Chuyên đề 13 biểu thức đại số giá trị của một biểu thức đại số

Biểu thức mà trong đó ngoài các số, các ký hiệu phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa còn có các chữ đại diện cho các số được gọi là biểu thức đại số.. Trong biểu thức đại

Chuyên đề 13 BIỂU THỨC ĐẠI SỐ GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

A Kiến thức cần nhớ

1 Biểu thức mà trong đó ngoài các số, các ký hiệu phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy

thừa còn có các chữ (đại diện cho các số) được gọi là biểu thức đại số

2 Trong biểu thức đại số, các chữ có thể đại diện cho những số tùy ý nào đó Những chữ như

vậy gọi là biến số (gọi tắt là biến) Khi thực hiện các phép toán trên các biến, ta có thể áp dụng những tính chất, quy tắc phép toán như trên các số

3 Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay các giá

trị cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính

B Một số ví dụ

Ví dụ 1: Hãy viết các biểu thức đại số biểu thị:

a) Tổng của hai lần x và năm lần y bình phương;

b) Bình phương của hiệu x và y;

c) Tổng các lập phương của x và y;

d) Tích của hiệu avà bvới tổng các bình phương của a và b

 Tìm cách giải: Dựa vào quy ước: Trong một biểu thức, phép tính nào làm trước thì đọc sau,

phép tính nào làm sau thì đọc trước

Giải

a) 2x5y2;

b)  

2

x y ;

c) x3y3;

d) a b a   2b2

Ví dụ 2: Cho biểu thức 5x2 4x 3 Tính giá trị của biểu thức tại:

a) x 2;

b) x 0,5;

c) x 0;

d)

2

5

x 

 Tìm cách giải: Thay biến x trong biểu thức đại số trên bằng các số đã cho ta được các biểu

thức số Kết quả nhận được khi thực hiện các phép tính trong biểu thức số đó chính là giá trị của biểu thức đại số tại các giá trị cho trước của biến

Giải a) Thay x 2 vào biểu thức trên ta có:

5 2  4 2  3 5.4 8 3 31  

Vậy giá trị của biểu thức: 5x2 4x 3 tại x 2 là 31

b) Thay x 0,5 vào biểu thức trên ta có:

5 0,5  4 0,5  3 5 0,25  2 3 2,25 

Vậy giá trị của biểu thức: 5x2 4x 3 tại x 0,5 là 2,25

c) Thay x 0 vào biểu thức trên ta có:

2

Vậy giá trị của biểu thức: 5x2 4x 3 tại x 0 là 3

d) Thay

2

5

x 

vào biểu thức trên, ta có:

2

Vậy giá trị của biểu thức 5x2 4x 3 tại

2 5

x 

là

1 2

5

Ví dụ 3:

a) Hãy viết biểu thức đại số P biểu thị: Hiệu diện tích hình tam giác đáy là a, đường cao ha với diện tích hình chữ nhật có kích trước là b và c (a, ha, b, c có cùng đơn vị đo)

Tính P biết a 25 ;cm h a 10 ;cm b 5 ;cm c4cm

b) Hình tròn có chu vi là C thì diện tích Q của

1

4 hình tròn được biểu thị bằng công thức nào Tính Q biết C 3, 2 ;m  3,14

Giải

a)

2

a

a h

P  b c

Thay a25 ;cm h a 10 ;cm b5 ;cm c4cm ta được:

 2

25.10

5.4 105

2

b) Ta biết nếu hình tròn bán kính là r, thì 2 2

C

C r r



Diện tích hình tròn bán kính r được cho bởi công thức: S  r2

Do đó

1

.

Thay C 3, 2m ta có:

 

2

2

3,2

0,2 16



Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức A x 2 2xy3y3 tại:

a) x2y4

b) xy10 và 3x 2y

c) x 0,5 và y 4

d) 5 x 2  y3 0

 Tìm cách giải: Biểu thức A có hai biến x và y

a) Đã cho biết giá trị của biến x ; suy ra y rồi thay giá trị của hai biến vào biểu thức A

b) Từ quan hệ giữa hai biến xy5 (1) và 3x 2y (2) ta biểu diễn x theo y từ (1) rồi thay vào (2) để tìm giá trị của y Từ đó tìm tiếp giá trị củax.

