PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dùng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với một bất đẳng thức mà ta biết là đúng... Lưu ý đẳng thức kh[r]
(1)1 PHÖÔNG PHAÙP CÔ BAÛN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC Ñònh nghóa : • Bất đẳng thức là hệ thức có các dạng : A > B ⇔ A – B > hay A < B ⇔ A – B < A ≥ B ⇔ A – B ≥ hay A ≤ B ⇔ A – B ≤ (daïng suy roäng) Trong đó A, B là các biểu thức chứa biến số hay các số Tính chaát cô baûn : 2.1 a > ⇔ a + m > b + m 2.2 Neáu m > thì : a > b ⇔ am > bm Neáu m < thì : a > b ⇔ am < bm Vaøi tính chaát khaùc : 3.1 Neáu a > b thì b < a 3.2 Neáu a > b vaø b > c thì a > c 3.3 Neáu a > b vaø c > d thì a + c > b + d (tính chaát naøy khoâng aùp dụng cho phép trừ hai đẳng thức cùng chiều) 3.4 Neáu a > b > vaø c > d > thì ac > bd 3.5 Neáu a > b vaø ab > thì 1 < a b 3.6 Neáu a > b > vaø n laø soá nguyeân döông thì : an > bn 3.7 Neáu a > b > vaø n laø soá nguyeân döông thì : n a > n b Ghi chuù : Các tính chất nêu trên sử dụng các bất đẳng thức suy roäng Vài cách thông thường để chứng minh bất đẳng thức : • Dựa vào định nghĩa (xét hiệu hai vế) • Dùng phương pháp biến đổi tương đương • Dựa vào các bất đẳng thức đúng đã biết … phối hợp các phương pháp này Lop10.com (2) B PHƯƠNG PHÁP DỰA VAØO ĐỊNH NGHĨA Muốn chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B ≥ Löu yù : A2 ≥ A2 + B2 ≥ Và các bất đẳng thức : (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 ≥ (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + BC + CA) ≥ 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức : x4 + y4 ≥ x3y + xy3 x4 + y4 + ≥ 4xy 1.2 Cho hai số dương x, y chứng minh bất đẳng thức : x3 + y3 ≥ x2y + xy2 Cho hai soá döông x, y thoûa ñieàu kieän : x3 + y3 = x – y Chứng minh bất đẳng thức : x2 + xy + y2 < 1.3 Chứng minh các bất đẳng thức : a2 + b2 + ≥ ab + a + b a2 + b2 + c2 ≥ ab + 2bc − ca 1.4 Chứng minh bất đẳng thức : x2 + y2 + ≥ 2(x + y) + xy Đẳng thức xảy nào ? Gợi ý : Taùch –2x thaønh x – 3x, ñöa hieäu hai veá veà daïng : 2 ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ − + + − y ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 1.5 Chứng minh abc = và a3 > 36 thì : a2 + b2 + c > ab + bc + ca Lop10.com (3) Gợi ý : a2 a2 a2 Taùch thaønh + 12 Ñöa hieäu hai veá veà daïng : ⎛a ⎞ a − 36 − − + b c ⎜ ⎟ 12a ⎝2 ⎠ C PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dùng các tính chất bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với bất đẳng thức mà ta biết là đúng Cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn : A > B2 ⇔ A > B ñieàu kieän A, B > m > n ⇔ Am > An ñieàu kieän A > vaø m, n nguyeân döông 1.6 Chứng minh các bất đẳng thức : (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax – by)2 x + y + z ≥ xy + yz + zx (với x, y, z ≥ 0) 1.7 Chứng minh bất đẳng thức : (a6 + b6)(a4 + b4) ≤ 2(a10 + b10) 1.8 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh : a < b a > b a < thì b a Neáu > thì b Neáu a+c b+c a+c b+c 1.9 Cho hai soá döông a vaø b vaø x y ≤ Chứng minh : a b x x+y y ≤ ≤ a a+b b 1.10 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : Suy : a a 2a < < a+b+c b+c a+b+c a b c 1< + + <2 b+c c+a a+ b Lop10.com (4) Hướng dẫn : a < a+ b+c b < a+ b+c c < a+ b+c a 2a ⎫ < b+ c a+ b+ c⎪ ⎪ a b c b 2b ⎪ < + < <2 ⎬ ⇒ 1< c+a a+ b+ c⎪ b+c c+a a+ b c 2c ⎪ < a + b a + b + c ⎪⎭ 1.11 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác với a ≥ b Chứng minh : a(a2 – 3ab – c2) ≤ b(b2 – 3ab – c2) 1.12 Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = Chứng minh : ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ + ⎟⎜ + ⎟ ≥ ⎝ x ⎠⎝ y ⎠ Hướng dẫn : Trong ñieàu kieän x > 0, y > vaø x + y = ta coù : (x + 1)(y + 1) ≥ 9xy ⇔ xy + x + y + ≥ 9xy ⇔ ≥ 8xy ⇔ ≥ 4xy ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy ⇔ (x – y)2 ≥ 1.13 Cho a > b > và hai số nguyên dương m và n với m > n Chứng minh am − b m an − b n > am + b m an + b n raèng : 1.14 Cho ba số dương x, y, z với x > z và y > z Chứng minh : z(x − z) + z(y − z) ≤ xy 1.15 Cho ba soá döông x, y, z thoûa ñieàu kieän : x3 + y3 + z3 = x2 Chứng minh bất đẳng thức : Suy : x − x2 + y − y2 + 1− x z − z2 ≥ 2x3 >2 Gợi ý : Lưu ý đẳng thức không xảy Lop10.com (5) 1.16 Cho xy ≥ , chứng minh bất đẳng thức : 1 + − ≥0 2 + x + y + xy Hướng dẫn : Trong ñieàu kieän xy ≥ Bất đẳng thức tương đương với : ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ − − ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ≥ ⇔ ………… ⇔ 2 ⎝ + x + xy ⎠ ⎝ + y + xy ⎠ (x − y)2 (xy − 1) ≥ ⇔ xy – ≥ ⇔ (1 + x )(1 + y )(1 + xy) 1.17 Cho x ≥ y ≥ z > Chứng minh : ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ y ⎜ + ⎟ + (z + x) ≤ (z + x) ⎜ + ⎟ ⎝z x⎠ y ⎝z x⎠ Hướng dẫn : Trong điều kiện x ≥ y ≥ z > 0, chứng minh bất đẳng thức tương đương với y2 + zx ≤ yz + xy ⇔ (y – x)(y – z) ≤ 1.18 Tìm các số nguyên x, y, z thỏa bất đẳng thức : x2 + y2 + z2 < xy + 3y + 2z – Hướng dẫn : Do x, y, z là số nguyên, bất đẳng thức tương đương với : x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + ≤ -1 ⎛ ⇔ ⎜ x − xy + ⎝ ⎞ y2 ⎞ ⎛ y2 ⎟ + ⎜ − y + 1⎟ + ( z − z + 1) ≤ ⎠ ⎝ ⎠ y y ⇔ ⎛⎜ x − ⎞⎟ + ⎛⎜ − 1⎞⎟ + ( z − 1)2 ≤ 2⎠ ⎝ ⎝2 ⎠ Tìm : x=1,y=2,z=1 Lop10.com (6) D PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP Dựa vào các tính chất bất đẳng thức và các bất đẳng thức suy diễn để tìm bất đẳng thức phải chứng minh Ta thường dùng các bổ đề sau : 2 A + B ≥ 2AB (A + B) ≥ 4AB A B ≥ (với A > 0) + ≥ (với AB > 0) A B A 