Chuyên đề 1 bất đẳng thức

111Equation Chapter Section 1CHUYÊN ĐỀ 1: BẤT ĐẲNG THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Các Ví dụ S a  a Vd1:Cho a 3, tìm giá trị nhỏ S a  Giải : 8a  a  24 a 10      2  a 9 a 9 a S a  a2 Vd2:Cho a 2 Tìm giá trị nhỏ 6a  a a  12 a a 12 S a          3    a 8 a  8 a 4 Giải : S ab  ab Vd3: Cho a, b >0 a  b 1 Tìm giá trị nhỏ Giải:   15 15 17 S ab   ab  2 ab    a  b   ab  16ab  16ab 16ab  a b  16     Vd4: Cho a, b, c  a  2b  3c 20 Tìm giá trị nhỏ : S a  b  c    a 2b c Giải: Dự đoán a 2, b 3, c 4 12 18 16 12   18   16   4S 4a  4b  4c    a  2b  3c   3a     2b     c   a b c a  b  c   20  3.2.2  2.2.3  2.4 52  S 13 1   4 x , y , z  x y z Vd5: Cho Tìm giá trị lớn 1   2x  y  z x  y  z x  y  2z Giải :Ta có : P 1 1 1 1 4   ;         x y x y y z yz x y y z xy yz 16 1  1       x  2y  z x  y  z 16  x y z  Chứng minh tương tự : 1  1 1  1 2     ;      x  y  z 16  x y z  x  y  z 16  x y z   4 4  S      1 16  x y z   Vd6: Cho a, b số thực dương Chứng minh : a b 2a b  2b a  a  b  Giải : a b 1  1     a  b   a  b    a  b    a     b     a  b  2 4     2 ab  a  b  2a b  2b a Vd7 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xyz 1 Chứng minh : x2 y2 z2    y 1 z 1 x 1 Giải : x2 y 1 y2 z 1 z2 x 1  x;   y;  z y 1 x z 1 x 1 3 3  VT   x  y  z      4 4 Vd8: Với a, b, c ba số thực dương Chứng minh a b3 c   a  b  c b c a 3 a3 b c  ab 2a ;  bc 2b ;  ca 2c c a Giải : b  VT 2  a  b  c    ab  bc  ca  a  b  c Vd9 Tìm GTNN A 6x   x2 A 2 2   6x   9x x  x   x  1  Ta thấy  x  1 2 0   3x  1  4 1  x  1  Do  (theo tính chất a b a b với a, b dấu) 2 2 1   A 2 x  1  4 Do  1 Min A   3x  0  x  B CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài 01 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a   b   b  c   c  a   ab  bc  ca  8a 2b 2c  a  b  c  Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành: a  b2 b2  c c  a  a  b2  c    2ab 2bc 2ca  ab  bc  ca  Không thể đánh giá bất đẳng thức bđt Co si hay Bunhia thu đánh giá ngược chiều Do ta hướng đến phép biến đổi tương đương Khi bất đẳng thức tương đương với:   a  b    b  c    c  a     a  b   b  c    c  a   1   1   1      2ab   2bc   2ca    ab  bc  ca    Đến để có cách đánh giá dễ dàng ta xếp thứ tự biến, khơng tính tổng qt ta giả sử a b c, ta được: 2   a  b    b  c  a  b b  c a  c     1  1   1   1  ab bc ab bc  ab  bc      Như ta cần đánh giá vế phải đại lượng  a  c  2 2 a  b  b  c  a  c  a  b b  c  a  c             Ta có: 2  a  c    c  a   c  a    1   1      ab  bc ca ab  bc  ca        Bài toán quy chứng minh:  Áp dụng Bđt Bunia ta được: 2 2  a  c    c  a   c  a    1   1      ab  bc ca ab  bc  ca         Mà theo bất đẳng thức Co si ta 2 c  a c  a   1 1  ab  bc  ca ca. ab  bc  2 ca  ab  bc  ab  bc  ca nên ta có: 2 2   a  c    c  a   c  a   1   1      ab  bc ca ab  bc  ca             Do ta :  Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu xảy a b c Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 1 Chứng minh rằng: ab bc ca    ab  bc bc  ca ca  ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: ab bc ca bc ca     ab    ab  bc  ca         bc  ca ca  ab   ab  bc bc  ca ca  ab   ab  bc ab bc ca ab  bc  ca    a b b c c a Ta quy toán chứng minh  ab bc ca  2  ab  bc  ca       1  a  b  c   a b b c c a   ab bc ca  2 2    a  b  c Hay  a  b b  c c  a  b a  b 2ab b  a  b    a  b 2 a  b Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta được: Hồn tồn tương tự ta được:  ab bc ca  a  b  c  ab  bc  ca 2    a  b b  c c  a   Phép chứng minh hoàn tất ta a  b  c  ab  bc  ca a  b  c 2 2 Hay ab  bc  ca a  b  c , đánh giá cuối đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: ab bc ca a b c      c  c  a a  a  b b b  c  c  a a  b b  c Giải: c a  1 Để ý a  c c  a , bất đẳng thức cần chứng minh viết lại ab c bc a ca b      3 c c  a c  a a  a  b a  b b b  c  b  c thành: Hay c  ab a  bc b  ca c  ab a  bc b  ca   3 c  c  a a  a  b b b  c  c c  a a  a  b b b  c c  ab a  bc b  ca 1 c c  a a  a  b b b  c Phép chứng minh hoàn tất ta được: a  bc b  ca c  ab abc  a  b   b  c   c  a  Hay ta cần chứng minh a  bc b  ca  ab  a  c   b  c  c  a  b   a  b  Ta có: , ta được: 2 a  bc b  ca ab  a  c   b  c            Hoàn toàn tương tự ta được: b  ca c  ab bc  a  b   a  c  ; c  ab a  bc ca  a  b   b  c        Nhân theo vế bất đẳng thức ta được: a  bc b  ca c  ab abc  a  b   b  c   c  a      Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c C BÀI TẬP TỰ LUYỆN (cứ 10 giải lần) Đề từ 01 đến 10 Bài 01 Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a  b  c 3 Chứng mnh rằng: 1 1    3a  4b  3b  4c  3c  4a  abc Bài 02 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a  b3  c3  3abc ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a  1   a  b  c a , b , c a b c Bài Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị 1 T   2 2a  b  c2 lớn biểu thức c c  a  c  a  b  Tìm giá Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn  a 4b P a  bc   b  ca   c  ab   trị lớn Bài Cho a, b, c thực dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng: a  a  ab   b  b  bc   c  c  ac   Bài Cho a, b,c số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c abc  a2  b2    c2  a b Chứng minh Bài Cho số thực dương a, b thỏa mãn Chứng minh a  b 1  a  b    a  b   4ab   a  3b   b  3a  Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh  ab bc   1        2 b c  a b bc   a b Bài x  y   x  z  1; y  z Chứng minh a) Cho x, y, z số thực thỏa mãn   x  y   y  z Bài 10   z  x 4 a) Cho x, y, z  thỏa mãn x  y  z 1 Chứng minh xy  xy  z yz xz   yz  x xz  y Đáp án từ 01 đến 10 Bài 01 Dễ dàng dự đoán dấu đẳng thức xảy a b c 1 Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: abc abc abc    2 2 2 3a  4b  3b  4c  3c  4a  Quan sát bất đẳng thức suy nghĩ tự nhiên đánh giá làm dấu bậc hai, ý đến chiều bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là: abc abc abc   2 2 3a  4b  3b  4c  3c  4a  abc abc abc    3.    