Các trường hợp đồng dạng của tam giác

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC I Lý thuyết A A Trường hợp đồng dạng thứ (cạnh – cạnh – A' cạnh) Định lý: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba B cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng C B' C' AB BC CA    ABC ” A ' B ' C '(c.c.c) Nếu A ' B ' B ' C ' C ' A ' Bài 1: Cho hình vẽ A a) ABC có đồng dạng với DEF hay khơng? b) Tính tỉ số chu vi hai tam giác D B 12 C E F Lời giải AB AC BC     ABC ” DEF  ccc  a) Ta có: DF DE EF C ABC AB  BC  CA   12 27     C DE  EF  FD   18 DEF b) Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh A tỉ lệ với 4, 5, Cho biết: DFE ACB D cạnh nhỏ DEF 0,8cm Tính độ dài cạnh lại DEF B C E F Lời giải Vì DEF ” ABC nên DEF có độ dài cạnh tỉ lệ với 4, 5, Giải sử DE  EF  DF  DE 0,8cm Vì ba cạnh tam giác ABC có độ dài tỉ lệ với 4, 5, nên ta có: DE EF FD   0,  EF 1 cm  ; FD 1,  cm  Bài 3: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A ' B ' C ' Cho biết AB 6cm, BC 10cm CA 14cm chu vi tam giác A ' B ' C ' 45cm Tính độ dài cạnh tam giác A ' B ' C ' Lời giải Ta có: ABC ” A ' B ' C '  AB BC CA AB  BC  CA     A ' B ' B ' C ' C ' A ' A ' B ' B ' C ' C ' A '  A ' B ' 9cm, B ' C ' 15cm, A ' C ' 21cm Bài 4: Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác Gọi P, Q, R trung điểm đoạn thẳng OA, OB, OC a) Chứng minh: PQR ABC b) Cho biết ABC có chu vi 543cm Tính chu vi PQR Lời giải Ta có: ABC ” A ' B ' C '  AB BC CA AB  BC  CA     A ' B ' B ' C ' C ' A ' A ' B ' B ' C ' C ' A '  A ' B ' 9cm, B ' C ' 15cm, A ' C ' 21cm Bài 5: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A ' B ' C ' Cho biết BC 24,3cm, CA 32, 4cm AB 16, 2cm Tính độ dài cạnh tam giác A ' B ' C ' nếu: a) AB  A ' B ' 10cm b) A ' B ' AB 10cm Lời giải 16, 24,3 32,   Ta có: A ' B ' B ' C ' C ' A ' a) Tính được: A ' B ' 6, 2cm  B ' C ' 9,3cm; A ' C ' 12, 4cm b) Tương tự tính được: A ' B ' 26, 2cm  B ' C ' 39,3cm; A ' C ' 52, 4cm Bài 6: Cho tứ giác ABCD có AB 3cm , A B BC 10cm , CD 12cm , AD 5cm , đường chéo BD 6cm Chứng minh rằng: a ABD BCD b ABCD hình thang D Lời giải 10 12 C     ABD BCD  ccc   ABD BDC  AB / /CD a) Ta có: 10 12 b) Ta có AB / /CD (chứng minh trên)  ABCD hình thang Bài 7: Cho tam giác ABC vng A có BC 10cm, AC 8cm tam giác A ' B ' C ' vng A ' có B ' C ' 5cm, A ' C ' 4cm a Chứng minh rằng: ABC#A ' B ' C ' b Tính tỉ số chu vi ABC A ' B ' C ' A Lời giải a) Xét tam giác vuông ABC A ' B ' C ' , theo định lý Pytago tính được: K AB 6cm, A ' B ' 3cm  AB BC CA   2  ABC A ' B ' C '  ccc  L A ' B ' B 'C ' C ' A ' H AB BC CA AB  BC  CA   2   A ' B ' B ' C ' C ' A ' b) Ta có: A ' B ' B ' C ' C ' A ' tỉ số chu vi F B Bài 8: Cho tam giác ABC Các đường cao AF , BK , CL cắt P E O D C H Từ A kẻ Ax vng góc với AB , từ C kẻ Cy vng góc với BC Gọi P giao điểm Ax Cy a Chứng minh tứ giác AHCP hình bình hành b Lấy O trung điểm BP D, E trung điểm BC AC Chứng minh rằng: ODE#HAB Lời giải a) Tứ giác AHCP có cạnh đối song song nên hình bình hành b) Ta có: OB OP OA OC nên O giao điểm đường trung trực cạnh BC , AC , AB  OD  BC , OE  AC 1 1 OD  PC  AH , OE  BH , DE  AB  ODE#HAB (ccc ) 2 2 Lại có: Bài 9: Cho tam