1 + ≥ (với A, B > 0) … A B A+B A + B2 ⎛ A + B ⎞ ≥⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A+ 1.19 Chứng minh bất đẳng thức : x2 + y2 + z2 + t2 ≥ (x + y)(z + t) 1.20 Chứng minh : Neáu a + b > thì a2 + b2 > 2 Neáu a2 + b2 ≤ thì a + b ≤ 1.21 Chứng minh bất đẳng thức : x4 + y4 + z4 ≥ xyz(x + y + z) 1.22 Chứng minh x2 + y2 = thì : - ≤x+y≤ 1.23 Chứng minh : a2 + b2 + c2 = thì : Hướng dẫn : − ≤ ab + bc + ca ≤ Với a2 + b2 + c2 = ta có : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ≥ hay + 2(ab + bc + ca) ≥ (1) ab + bc + ca ≥ Lop10.com (7) Maët khaùc : a2 + b2 ≥ 2ab ⎫ ⎪ b2 + c2 ≥ 2bc ⎬ ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca c2 + a2 ≥ 2ca ⎪⎭ hay ab + bc + ca ≤ (2) 1.24 Cho hai số không âm a, b Chứng minh : (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab 1.25 Cho ba số không âm x, y, z Chứng minh : (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz 1.26 Chứng minh bất đẳng thức : (x + y)2(y + z)2 ≥ 4xyz(x + y + z) Hướng dẫn : (x + y)2(y + z)2 = (xy + y2 + zx + yz)2 = [(x + y + z)y + zx]2 ≥ 4(x + y + z)y.zx = 4xyz(x + y + z) 1.27 Cho ba soá döông x, y, z thoûa ñieàu kieän : x + y + z = Chứng minh : y + z ≥ 16xyz Hướng dẫn : 12 = [x + (y + z)]2 ≥ 4x(y + z) maø y + z > 1(y + z) ≥ 4x(y + z)2 maø (y + z)2 ≥ 4yz y + z ≥ 4x.4yz = 16xyz 1.28 Cho ba số dương x, y, z Chứng minh : x+y y+z z+x + + ≥6 z x y Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : 2a 2b 2c + + ≥ b+c−a c+a−b a+ b−c Hướng dẫn : Ñaët : b + c – a = x ; c + a – b = y ; a + b – c = z thì : 2a = y + z ; 2b = z + x ; 2c = x + y Vaän duïng keát quaû cuûa caâu (1) Lop10.com (8) 1.29 Cho bốn số dương x, y, z, t thỏa điều kiện : xyzt = Chứng minh x2 + y2 + z2 + t2 + x(y + z) + y(z + t) + z(t + x) + t(x + y) ≥ 12 Gợi ý : x, y, z, t > vaø xyzt = cho zt = >0 ; xy xy + zt = xy + ≥2 xy 1.30 1 + = x y z x+z z+y ≥4 + 2x − z 2y − z Cho ba soá döông x, y, z thoûa ñieàu kieän : Chứng minh bất đẳng thức : Hướng dẫn : 2xy Thế vào vế trái bất đẳng thức phải x+y chứng minh biến đổi : x+z z + y x + 3y y + 3x y x + = + = + + + 2x − z 2y − z 2x 2y 2 x 2 y ⎛ 1⎞ 3⎛ x y⎞ = ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ ≥ + = ⎝2 2⎠ 2⎝y x⎠ Tính z theo x, y : z = 1.31 Cho ba soá döông x, y, z xy x+y ≤ x+y 1 x+y+z + + ≤ 1 1 1 + + + x y y z z x Chứng minh bất đẳng thức : Suy : Gợi ý : 1 + x y = xy x+y = ≤ x+y x+y xy Lop10.com (9) 1.32 Cho hai số dương x, y Chứng minh : 1 + ≥ x y x+y Đẳng thức xảy lúc nào ? Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác và p là nửa chu vi Chứng minh : 1 ⎛ 1 1⎞ + + ≥ 2⎜ + + ⎟ p−a p−b p−c ⎝a b c⎠ Đẳng thức xảy lúc tam giác có đặc điểm gì ? 