2  3a  4b  3b  4c  3c  4a   Đến ta quy toán chứng minh : abc abc abc    3a  4b  3b  4c  3c  4a  2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 3a  4b  2ab  4a  6b abc abc  2 Do ta 3a  4b  2ab  4a  6b Cũng theo bất đẳng thức Cô si ta được: 1  1   2 1 1            2ab  4a  6b  2ab  4a 6b  72  ab a  24b 72ab 36a 24b abc c bc ac    2 Do ta được: 3a  4b  72 36 24 Hoàn toàn tương tự ta được: abc a ca ba abc b ab bc    ;    3b  4c  72 36 24 3c  4a  72 36 24 Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: abc abc abc abc  ab  bc  ca      2 2 3a  4b  3b  4c  3c  4a  72 72 Phép chứng minh hoàn tất ta được: a  b  c  ab  bc  ca     ab  bc  ca 3 72 72  a  b  c ab  bc  ca  Đánh giá cuối đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài 02 Dự đoán dấu đẳng thức xảy a b c 3 Khơng tính tổng quát ta giả sử c số nhỏ ba số a, b, c Khi ta cố gắng đánh giá bất đẳng thức xoay quanh biến c Áp dụng bđt Cô si ta được: c  3b  c  2 2 bc  b  c  c 2b  b  c   c  3a  c  2 2 ca  c  a  c 2a  c  a   Ta quy toán chứng minh : 3c  a  b  3 2 a  b  c  3abc ab  a  b    c3 Hay 3c  a  b  3 2 a  b  3abc ab  a  b    2a  2b3  2ab  a  b  3c  a  b  2 Ta cần biến đổi vế trái bất đẳng thức cho xuất đại lượng  a  b  Ta có: 2a  2b3  2ab  a  b  2  a  b   a  b  ab   2ab  a  b   a  b   a  b    a  b   a  b   2ab  a  b  a  b2   a  b   a  b   4ab    2 a  b a  b  c a  b       a  b  c Theo giả sử ta có ta được:  a  b   a  b   Mặt khác a2  b2 2;  a  b   a  b   4ab  a  b   a  b   4ab  a  b  Suy ta được: a2  b2   a  b   a  b   4ab  3c  a  b    Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Bài 03 Dự đoán giá trị lớn T xảy a b c 1 Như ta cần chứng 1 T   1 2 2  a  b  c minh bất đẳng thức Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 1 1 1 a2 b2 c2      1    1 2  a 2  b2 2  c a  b2  c2  Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz dạng phân thức ta có: a  b  c a2 b2 c2     a  b2  c  a  b2  c  Phép chứng minh hoàn tất ta được:  a  b  c  1  a  b  c a  b  c   ab  bc  ca 3   a  b2  c  ab  bc  ca abc  ab  bc  ca  Để ý ta viết lại giả thiết thành ab  bc  ca   abc  ab  bc  ca   Mà ta có  ab  bc  ca  ab  bc  ca  ab  bc  ca 3 Do ta có Như bất đẳng thức chứng minh Vậy giá trị lớn T 1, xảy a b c 1 Bài c c  a  c  a  b   c  a  b  c  a   c  1  a  b   c  1  c  1       Từ Do c  nên ta suy a  b c   a  b  c Khi ta có: a 4b a 4b P  3  a  bc   b  ca   c  ab   a  b  a  b  1   b  a  a  b  c    a  b   ab  a 4b   a  ab  b2  b   b  ab  a  a   a  b   ab   a 4b  a  b   b  1  a  b   a  1   a  1  b  1   a 4b  a  b    a  1  b  1  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có: 4 3 a a a   a  a  4  a  1     1  27  27 3 3   4 3 b b b   b  b  4  b  1     1  27  3   27  a  b 4ab từ ta được:   Lại có: a b 49 4  a  b    a  1  b  1  4ab.4  a b 27 27 4 ab a 4b 36 P   4 4  a  b    a  1  b  1  a b Do a b   1  a b 3, c 7 3  Dấu xảy c a  b  4 36 Vậy giá trị lớn P , đạt a b 3,c 7 Bài Ta có:  a  1 a  a  1 0   a  2a  1  a  a  1 0  a  a3  a  0  a  a3  a  a  a3  ab  ab  a  1   ab  a  a  a  ab  Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: b  b  bc   1 ;  bc  b  c  c  ac  ac  c  Như VT  1 1 1          ab  a  bc  b  ac  c   ab  a  bc  b  ac  c   (Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho số) Lại có 10