giác ABC Điểm M thuộc cạnh BC A MB  cho MC Kẻ MH / / AC  H  AB  ; MK / / AB  K  AC  a) Tính độ dài MB, MC biết BC 25  cm  H b) Tính chu vi tam giác ABC biết chu vi KMC 30cm c Chứng minh: HB.MC BM KM Lời giải MB MB MC BC     5  MC 15  cm  , MB 10  cm  a) Ta có MC b) c) KMC ” ABC  CKMC 30.5  50 C ABC HMB” KMC (” ABC )  K HB MB  KM CM (đpcm) B M C B Trường hợp đồng dạng thứ hai (cạnh – góc – cạnh) A Định lý: Nếu hai cạnh tam giác tỷ lệ với hai A' cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh nhau, hai tam giác đồng dạng với B AB BC    ; B B '  ABC ” A ' B ' C '(cgc) Nếu: A ' B ' B ' C '   Bài 1: Hình thang vng ABCD có: A D 90 , C B' A AB 4cm B 45 BD 6cm, CD 9cm Tính BC ? C' D C Lời giải Xét ABD DBC , có:  D  ( slt ), AB  BD   ABD DBC  A  B  900 B 1 DB DC    900  BC  45(cm) ABD B Xét Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh AB 24cm A AC 28cm Đường phân giác góc A cắt cạnh BC D Gọi M , N hình chiếu điểm B, C đường thẳng AD M BM a) Tính tỉ số CN AM DM  b) Chứng minh AN DN N Lời giải a) Ta có: b) BM / /CN   AD   BMD CND  ABM ACN  cgc   C B AM DN  BM   AN DM  CN BM BD AB    CN CD AC    Bài 3: Cho tam giác ABC có AC 8cm, AC 16cm Gọi A D E hai điểm cạnh AB AC 13 cho BD 2cm, CE 13cm Chứng minh a AEB ADC B   b AED  ABC , cho DE 5cm Tính BC ? C c AE AC  AD AB Lời giải a AEB#ADC (cgc) AE AB    b) Xét AED ABC , có: AD AC A : chung   AED#ABC (cgc)  AED  ABC c Vì AED#ABC  AE AD   AE AC  AB.AD AB AC Bài 4: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm B A E , tia AE cắt đường thẳng CD M , tia DE cắt N E H đường thẳng AB N , Chứng minh rằng: a) NBC BCM b) BM  CN D Lời giải a Xét EDC , có: Xét ECN , có: Từ (1)(2) b  BN / / CD  AB / /CM  BN BE BN BE    (1) CD EC BC EC AB BE BC BE    (2) CM EC CM EC BN BC    ; B C 900  NBC#BCM (cgc) BC CM  M  ,C  C  900  C  M  900  CHM  NBC#BCM  C 900 1 2 C M ABC vuông A , đường cao Bài 5: Cho tam giác A AH Gọi M , N trung điểm CH AC Nối N 1 GM  GA AM , MN Lấy G thuộc AM cho B Chứng minh C M H a GAH GMN b H , G, N thẳng hàng Lời giải   a Ta có: A1 M (so le trong) AH 2 MN A M  1   AG AH   GAH #GMN (cgc)   MG MN      b GAH #GMN  AGH MGN ; AGH  HGM 180     MGN  HGM 1800  HGN 1800 Bài 6: Cho hình thoi ABCD , Aˆ 60 Qua C kẻ E đường thẳng d cắt tia đối tia BA, DA theo thứ tự E , F Chứng minh C B I EB AD  a AB DF 60 b EBD#BDF A  c BID 120 ( DE  BF I ) Lời giải a) Ta có: BC / / AF  CD / / AB  EB EC  AB FC (hệ talét) (1) EC AD EB AD  ( HQ.TaLet )(2)   CF DF AB DF 1 D F EB AD EB BD      ; EBD BDF 1200  EBD#BDF b) AB DF BD DF 0           c) EBD BDF  D1 F1 ; E1 B1 ; F1  B1 D2 60  B1  D1 60  BID 60 (dpcm) Bài 7: Cho tam giác ABC có AB 6cm, AC 7,5cm , D BC 9cm Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AC A a Chứng minh rằng: ABC#CBD 7,5 b Tính CD   c Chứng minh rằng: BAC 2 ACB B C Lời giải a Ta có: BD 13,5cm BA BC      BC BD   ABC#CBD (cgc)   : chung B  b Ta có: ABC#CBD  AC AB   CD 11, 25(cm) CD CB       c) ABC#CBD  C2 D; BAC C  D 2D (góc ngồi tam giác) Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H chân A B đường vng góc kẻ từ A đến BD Lấy điểm E DE CK  DH , K CB cho DH CB Chứng minh O H rằng: a ADE#ACK D b AEK #ADC  c