1.33 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh bất đẳng thức : 1 1 1 + + > + + a+ b−c b+ c−a c+a− b a b c Hướng dẫn : Do bất đẳng thức độ dài ba cạnh tam giác, ta có : a+b–c>0 b+c–a>0 c+a–b>0 1 ≥ (1) Neân : + = a+ b−c b+ c−a a+ b−c+ b+ c−a b 1 (2) Tương tự : + ≥ b+ c−a c+a− b c 1 + ≥ (3) c+a−b a+ b−c a Từ (1), (2), (3) suy điều phải chứng minh 1.34 Cho hai số dương x,y thỏa điều kiện x+y =1 Chứng minh bất đẳng thức : 1 + ≥6 xy x + y Hướng dẫn : - Dùng bất đẳng thức : (x + y)2 ≥ 4xy tìm : ≥4 xy 1 + ≥ (với a, b > 0) : a b a+ b 1 ⎛ 1 ⎞ … + = +⎜ + ≥ + 2 ⎟ xy x + y 2xy ⎝ 2xy x + y ⎠ 2xy (x + y)2 - Vận dụng bất đẳng thức : Lop10.com (10) 1.35 Cho ba soá x, y, z thoûa hai ñieàu kieän : x + y + z = vaø xy + yz + zx = ⎡ 4⎤ Chứng minh số x, y, z thuộc đoạn ⎢ 0; ⎥ ⎣ 3⎦ Hướng dẫn : x+y+z=2⇔2–x=y+z (2 – x)2 = (y + z)2 ≥ 4yz 4yz = 4[1 – x(y + z)] = 4[1 – x(2 – x)] (2 – x)2 ≥ 4(x – 1)2 ⇔ x(3x – 4) ≤ ⇔ ≤ x ≤ Tương tự với y và z 1.36 a2 + b ⎛ a + b ⎞ ≥⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Vận dụng để chứng minh có + x + + y = + z Chứng minh bất đẳng thức : thì coù : x + y ≥ 2z 1.37 Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = Chứng minh : 2 1⎞ ⎛ ⎞ 25 ⎛ ⎜x + ⎟ +⎜y + ⎟ ≥ x⎠ ⎝ y⎠ ⎝ Hướng dẫn : a2 + b ⎛ a + b ⎞ ≥⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Vận dụng bất đẳng thức : ⎡⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎢⎜ x + ⎟ + ⎜ y + ⎟ ⎢⎝ x⎠ ⎝ y⎠ ⎣ 2 ⎤ 1⎛ 1⎞ ⎥ ≥ ⎜x+ + y+ ⎟ x y⎠ ⎥⎦ ⎝ 1⎡ x + y⎤ 1⎛ ⎞ = ⎢( x + y ) + = ⎜1 + ⎟ ⎥ 4⎣ xy ⎦ ⎝ xy ⎠ (do x + y = 1) Maët khaùc : (x + y)2 ≥ 4xy hay ≥ 4xy ⇒ 2 1⎞ ⎛ 1⎞ 25 ⎛ Neân : ⎜ x + ⎟ + ⎜ y + ⎟ ≥ (1 + ) = x⎠ ⎝ y⎠ 2 ⎝ 10 Lop10.com ≥4 xy (do xy > 0) (11) 1.38 a + b + c2 ⎛ a + b + c ⎞ Chứng minh bất đẳng thức : ≥⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ 2 Cho ba soá döông x, y, z thoûa ñieàu kieän x + y + z = 2 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ Chứng minh : ⎜ x + ⎟ + ⎜ y + ⎟ + ⎜ z + ⎟ ≥ 33 x⎠ ⎝ y⎠ ⎝ z⎠ ⎝ Hướng dẫn : 2 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1⎛ 1 1⎞ ⎛ ⎜ x + ⎟ + ⎜ y + ⎟ + ⎜ z + ⎟ ≥ ⎜ x + + y + + z + ⎟ x⎠ ⎝ y⎠ ⎝ z ⎠ 3⎝ x y z⎠ ⎝ 2 ⎛ 1 ⎞⎤ 1⎡ 1⎛ x + y + z x + y + z x + y + z ⎞ = ⎢( x + y + z ) + ⎜ + + ⎟ ⎥ = ⎜ + + + ⎟ 3⎣ 3⎝ x y z ⎝ x y z ⎠⎦ ⎠ 2 ⎛ x y ⎞ ⎛ y z ⎞ ⎛ z x ⎞⎤ 1⎡ = ⎢1 + (1 + + 1) + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ ⎥ ≥ (1 + + + + + + ) 3⎣ ⎝ y x ⎠ ⎝ z y ⎠ ⎝ x z ⎠⎦ = 10 > 33 1.39 Cho a > b > 0, so saùnh hai soá : A= 1+ a + a + a2 B= So saùnh hai soá : A = 1999 + 2001 1+ b + b + b2 B = 2000 1.40 Cho hai số nguyên m và n với m > n Chứng minh : Neáu < x < thì xm < xn Neáu x > thì xm > xn Hướng dẫn : Ñaët k = m – n > Neáu < x < thì : < xk < 1k vaø < xn Neân : xn.xk < xn.1k hay xn.xm – n < xn.1k xm < xn Neáu x > thì : Neân : xn.xk > xn.1k hay xn + k > xn xm > xn 11 Lop10.com (12) 1.41 Chứng minh bất đẳng thức : a12 – a9 + a4 – a + > Chứng minh có bất đẳng thức : y ≥ x3 + x2 + |x| + thì có bất đẳng thức : x2 + y2 ≥ 1.42 Cho –1 ≤ x ≤ và số nguyên dương n, chứng minh : (1 + x)n + (1 – x)n ≤ 2n Gợi ý : Từ –1 ≤ x ≤ suy : ≤ Neân : n ⎛1+ x ⎞ 1+ x ⎜ ⎟ ≤ ⎝ ⎠ 1+ x 1− x ≤ vaø ≤ ≤1 2 n ⎛1− x ⎞ 1− x … ⎜ ⎟ < ⎝ ⎠ 1.43 Cho ba soá khoâng aâm thoûa ñieàu kieän : x + y + z = Chứng minh bất đẳng thức : 4(1 – x)(1 – y)(1 – z) ≤ x + 2y + z Đẳng thức xảy nào ? Hướng dẫn : Do x + y + z = 1, ta coù : – x = y + z Do ≤ y ≤ , ta coù : ≤ – y2 ≤ Từ bất đẳng thức : (a + b)2 ≥ 4ab 4(1 – x)(1 – y)(1 – z) = 4[(y + z)(1 – z)].(1 – y) ≤ ≤ (y + z + – z)2.(1 – y) = (1 + y)2(1 – y) = (1 – y2)(1 + y) ≤ ≤ + y = x + y + z + y = x + 2y + z Đẳng thức xảy và : ⎧1 − x = − z ⎪ ;y=0 ⎨(1 − y )(1 + y) = + y ⇔ x = z = ⎪x + y + z = ⎩ 1.44 Cho x2 + y2 + z2 = , chứng minh bất đẳng thức : xyz + 2(xy + yz + zx + x + y + z + 1) ≥ Hướng dẫn : Trong điều kiện : x2 + y2 + z2 = biến đổi vế trái thành : A = (xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1) + (xy + yz + zx + x + y + z + 1) Maø : 12 Lop10.com (13) xyz + xy + yz + zx + x + y + z + = (x + 1)(y + 1)(z + 1) (1) Vaø xy + yz + zx + x + y + z + = x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx + x + y + z (x + y + z + 1)2 (2) = Mà |x| ≤ , |y| ≤ , |z| ≤ suy điều phải chứng minh 1.45 Chứng minh a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thì : ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Gợi ý : a < b + c vaø a > ⇒ a2 < a(b + c) hay a2 < ab + ca 1.46 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh bất đẳng thức : abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) Hướng dẫn : a, b, c > 0, a + b > c, b + c > a, c + a > b a2 ≥ a2 – (b – c)2 hay a2 ≥ (a + b – c)(c + a – b) (1) Tương tự : b2 ≥ (b + c – a)(a + b – c) (2) c2 = (c + a – b)(b + c – a) (3) 1.47 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác với a ≤ b ≤ c Chứng minh bất đẳng thức : (a + b + c)2 ≤ 9bc Hướng dẫn : Do a ≤ b neân : (a + b + c)2 ≤ (2b + c)2 Ta chứng minh bất đẳng thức : (2b + c)2 ≤ 9bc Xeùt hieäu hai veá : (2b + c)2 – 9bc = (b – c)(4b – c) Mà b ≤ c nên b – c ≤ 0, đó ta còn phải chứng minh : 4b – c ≥ Do a ≤ b neân : 4b – c = 2b + (b + b – c) ≥ 2b + (a + b - c) Maø a + b – c > neân : 4b – c ≥ 2b + (a + b – c) > Bất đẳng thức chứng minh 13 Lop10.com (14) 1.48 Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi là Chứng minh raèng : a2 + b2 + c2 + 2abc < Hướng dẫn : Trước hết chứng minh : a < 1; b < ; c < Để có : (1 – a)(1 – b)(1 – c) > ⇔ – (a + b + c) + ab + bc + ca – abc > Maø a + b + c = 2, neân : -1 + ab + bc + ca – abc > Vận dụng đẳng thức : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) (a + b + c)2 − (a2 + b2 + c2 ) a + b + c2 = 2− ab + bc + ca = 2 2 a +b +c − abc > Ta coù : -1 + 2 hay – (a2 + b2 + c2) – 2abc > ⇔ a2 + b2 + c2 + 2abc < 14 Lop10.com (15) VAØI BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG A BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Ñònh lyù : • Với hai số không âm a và b, ta có bất đẳng thức : a+ b ≥ ab Đẳng thức xảy và a = b Heä quaû : • Nếu a ≥ 0, b ≥ và tổng a + b = k (hằng) thì tích ab lớn nhaát vaø chæ a = b : max(ab) = k2 ⇔a=b Trong các hình chữ nhật có chu vi thì hình vuông có diện tích lớn • Neáu a ≥ b, b ≥ vaø tích ab = k (haèng) thì toång a + b nhoû nhaát vaø chæ a = b min(a + b) = k ⇔ a = b Trong các hình chữ nhật có diện tích thì hình vuông có chu vi nhoû nhaát Toång quaùt : • Với a1, a2, …, an là n số không âm, ta có bất đẳng thức : a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n Đẳng thức xảy và : a1 = a2 = … = an 2.1 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm : a+ b ≥ ab 2 Vận dụng để chứng minh bất đẳng thức Cauhy có bốn số không âm, ba soá khoâng aâm : a+ b+ c+d ≥ abcd 15 Lop10.com a+ b+c ≥ abc (16) 2.2 Cho ba số không âm a, b, c Chứng minh bất đẳng thức : (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc Cho a, b, c ≥ và a + b + c = 1, chứng minh bất đẳng thức : a4 + b4 + c4 ≥ abc 2.3 x ≥2 x −1 Chứng minh rằng, x > thì : Cho x > và y > 1, chứng minh bất đẳng thức : x2 y2 ≥8 + y −1 x −1 2.4 a2 + Chứng minh bất đẳng thức : a2 + ≥4 Cho a ≥ và b ≥ 1, chứng minh bất đẳng thức : a b − + b a − ≤ ab Gợi ý : a2 + a2 + = a2 + + a2 + a − = (a − 1).1 2.5 Cho a, b, c ≥ - và a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức : 4a + + 4b + + 4c + < Cho a, b, c > 0, Chứng minh bất đẳng thức : 1 a+ b+c + + ≤ a + bc b + ca c + ab 2abc Hướng dẫn : Lưu ý đẳng thức không xảy a2 + bc ≥ a2 bc = 2a bc ⇒ 1 ≤ a + bc 2a bc 16 Lop10.com (17) 2.6 Cho ba số dương x, y, z với x > z và y > z Chứng minh bất đẳng thức : z(x − z) + z(y − z) ≤ xy Hướng dẫn : Bình phương hai vế : z(x – z) + z(y – z) + z(x − z).z(y − z) ≤ xy ⇔ 2z (x − z)(y − z) ≤ 2z2 + xy – yz – zx ⇔ 2z (x − z)(y − z) ≤ z2 + (x – z)(y – z) Đây là bất đẳng thức đúng theo bất đẳng thức Cauchy với hai số dương z2 vaø (x – z)(y – z) 2.7 ⎛ ⎝ Gọi a, b, c là ba cạnh tam giác và p là nửa chu vi ⎜ p = Chứng minh bất đẳng thức : (p – a)(p – b)(p – c) ≤ a+ b+c⎞ ⎟ ⎠ abc 2.8 Gọi R, r và S là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp và diện tích tam giác vuông Chứng minh : R + r ≥ 2S Hướng dẫn : Gọi a là độ dài canh huyền, b và c là độ dài hai cạnh góc vuông a 1 S = (a + b + c)r vaø S = bc R= 2 bc r= a+ b+c Neân : a bc a(a + b + c) + 2bc a2 + ab + ca + 2bc = = R+r= + a+ b+c 2(a + b + c) 2(a + b + c) 2 Maø theo