c) Lưu ý

0,5 0,5

0,5

x x

x





 nên phải xét cả hai cặp giá trị x0,5; y4

và x0,5; y4

d) Lưu ý

0 0

0

M

N







Giải

a) Với x 2y 4 ta có x 4 và y 2

Ta có        

A           

b) Từ xy10 x10 y và 3x2y 3 10  y 2y

Từ đó có x 4 Thay vào biểu thức A 42 2.4.6 3.6  3  616

c)

0,5 0,5

0,5

x x

x







Với x 0,5 và y 4 thì    

Với x 0,5 và y 4 thì    

d) x 2 0  x2 và y3 0 y3

3 2

Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức sau:

a b A

a b





 biết

5 9

a

b 

 Tìm cách giải: Do

5 9

a

b  chứng tỏ a 0 và b 0 nên hướng giải là làm xuất hiện

a

b hoặc

b

a trong biểu thức bằng cách chia cả tử và mẫu cho a hoặc cho b Hoặc có thể biểu diễn a

theo b (hoặc b theo a) Cũng có thể biểu diễn a và b theo biến phụ k từ tỉ số

5

9

Từ đó có một số cách giải sau:

Giải

Do

5

9

a

b  nên a 0 và b 0

 Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho b, ta có:

a

b

A

a

b

 Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho a Do

5 9

a

b  nên

9 5

b

a  Nên:

b

a

A

b

a

 Cách 3:

5 9

a

b  nên 9a 5b Do đó:

3

A

 Cách 4:

5

9

a

a k b k

b     nên

3

A

 Cách 5:

3

a

 Cách 6:

3

a

Ví dụ 6: Tính giá trị của biểu thức sau:

B

biết a b 2018;b4 ;a a 504,5;a 403,6;b5a

 Tìm cách giải: Do b4 ;a a504,5;a403,6;b5a nên các mẫu số trong B trước và sau khi biến đổi đều khác 0 Mặt khác, a b 2018 nên ta có thể thay 2018 a b  trong biểu thức hoặc biểu diễn a theo b; b theo a từ a b 2018 Từ đó có một số cách giải sau:

Giải

 Cách 1: Thay 2018 a b  vào B, ta có:

4

1 1 2

B

 Cách 2: Biến đổi

5

B

Thay x y 8 ta có

1 1 2

B

 Cách 3: Từ a b 2018 a2018b và thay vào B, ta có:

1 1 2

B

 Cách 4: Từ a b 2018 b a  2018 và thay vào B, ta có:

1 1 2

B

Ví dụ 7: Tìm giá trị các biến để:

a) Biểu thức

2016

3x  2019 có giá trị bằng 1;

b) t44 x3 1 y2  9 z6

có giá trị bằng 0;

c) z2 8z 10 có giá trị lớn hơn 10

 Tìm cách giải:

a)

2016

3x  2019 có giá trị bằng 1 có nghĩa là

2016

1

3x 2019  (hoặc là 2016 3 x 2019) b) Một tích bằng 0 khi ít nhất 1 thừa số bằng 0

c) z2 8z 10 có giá trị lớn hơn 10 nghĩa là z2 8z 0

Giải

a) 3x 2016 2019  3x4035 x 1345

b) Do t  4 4 0 với mọi giá trị của t nên t44 x31 y2 9 z6 0

3









c) z2 8z10 10  z2 8z 0 z z  8 0

Suy ra z và z 8 phải cùng dấu nghĩa là

8

z

hoặc

0

z

Vậy để z2 8z 10 có giá trị lớn hơn 10 thì

8 0

z z





Ví dụ 8: Cho a b c d . 0;a b c  0 và c3d

Tính giá trị của biểu thức

M

 Tìm cách giải: Do a b c d  . 0 nên a, b, c, d đều khác 0

Ta có: 1 ; 1 ; 1

Với c 3d và từ a b c    0 c b a a c;  b c b;  a thay vào biểu thức ta có cách giải sau:

