biểu thị lượng nước V có thêm bể sau mở vòi thời gian a phút; b) Tính giá trị V x  20; y 60; z  45; t  40 a 15 15.9 Tính giá trị biểu thức đại số sau: a) A  9a  8b a biết  ; 8a  9b b b) B  3a  b 6a  2b  2018 2018  ; a  4b ; với 2a  b 2018; a  5a  2018 4a  b c) C  6a  2b 3b  a  với a  b 2018 a  1009; b 1009 2a  2018 2b  2018 9x2  y2 M  15.10 Tính giá trị biểu thức 18 x  y a) Với x2 y x  0; y 0 ;  b) Với x  y 15.11 Tìm giá trị biến để: a) Biểu thức A  x    y  16   z  1 có giá trị 0; b) Biểu thức B  x     xy  2016  có giá trị 2018; c) Biểu thức C  x  3x  14 có giá trị nhỏ giá trị x  ; 15.12 Cho biểu thức đại số D  x x 3 Tìm giá trị nguyên x để D có giá trị nguyên 15.13 Cho a b c d 0; a  b  c 0 c 3d File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN a  b  c  a b   Tính giá trị biểu thức: E           b  c  a  d   5  15.14 Tính giá trị biểu thức G  x  y   x    y   biết rằng: x  y  0 xy 8 15.15* Tính giá trị biểu thức E  a  b   a  2b   a  3b   a 2017  2018b 2019  tại: a) a  4; b  ; b) a  1; b 0 15.16 Cho a 3  2  b 4   1 2 Tính giá trị biểu thức: b; a) M  a a b P a  b  b) a b a b a a b a a File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 15.1 Các cặp là: a) với 3); b) với 5); c) với 2); d) với 6); e) với 1); g) với 4) 15.2 a) a  2bc b)  x  y  c)  a  b    a  b3  2 d)  x  y   x  y  15.3 a) P 72 ; b) Xét trường hợp:  x 3 Với  P 30 ;  y 2  x  với  P 84 ;  y 2  x 3 với  P 84 ;  y   x  với  P 30 ;  y   x  0  x 5   c) x   y  0    y  0  y  Do P 198 15.4 a) A 4a  3b ; Giá trị A 59 (cm) b) B c  cd ; Giá trị B c) C  e  g h  40 (dm2) 81 eh ; Giá trị C 56,1 (m2) 2 d) D  r1   r2 ; Giá trị D  13 2,55 (m2) 16 15.5 Với n  N a) P n   n  1   n      n  98    n  99  P 100n    99  99:2 hay P 100n  4950 ; File word: Zalo_0946 513 000 10 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Tại n 10 P 1000  4950 5950 b) Số tự nhiên lẻ có dạng 2n+1; hai số tự nhiên lẻ liên tiếp đơn vị nên: Q  2n  1   2n  3    2n  17    2n  19  Q 20n  100 Ta có: Q 20n  100 200  n 5 Vậy 10 số lẻ liên tiếp 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29 c) Gọi số tự nhiên chẵn nhỏ ba số chẵn liên tiếp 2n, hai số tự nhiên chẵn liên tiếp đơn vị nên tổng ba số là: 2n   2n     n   36  n 5 số chẵn nhỏ ba số 2n 10  H 142  102 96 (Chú ý: Ở câu c) ta gọi số tự nhiên chẵn nhỏ ba số chẵn liên tiếp a Ta có a   a     a   36  a 10  H 142  102 96 ) 15.6 a) E 4,3 ; b) Do z 4 nên z 4 Tại x 2; y  3; z 4 F 8 ; Tại x 2; y  3; z  F  16 c) Do x 3 nên x 3 ; Tại x 3; y  2; z  G 2   2.3       1  23 ; Tại x  3; y  2; z  G 2      3       1 37 15.7 a) S a  b b) N  a  b2 c.d c) Với a 40m; b 12m; c 0, 2m; d 0,1m N  402  122 72800 (viên gạch) 0, 0,1 15.8 y z t  a) V a  x     4  File word: Zalo_0946 513 000 11 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 60 45 40     b) V 15  20   825 (lít nước)   15.9 a) A  (cách giải ví dụ 5) 14 b) Thay 2018 2a  b vào biểu thức B ta có B 2 c) Lưu ý 2a  2018 2a  a  b 3a  b 6a  2b 2  3a  b  Mặt khác: 3b  a 3b   2018  b  2b  2018 Do C 2  1  Chú ý: Bài có nhiều cách giải 15.10 Bài có nhiều cách giải Sau cách: y  y 10 y x2 y 2 M   2 a) Từ   x 5 y Do 10 y  y 5y b) Từ x y2  y2 y2   y 9 x Do M    y y  y2  y2 15.11  x  0  a) A 0   y  16 0 Đáp số:  x; y; z   5; 4;  1 ;  x; y; z   5;  4;  1  z  0  2 b)  x     xy  2016  2018  x  xy 0  x  x  y  0  x 0    x 2 y c) C  x   x  x      x  15.12 D 1  15.13 E  ; D  Z x  ước số  x    12;  6;  4;  2; 0; 6 x 3 b a c b a c   c   b c a  d  c a b       8  b c a 15.14 Từ x  y  0 suy x  y 6; x   y; y   x Vậy G 48 File word: Zalo_0946 513 000 12 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 15.15* a) E 0 a 4; b 2 a  2b3 42  2.23 0 b) E   1   1   1   1 có 2016   1 2017  2017  2016   1009 thừa số (-1)  1008 thừa số (+1) 2 15.16 Tính a 5; b  Thay vào a) M  15 ; 23 1169 b) P  155 File word: Zalo_0946 513 000 13 -File word: Zalo_0946 513 000