ñònh lí Pitago thì : a = b + c neân b2 + c2 + ab + ac + 2bc (b + c)2 + a(b + c) = R+r= 2(a + b + c) 2(a + b + c) (b + c)(a + b + c) b + c = = 2(a + b + c) Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương b, c: 17 Lop10.com (18) R+r= b+c ≥ bc = 2S (do S = bc ) 2.9 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức : ⎛1 ⎝ 1⎞ (a + b + c) ⎜ + + ⎟ ≤ a b c ⎠ Vận dụng kết đó để chứng minh bất đẳng thức : x y z + + ≥ y+z z+x x+y với x, y, z là ba số dương Gợi ý : Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : ⎫ a + b + c ≥ 3 abc ⎪ ⎛1 1⎞ ⎬ ⇒ ( a + b + c) ⎜ + + ⎟ ≥ 1 1 1 ⎝a b c⎠ + + ≥ 33 ⎪ a b c a b c⎭ 2.10 Cho x ≥ và y ≥ Chứng minh bất đẳng thức : 3x2 + 7y2 > 9xy2 Cho ba số không âm a, b, c Chứng minh bất đẳng thức : a3 + b3 + c3 ≥ a2 bc + b2 ca + c2 ab Gợi ý : Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : 3x3 + 7y3 = 3x3+3y3 + 4y3 ≥ 3x3 3y3 4y = 3xy 32.4 >3xy2 33 = 9xy2 a3 + b3 + c3 ≥ 3abc ⇔ 2(a3 + b3 + c3) ≥ a3 + b3 + c3 + 3abc = (a3 + abc) + (b3 + abc) + (c3 + abc) a3 + abc ≥ a3abc = 2a2 bc b3 + abc ≥ 2b2 ca c2 + abc ≥ 2c2 ab …… 3 a + b + c ≥ a bc + b2 ca + c2 ab 18 Lop10.com (19) 2.11 Chứng minh các bất đẳng thức sau đây : 4(x2 + y2)3 ≥ 27x2y4 x6 + y9 ≥ 3x2y3 – 16 (với y ≥ 0) Gợi ý : Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : y2 y2 y2 y + ≥3 x … x + y = x + 2 2 x6 + y9 ≥ 3x2y2 – 16 ⇔ x6 + y9 + 64 ≥ 12x2y3 2 x6 + y9 + 64 = (x2)3 + (y3)3 + 43 ≥ 3 x y 43 … 2.12 Cho ba số dương x, y, z thoả điều kiện : Chứng minh : xyz ≤ 1 + + ≥2 1+ x 1+ y 1+ z Gợi ý : Điều kiện đã cho tương đương với : ≥ 2xyz + xy + yz + zx Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với bốn số không âm 2.13 Cho n số dương : x1, x2, … ,xn Chứng minh : x1 x x + + + n ≥ n x2 x3 x1 Cho ba số không âm z, y, z thoả điều kiện x + y + z = Chứng minh : xy2z3 ≤ 432 Gợi ý : y y z z z + + + + (=1) 2 3 Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho sáu số không âm x + y + z = x + 19 Lop10.com (20) 2.14 Cho ba soá döông x, y, z thoûa ñieàu kieän x + y + z = Chứng minh : 16xyz ≤ y + z Cho boán soá döông x, y, z, t thoûa ñieàu kieän : Chứng minh : 1 1 + + + ≥3 1+ x 1+ y 1+ z 1+ t xyzt ≤ 81 Hướng dẫn : 1 = x + (y + z) ≥ x(y + z) ⇔ ≥ 4x(y + z) ⇔ y + z ≥ 4x(y + z)2 ⇔ y + z ≥ 4x(2 yz )2 ⇔ y + z ≥ 16xyz Nhaän xeùt : ⎛ y z t 1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≥ ⎜1 − + + ⎟ + ⎜1 − ⎟ + ⎜1 − ⎟ = 1+ x ⎝ 1+ y ⎠ ⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ t ⎠ 1+ y 1+ z 1+ t Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : y z t yzt ≥ 33 ≥ + + 1+ x 1+ y 1+ z 1+ t (1 + y)(1 + z)(1 + t) Tương tự, nhân theo vế bốn bất đẳng thức tìm : xyzt ≥ 81 (1 + x)(1 + y)(1 + z)(1 + t) (1 + x)(1 + y)(1 + z)(1 + t) xyzt ≤ 81 20 Lop10.com (21)