Chuyên đề 13 phương trình vô tỷ phi tuyến news

1 111Equation Chapter Section CHUYÊN ĐỀ 13: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - PHI TUYẾN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Các dạng toán phương trình vơ tỷ  f ( x) 0  / f ( x)  g ( x)   g ( x) 0  f x g x       g ( x) 0 / f ( x ) g ( x)    f ( x) g  x   f ( x) 0  / f ( x)  g  x   h  x    g  x  0   f  x   g  x   f  x  g  x  h  x   f  x  0  / n f  x  2 n g  x    g ( x) 0  n   *  f x g x       g ( x) 0 / n f  x  g  x     n   * 2n  f  x  g  x  / n1 f ( x) 2 n1 g ( x)  f  x  g ( x) ( n  *) / n` f ( x) g ( x)  f  x  g n1  x   n   * B CÁC DẠNG BÀI TẬP Phương pháp Nâng lên lũy thừa (1) Bài Giải phương trình: x  x   x 1  x  0  x 1     x 0  x 3  1     x  x  x   x       x 3   Giải: Bài Giải phương trình: x  x  0  x 0 x  x    x  x Giải: Ta có:  x 0  x 0  x 0       x   x 3 2 x  x  x  x  0   x 3  Bài Giải phương trình: x    x   x x x  0  Giải: Ta có: x    x   x  x    x   x 1  x 0   1  x 0   x  1  x   x    x    x   x      x 2  x    2 x  0 2  2 x   x  3x    x  x 0 2   x   x  x      Bài Giải phương trình : x   x  0  x  0  x 2 (1)  x   Giải: Điều kiện:   x 2  x    x   0  x   x  0   x  0    x      x 2  17  x   (2) Kết hợp     ta được: x 2 Phương pháp II Đưa phương trình trị tuyệt đối Lý thuyết: Sử dụng đẳng thức sau:  f ( x) g ( x) f  x   g  x   f ( x ) g ( x )    f ( x)  g  x   f  x  0   f  x   0    x     x 0   x 0    x  Bài tập: Bài Giải phương trình : x  x   x 8 (1)   x   8  x  x  8  x Giải:   x  :  1   x 8  x (vô nghiệm) Nếu x 2 :  1  x  8  x  x 5 (thỏa mãn) Vậy Nếu x 5 Bài Giải phương trình: x   x   x  10  x  2 x   x  (2)  x       x   x    x   2.3 x   2 x   x    x   (*) x    x    x    Giải: y  x   y 0   phương trình (*) cho trở thành: Đặt y   y  2 y  -Nếu  y  1: y    y 2  y  y  (loại) -Nếu  y 3: y    y 2 y   y 3 -Nếu y  3: y   y  2 y  (vô nghiệm) Với y 3  x  9  x 8(tm) Vậy x 8 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN (cứ 10 giải lần) Đề từ 01 đến 10  xy  x  y 71 (I )  2 2 x y  xy  880 x , y Bài Cho thỏa  Tính E x  y Bài Giải phương trình: x   10  x x  12 x  40 Bài Giải phương trình x   x  x(1  x ) 1 Bài Giải phương trình: x  x   x  0 2 Bài Giải phương trình: x  x   x  x  x  x  Bài Giải phương trình: 42 60  6 (1) 5 x 7 x Bài 7.Giải phương trình:  x 2  x   Bài 8.Giải phương trình: (1) x    x 3x  12 x  14  1 2 Bài Giải phương trình : x  x   x  x   3x  3x (1) x  x    x  x    x  x  3 (1) Bài 10 Giải phương trình: Đáp án từ đến 10 Bài  xy  x  y 71  xy  x  y  880 Hệ phương trình (I)  Đặt xy a, x  y b a 71  b   71  b  b 880  *   b2  71b 880 a  b 71  ab  880  I   (*)  b  71b  880 0  b  55b  16b  880 0  b  b  55   16  b  55  0   b  16   b  55  0  b 16   b  55   a 55  a 16   x  y 16   xy  55 Khi b 16; a 55   **  y  16 y  55 0  x 16  y   16  y  y 55 (**)  y  11y  y  55 0  y  y  11   y  11 0   y    y  11 0  y 5  x 11   y 11  x 5 E x  y 52  112  96 E x  y 112  52 96 Khi b 55; a 16  x  y 55  x 55  y   xy  16   55  y  y 16  ***   *** y  55 y  16 0  y  55  2961 (loại x, y  ) 2 Vậy x  y 96 Bài a b  Bổ đề: Với a 0; b 0  a  b 2   a  b   a  b  2 a2  b2  x   10  x   x   10  x  4 Điều kiện: x 10 , ta có: mà 2 x  12 x  40  x  12 xx  36    x    4 Dấu " " xảy  x  10  x  x 6  x    Vậy phương trình có nghiệm x 6 Bài ĐKXĐ ≤ x ≤ Đặt < a = a2  x  1 x   x (1  x) a2  1  a  2a  0  (a  1)(a  3) 0 + PT : a +  a = { -3 ; } => a = > x   x 1 + Nếu a = = >  x   x  x(1  x) 1  x(1  x) 0  x = { ; } ( t/m) KL : Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt x = 0; x = Bài Giải phương trình: x  x   x 1 0 (1) ĐK: x ≥ (1)  x  x   x  0  ( x   x   1)  ( x  x  ( x   1)  ( x  3) 0(2)     Ta có:     x   0  x  0     x 8   x  0  x   0 (2)    x 9 x  0   Do (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình {9} Bài 2 Vì x  x  0 x  x  0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô si số hạng vế trái ta được: x2  x   x2  x x  x2  1 x  x2  2 x  x  1   ; x  x  1   (2)       2 2 Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: x2  x x  x2  x2  x   x  x2 1   x  2 nên theo đề ta có: x  x  x    x  1 0 Đẳng thức xảy x 1 Thử lại ta thấy x 1 thỏa Vậy phương trình có nghiệm x 1 Bài  42   60   3      0  x  x    Phương trình (1) có nghĩa x  nên (1)   42   42   60   60             x  5 x    x  7 x     0   60 42 3 3  7 x  x   42 60 9 9   x   42   x   60 5 x   x 0    0   42 60 42  60  3 3   x      x    5 x 7 x  x 7 x         1   0    x  0  3  3x      42  60      x      x     x  x       1 0  60    x    x  7 x   ) nên 1  S   3 Vậy tập nghiệm phương trình là: Bài  x 0   x  1  x  x  1 0 Điều kiện Do x  x    x   x  0  x   42    x    5 x   (vì  Đặt a  x  1; b  x  x  với a 0; b  Nên phương trình (1) trở thành: a  b 2  a a 2  a 1 5ab 2  a  b      5.   0 b b Giải phương trình ta được:  b a 2 b Với phương trình (1) vơ nghiệm  x  a x   x  x     x  x   b  Với  37  37 x1  ; x2  2 Phương trình có hai nghiệm thỏa điều kiện  x  2 x  0   x  (*)   2 5  x 0  x   Bài Điều kiện tồn phương trình: 3x  12 x  14 3  x  x    3  x    2 Vế phải (1): Đẳng thức xảy x 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki thỏa mãn (*) vế trái phương trình (1): x    x   12  12   x    x  2 Đẳng thức xảy x  5  x  x 2 Đẳng thức xảy phương trình (1) nên x 2 nghiệm phương trình 2 x  x 0  2   x  x   Bài Điều kiện  2 Vế trái phương trình  1 : x  x   x  1  2 với x   đẳng thức xảy x 1 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với x thỏa mãn (2) vế phải phương trình (1) thỏa: x  x    3x  1 2  12   x  x   x  x    x  x    x  1 2 2 Đẳng thức xảy x  x 1  x  3x Để đẳng thức xảy phương trình (1) hai vế phương trình (1) Nên x 1 Bài 10 Điều kiện để phương trình có nghĩa là:   x  0;0  x  Bình phương hai vế x  x    x  x    x  x    x   x  x   phương trình (1) ta được:  x  x    x   10 x  x  x  x    x    10 x  x   x  x    x   100 x  20 x  x  x  x  x  10  100 x  20 x3  x  x  x3  60 x 0  x  3x  x  60  0  10  x   ;0;6    Thử lại có nghiệm x 0; x 6 thỏa Giải phương trình mãn đề cho ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20  Bài 11.Giải phương trình : Bài 12 Giải phương trình: x 5  25  x  10  x 3 (1) x  y  4z    y  z  4x   z  x  4y  Bài 13 Giải hệ phương trình  Bài 14 Giải hệ phương trình sau: 12 x  48 x  64  y (1)  (2) 12 y  48 y  64 z 12 z  48 z  64 x (3)    x   x  x  10 3 (1) (2) (3) x yz  x  Bài 15.Tìm x, y, z biết y z 2 x y  y x 3 y   y x  x y 3 x  Bài 16 Giải hệ phương trình  (1)  x  y 3  2 Bài 17 Giải hệ phương trình  x  y  x  y  0 (2) 2 x  x y 5 (*)  y  xy   Bài 18.Giải hệ phương trình:  2 x  xy  y  x  y  0  2 Bài 19.Giải hệ phương trình  x  y  x  y  0 (1) (2) 2 Bài 20 Giải phương trình 3x  15  x  x   3x ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Bài 11.Điều kiện x   x  x  10  x    x   Nhân hai vế phương trình (1) với  x   x 5    x     x       1   ta được:  x    x    3   x    x  5  3   x  1   x   1 x   x 5  x   x 5   x  0    x   x 5   x   1  x    x    0  x  0  x   0  x  1  x     x     x    x  0 S   1 Do x    x  4(ktm) Vậy Bài 12 25  x 0   10  x  Điều kiện   x 25  x 10   10 x  10  *   x 10 2 2 2 Đặt  a  25  x ; 10  x b   a  b 25  x  10  x 15 Nên phương a  b 3 a  b 3 a 4     a  b  a  b  15  b 1 trình (1) trở thành:  10 2 Nếu b 1  10  x 1  x 9  x 3(tm) 2 Nếu a 4  25  x 16  x 9  x 3(tm) S  3 Vậy Bài 13 x; y; z  Nhân phương trình với ta có: Điều kiện 2 x  y 2 z   2 y  z 2 x   x  y  z  x   y   z  0  2 z  x 2 y          x   x    y   y    z   z   0   4x      4y     z   0  x  y z  Bài 14  x; y; z  nghiệm hệ phương trình  y, z, x   z, x, y  x  y; x  z   nghiệm phương trình Giả sử x số lớn Giả sử ba số Từ (1) ta có: 12 x  48 x  64  y  y 12  x  x    16 12  x    16 16  y  Tương , x  2; z    tự từ phương trình     ta có Trừ vế (1) (3) ta được: x3  y 12  z  x   48  z  x  12  z  x   x  z   (6) 3 Theo (4) (5) suy x  y 0; z  x 0; x  z   Nên từ (6) suy x  y z (7) 3 x  12 x  48 x  64   x  0  x 4   Thay (7) vào (1) ta được: Vậy hệ có nghiệm Bài 15 10  x; y; z   4;4;4 