Giải

3

b a c b a c d c a b

M

C Bài tập áp dụng

13.1 Tìm các cặp giữa biểu thức đại số a), b)… với các diễn đạt tương ứng 1); 2);…

 2

5a 5b a) 1) Bình phương hiệu các bình phương của a và b

3

3 3p b) 2) Lập phương tích của 3 và x bình phương

3x23 c) 3) Hiệu của 5a và bình phương của 5b

x y x y     d) 4) Bình phương của hiệu hai số 2a và b

a2  b22 e) 5) Tổng của 3 với 3 lần lập phương của p

2a b 2 g) 6) Tích của hiệu hai số x và y với tổng của chúng

13.2 Viết các biểu thức đại số biểu thị:

a) Hiệu giữa bình phương của a với 2 lần tích của b và c;

b) Bình phương hiệu các lập phương của x và y ;

c) Hiệu giữa lập phương của tổng các bình phương của a và b với hiệu các lập phương của chúng;

d) Tích của tổng hai số x và y với hiệu các bình phương của chúng

13.3 Tính giá trị của biểu thức P6x2 4,5xy3 tại:

a) x2; y5;

b) x 3; y 2;

c) x 5  y2 0

13.4 Viết các biểu thức đại số biểu thị:

a) Tổng A chu vi hình vuông cạnh a với chu vi tam giác đều cạnh b Tính giá trị của A với

a cm b cm;

b) Hiệu B diện tích hình vuông cạnh c với diện tích hình chữ nhật cạnh c và d Tính giá trị của B với

;

c dm d  dm

; c) Hiệu C giữa diện tích hình thang hai đáy e, g đường cao h với diện tích tam giác cạnh đáy e, đương cao tương ứng h Tính giá trị của C với e18,4 ;m g 16,5 ;m h6,8m;

d) Tổng D diện tích hai hình tròn bán kính r1 và r2 Tính giá trị của D với 1

3 4

r  m

và

r  m  

13.5* Với n là số tự nhiên:

a) Viết biểu thức biểu diễn: Tổng P của 100 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ n Tính giá trị của P khi n 10;

b) Viết biểu thức biểu diễn: Tổng Q của 10 số tự nhiên lẻ liên tiếp Tìm 10 số lẻ đó biết Q 200; c) Biết tổng ba số tự nhiên chẵn liên tiếp là 36 Tính giá trị của H là hiệu các bình phương của số lớn nhất và số nhỏ nhất trong ba số đó

13.6 Tính giá trị các biểu thức sau:

a) E 2x 3y5z tại

x y z 

b) F 2x2  4 y 3z tại x 2; y3; z 4

c) G2 x 5 2 xy23z3 tại x 3; y2;z 1.

13.7 Giữa một cái sân hình vuông cạnh a (mét) người ta xây một vườn hoa hình vuông có cạnh

b (mét) (a b ),

a) Viết biểu thức đại số biểu thị diện tích S còn lại của sân

b) Viết biểu thức đại số biểu diễn số viên gạch cần mua N để lát kín sân nếu gạch hình hộp chữ nhật, mặt hình chữ nhật của viên gạch để lát trên sân có kích thước dài c(m); rộng d(m);

c) Tính N nếu a 40 ;m b12 ;m c0,2 ;m d 0,1m

13.8 Một bể nước có ba vòi chảy vào và một vòi chảy ra Vòi thứ nhất mỗi phút chảy vào x lít

nước Vòi thứ hai cứ hai phút chảy vào y lít nước Vòi thứ ba cứ ba phút chảy vào z lít nước Vòi thứ tư chảy ra cứ bốn phút chảy mất t lít nước

a) Viết biểu thức đại số biểu thị lượng nước V có thêm trong bể sau khi mở cả 4 vòi trong thời gian a phút;

b) Tính giá trị của V nếu x 20; y60; z45;t 40 và a 15

13.9 Tính giá trị của các biểu thức đại số sau:

a)

a b

A

a b





 biết

5 6

a

b  ;

b)

B

2018

5

a b  a a b

; c)

C

  với a b 2018 và a1009;b1009

13.10 Tính giá trị của biểu thức

M







a) Với

x y



và x0; y 0;

b) Với

1

3

x

y 

13.11 Tìm giá trị các biến để:

a) Biểu thức Ax 5 y2 16 z31

có giá trị bằng 0;

b) Biểu thức Bx22 2xy 2016

có giá trị bằng 2018;

c) Biểu thức

2 3 14 2

x x

C   

có giá trị nhỏ hơn giá trị của x 7;

13.12 Cho biểu thức đại số

6 3

x D x





Tìm giá trị nguyên của x để D có giá trị nguyên.

