Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

ÔN TẬP CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG A Lý thuyết Áp dụng trường hợp đồng dạng tam giác vào tam giác vuông Hai tam giác vuông đồng dạng với nếu: a) Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông b) Tam giác vuông có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng Tỉ số đường cao, trung tuyến, phân giác hai tam giác đồng dạng a) Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng b) Tỉ số hai đường trung tuyến hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng c) Tỉ số hai đường phân giác hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng B Bài tập Dạng 1: Sử dụng trường hợp đồng dạng góc - góc Cách giải: Hai tam giác vuông đồng dạng với tam giác vuông có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A , A đường cao AH 20 a Cho HB 9cm, HC 16cm Tính AH , AB, AC 15 12 b Chứng minh rằng: AH HB.HC AB BC.BH B Lời giải a) Xét AHB CHA , có: H 16 C  H  900  H    AHB” CHA ABH CAH    AH CH BH  AH 12(cm) b) Ta có: ABH #CBA( gg )  AB CB.CH Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A ( A AB  AC ) Kẻ AH  BC H Gọi E , F F hình chiếu H AB, AC E a) Chứng minh: AH  AE AB B b) Chứng minh: AEF ” ACB N C H c) Lấy M đối xứng với A qua E , tia MH cắt M   cạnh AC N Chứng minh ABH  ANH EF / / HN Lời giải    c) Ta có HMA BAH  ACB  ABC ” ANB  gg   ABH  ANH    Do AFE  ANH  ABH  EF / / MN Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A , B N đường cao AH Gọi M , N trung H điểm AH , BH Gọi O giao điểm AN với CM Chứng minh rằng: O a) ABH ” CAH b) ABN ” CAM A c) AN  CM d) AH 4CM MO Lời giải      a) Ta có: B  A1 (phụ BAH ); H1 H 90  ABH #CAH ( gg )  M AH AC AM   BH AB BN C AC AM    b) Ta có: AB BN ; B  A1  ABN #CAM  cgc  ˆ ˆ c) ABN ” CAM  A2 C1 0      Gọi O giao điểm CM AN Xét AOC , có: OAC  ACO OAC  A2 90  O 90 d) AMO#CMH ( gg )  AM MO  CM MH  AH   AM MH MC.MO  AM MC.MO    MC MO    AH MC.MO (đpcm) Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có E AC  BD Kẻ CE  AB E; CF  AD F BH  AC H , DK  AC K Chứng minh: B AB AH  AC AE a H b AD AF  AK AC c AD AF  AB AE  AC C K A D F Lời giải a) Ta có: AHB#AEC  gg   AB AH   1 AC AE b) Tương tự ta có: AKD” AFC  gg   AD.AF  AK AC   c) Từ (1)(2)  AB AE  AC AH  3 Lấy     3 ta được: AD.AF  AB AE  AC (đpcm) Dạng 2: Sử dụng trường hợp đồng dạng cạnh góc cạnh cạnh huyền cạnh góc vng Cách giải: - Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng - Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ DE D vng góc với AC E Gọi M , N , P lần C P lượt trung điểm BC , AE DE Chứng E minh: AD AE  a DC DE N A b AND” DPC c ND  NM Lời giải A : chung    ADE#ACD  gg  AED  ADC 900   a) Xét ADE ACD , có: b) Ta có: ADE#ACD  M AE DE AE AD AN     AD CD DE DC DP Chứng minh được:  AND” DNC (cgc) c) P trực tâm tam giác CDN  CP  DN (1) Tứ giác MNPC hình bình hành  MN / / PC (2)  MN  DN B Bài 2: Cho tam giác ABC cân A , gọi H A trung điểm BC Vẽ HE vng góc với AC , gọi O trung điểm HE Vẽ BK vng góc với AC , BE cắt AO I K a Chứng minh: AHE#BCK I b Chứng minh: AE.EK BK OE O B c Chứng minh: OA  BE E H C Lời giải a) Xét AHE BCK , có: AEH BKC    900 ; HAE CBK  AHE#BCK  gg  b) Ta có:  AHE ” BCK  gg   AE HE OE   BK CK EK AE BK   AEO” BKE  cgc  EO KE c) Theo câu b, có:   ; KBE     AEO#BKE (c  g  c)  EBK EAI  EBK 900  KEB  EAI 900 Bài 3: Cho tam giác ABC , trực tâm H Gọi A M , N trung điểm BC AC Gọi O giao điểm đường trung trực tam giác, G trọng tâm tam giác ABC N O H Chứng minh G a) OMN ” HAB  AH 2OM b Chứng minh HAG” OMG B c Ba điểm H , G, O thẳng hàng GH 2GO Lời giải a Ta có MN đường trung bình ABC  MN / / AB, MN  AB Chứng minh được: M C AHB” MON ( g  g )  AH AB  2 OM MN OM GM   HAG OMG ;  AH GA b c HAG” OMG   1     HAG#OMG (cgc )  2 GH    2; AGH OGM  OGM  HGM 1800  H , G , O GO thẳng hàng Dạng 3: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Cách giải: Ta có: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Bài 1: Cho tam giác ABC vng A có N AB 6cm, AC 8cm Lấy điểm M cạnh AC cho AM  AB Kẻ ME  BC E a) Chứng minh CM CA CE.CB b) Tia BA tia EM cắt N , đường A thẳng BM cắt CN F Chứng minh F AMB#FMC tam giác ACN vng cân M c) Tính tỉ số diện tích hai tam giác BFN E B C tam giác MFC Lời giải  b) Ta có AMB#FMC  gg  , mà AMB vng cân  FMC vuông cân  FCM 45 ANC vuông A có ANC 450  ANC vng cân S  BN  BNF #FMC  gg   BFN   49 S CM   MFC c) Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A , B ˆ đường cao AH Tia phân giác ABC cắt H H M D cắt AC E a Chứng minh rằng: ABE ” HBD; AHB” CHA; ABC ” HBA A  b Kẻ phân giác AM BAC ( M  BC ), cho AB 6cm, AC 8cm Tính +) BM , CM S ABE S AHB ; S SCHA BHD +) E O C  c Kẻ phân giác HO AHC ( O  AC ) OA AB  Chứng minh OC AC d Biết PABC 24cm, PAHC 12cm, PAHB 9cm Tính cạnh ABC Lời giải S ABE  AB    ; ABC ” HBA  HB 3, 6cm S BH   BHD b  S ABE 25  S BHD S AHB  AB  16    SCHA  AC  c ABH #CAH  AH AB AO   CH AC OC PAHB AB   k ( k  N * )  AB 3k ; AC 4k  BC 5k  12k 24  k 2  AB, BC , AC d PCHA BC Bài 3: [Ba Đình, 2016 - 2017] Cho hình chữ nhật ABCD A có B AB 8cm , O AD 6cm , hai đường chéo AC BD cắt D C K O Qua D kẻ đường thẳng d vng H góc với BD, d cắt BC E a Chứng minh: BDE ” DCE b Kẻ CH vng góc với DE H Chứng minh DC CH DB c Gọi K giao điểm OE CH CMR E S EHC K trung điểm CH tính S EDB d Chứng minh OE , CD, BH đồng quy Lời giải c Do BD / /CH (cùng vng góc với DE ) mà O  BD, K  CH  HK CK EK  ( )  KH CK OD OB EO S 256  CH  CHE#BDE (CH / / BD )  EHC    S EDB  BD  625   d Giả sử CD giao với BH I , chứng minh DOI ” CIK (c  g  c)  DIO CIK 0     Mà: DOI  OCI 180  OCI  CIk 180  O, I , K  I  OE Bài 4: [Cuối năm 2017 – 2018] B Cho hình chữ nhật ABCD có AD 6cm , C E AB 8cm Hai đường chéo AC BD cắt K O O Qua D kẻ đường thẳng d I H vuông góc với BD, d cắt BC E a Chứng minh rằng: BDE ” DCE A b Kẻ CH vuông góc với DE H Chứng minh rằng: DC CH DB c Gọi K giao điểm OE HC Chứng minh K trung điểm HC Tính tỉ số diện tích tam giác ECH diện tích tam giác EBD d Chứng minh ba đường thẳng OE , CD, BH đồng quy Lời giải a BDE DCE ( gg ) b c DCB” CHD  CD DB   CD CH DB CH DC CH / / BD(  BD)  HK KE KC   OD OE OB (định lý TaLet) mà OB OD (do ABCD hình chữ nhật )  HK CK  dpcm D - Tính BD 10cm, CD 8cm Từ câu b, ta có CH CD : BD 64 :10 6, 4(cm) 2 S 256  CH   6,  ECH ” EBD( gg )  ECH      S EBD  BD   10  625 Lại có: d Gọi I giao điểm BH CD O ' giao điểm EI BD , K ' giao điểm EI CH Ta chứng minh O ' trung điểm BD Vì CH / / BD  O ' B BI BD DE O ' D      O ' B O ' D HK ' HI HC HE HK ' hay O ' trung điểm BD  EI qua O Do OE , CD, BH đồng quy Bài 5: [Cuối năm 2015 – 2016] A Cho tam giác ABC vuông A ( AB  AC ), đường trung tuyến AM Qua F M kẻ đường thẳng vng góc với AM cắt AB E cắt AC F Kẻ B M AH  BC ( H  BC ), AH cắt EF I I Chứng minh rằng: E   ABM a BAM b ACB  AEF từ suy MBE#MFC c AB AE  AC AF S ABC  AM    S  AI  AFE d H Lời giải   a ABM cân M  BAM  ABM     b ACB  BAC 90  AEF  BAM  BAM  ABC  ACB  AEF  MBE MFC ( g  g ) 10 C c ABC ” AFE ( gg )  AB AC  AF AE  AB AE  AC AF  AI  EF  EF 2 AI    d AEI cân I ( AEI EAI  ACB )  EI IA  AIF cân I Ta lại có: BC 2 AM S  BC   AM  AFE ABC  ABC     S EF    AI  AFE Do Bài 6: [Cuối năm 2016 – 2017] Cho tam giác ABC vng A , có A M BC 5cm, AC 3cm Trên tia đối tia D CB lấy điểm D cho CD 6cm Qua B D kẻ đường vng góc với BD cắt AC H C K E a Chứng minh rằng: ABC#DEC b Kẻ E AH  BC ( H  BC ); DK  CE ( K  CE ) Chứng minh rằng: CH CD CK CA c Tính độ dài CE KD d Vẽ đường phân giác BM ABC ( M  BC ).CMR : MA  EK MC ED Lời giải a ABC ” DEC ( gg ) b AHC ” DKC ( gg ) c ABC ” DEC   HC AC   CH CD CK CA CK DC CE CD  BC AC 2  CE 10(cm) Vì tam giác DCE vng D , áp dụng pitago  DE 8(cm) 11 DKE ” CDE  KD DE     KD 4,8(cm) CD CE 10 AB MA MA EK  (1)   ;  ABC ”  KED (2) MC ED d Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: BC MC 12