13.13 Cho a b c d . 0;a b c  0 và c3d

Tính giá trị của biểu thức:

E



13.14 Tính giá trị của biểu thức Gx y x    6 y 6

biết rằng:

xy  và xy 8

13.15* Tính giá trị biểu thức

 2  2 2 3  3 3 4  2017 2018 2019

E  a b a  b a  b a  b

tại:

a) a4;b2;

b) a1;b0

13.16 Cho

3

1

3 1

2

a   



và

3 4 1 1 2

b  



Tính giá trị các biểu thức:

a)

2

2

b

b

M

a

a







;

b)

a b

P a b

a b a

a b a

a











HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 13.1 Các cặp là:

13.2

a) a2  2bc

b)  3 32

x  y

c)  2 23  3 3

d) x y x   2  y2

13.3.

a) P 72;

b) Xét 4 trường hợp:

Với

3 2

x y









3 2

x y









 thì P 84;

với

3 2

x

y









3 2

x y









 thì P 30;

c)

Do đó P 198

13.4

a) A4a3b; Giá trị của A là 59 (cm)

b) Bc2  cd; Giá trị của B là

40

81 (dm2)

c)

e g h eh

C   

; Giá trị của C là 56,1 (m2) d) Dr12 r22; Giá trị của D là

.13 2,55 16





(m2)

13.5 Với n N

a) P n n1  n2 n98  n99

100 1 99 99:2

P  n 

hay P100n4950; Tại n 10 thì P 1000 4950 5950 

b) Số tự nhiên lẻ có dạng 2n+1; hai số tự nhiên lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên:

Q n  n   n  n

Q n

Ta có: Q20n100200 n5

Vậy 10 số lẻ liên tiếp đó là 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29

c) Gọi số tự nhiên chẵn nhỏ nhất trong ba số chẵn liên tiếp là 2n, hai số tự nhiên chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên tổng ba số là:

2n 2n2  2n4 36

5

n

  số chẵn nhỏ nhất trong ba số là 2n 10  H  142 102 96

(Chú ý: Ở câu c) ta có thể gọi số tự nhiên chẵn nhỏ nhất trong ba số chẵn liên tiếp là a Ta có

a a  a   a 10  H  14 2  10 2  96)

13.6.

a) E 4,3;

b) Do z 4 nên z 4.

Tại x2; y 3; z 4 thì F 8;

Tại x2; y 3; z4 thì F 16

c) Do x 3 nên x 3;

Tại x3; y 2; z1 thì    

Tại x3; y2; z 1 thì      

G         

13.7.

a) S a2  b2

b)

2 2

a b

N

c d





c) Với a40 ;m b 12 ;m c0, 2 ;m d 0,1m thì

72800

0, 2 0,1

 (viên gạch)

13.8.

y z t

V a x    

b)

60 45 40

V       

13.9

a)

3

14

A 

(cách giải như ví dụ 5)

b) Thay 2018 2a b  vào biểu thức B ta có B 2

c) Lưu ý 2a2018 2 a a b  3a b và 6a 2b2 3 a b 

Mặt khác: 3b a 3b 2018b 2b 2018

Do đó C   2 1 1

 Chú ý: Bài có nhiều cách giải

13.10 Bài có nhiều cách giải Sau đây là một cách:

a) Từ

x y

Do đó

2

M



b) Từ

1

9 3

x

y    Do đó

2

M



13.11

a)

2

3

5 0

1 0

x

z





 Đáp số: x y z; ;   5; 4; 1 ; ; ;  x y z  5; 4; 1  

b) x2 2  2xy 2016 2018 x2  2xy 0 x x  2y 0

0

2

x

x y





c) C x  7 x x  5  0 0x5

13.12

9

3

x

 khi x 3 là ước số của 9  x  12; 6; 4; 2; 0; 6   

b a c b a c c c a b

E

13.14 Từ x y 6 0 suy ra xy 6; x 6y y;  6x Vậy G 48.

13.15*.

a) E 0 vì tại a4;b2 thì a2  2b3  42  2.23  0

vì có

2017 1

1 1009 2



 

thừa số (-1) và

2016 2

1 1008 2



 

thừa số (+1)

13.16 Tính được a5;b2

Thay vào a)

15 23

M 

; b)

1169 155

P 