AEK 90 Lời giải K E C a Gọi O giao điểm hai đường chéo, có:   AOD BOC cân  D1 C1 Xét AOD BOC có:  B  900 , D  C   ADH #ACB ( gg )  AD  DH (1) H 1 DC CB DE DH AD DE    ADE#ACK (cgc)  ( gt )(2)   , D1 C DC CK Mà CK CB b)  A1  A2  ADE#ACK   AE AD AE AK     AD KC  AK DC           Ta có: DAC  A1  EAC; EAK  A2  EAC  DAC EAK ( A11  A2 ) AE AK   EAK DAC ;   AEK #ADC (cgc ) AD AC AEK ADC , có:   c AEK #ADC  AEK  ADC 90 Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A , AB 1cm , C AC 3cm Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho E AD DE EC a Tính độ dài BD D b Chứng minh: BDE#CDB   c Tính: DEB  DCB B Lời giải a Áp dụng định lí Pytago  BD  2(cm) DB DE  ( )  BDE#CDB(c  g  c) b DC DB        c Từ câu b  DCB DBE  DEB  DCB DEB  DBE  ADB 45 A Bài 10*: Cho tam giác ABC cân A M trung A điểm cạnh đáy BC Một điểm D thay đổi cạnh AB Lấy điểm E cạnh AC cho MB CE  BD Chứng minh: E I D a DBM #MCE 2 H b DME đồng dạng với hai tam giác  c DM phân giác BDE , EM phân giác B M  CED d Khoảng cách từ M đến DE không đổi D thay đổi AB Lời giải a) Ta có: b) #  CE  MB CE MB CE MC       ; B C  # (cgc) BD MB BD MB BD CM BD MB BD    ME DM ME DM  M  B   BM BD   DBM #DME (cgc)  DBM #MCE#DME   Xét DBM DME , có: ME DM     c DBM #DME  D1 D2  DM phân giác BDE  E   EM  DME#MCE  E phân giác DEC d Từ M kẻ MH  AC , MI  DE  Ta có M nằm phân giác CED  MI MH , mà MH không đổi Vậy MI không đổi D thay đổi AB 10 C C Trường hợp đồng dạng thứ (góc.góc) A Định lý: Nếu hai góc tam giác A' hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng Nếu B C C' B' A  A '; B  B  '  ABC #A ' B ' C '  gg  Bài 1: Cho tam giác ABC có AB 6cm, AC 9cm , D A   thuộc AC cho ABD C Tính AD ? D B C Lời giải Xét ABD ACB, có:  A : chung AB BD AD       ABD #  ACB gg ABD  C   AC  CB  AB  AD 4cm  Bài 2: Cho tam giác ABC có AB  AC Đường phân A giác AD Lấy điểm E cạnh AC cho E   CED BAC a Tìm tam giác đồng dạng với ABC b Chứng minh DE DB B Lời giải a) Ta có: ABC#DEC ( gg )  DE DC  (1) AB AC A  A  DC  AC  DC  DB (2) DB AB AC AB b Xét ABC , có: Từ (1)(2)  DE DB   DE DB AB AB (đpcm) 11 D C  BAC  M  BC  Bài 3: Cho ABC có AM phân giác A Kẻ tia Cx thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa 1  BCx  BAC A cho Gọi N giao điểm Cx tia AM Chứng minh: B C M a) BM MC MN MA b) ABM #ANC N c) Tam giác BCN cân Lời giải     BAM #NCM  gg   BM MC MN MA a) Xét BAM NCM , có: BAM MCN ; M1 M  ABM CNM   ABM #ANC  gg  b) Từ câu a  BM MN   BMN #AMC  cgc  c) Từ câu a ta lại có: MA CA 1    NBM CAM  BAC   Có: NBM BCN  đpcm Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD , kẻ DH  AC H Gọi M , N , K trung điểm BC , AH , DH A H b Chứng minh ADN #DCK K D c DN  MN Lời giải a) Ta có KN // MC , KN MC  MNKC hình bình hành b) Ta có N M a Tứ giác MNCK hình gì? ADH #DCH ( gg )  B AD AH  CD DH 12 C  AD AN  1  AN  NH  AH , DK HK  DH   CD DK 2  A D   1 c) Cách 1: Chứng minh H trực tâm tam giác Cách 2:  N  ( slt )  D     C  D   C  N  1   DN  MN   KNM KCM (hbh)  Bài 5: Cho hình bình hành ABCD , qua D kẻ đường N thẳng cắt AC , AB, BC I , M , N Chứng minh rằng: A M B a AID#CIN I b ADM #CND c AM CN  AB AC D d DI IN IM (khó) Lời giải a) ta có: AID#CIN ( gg )     b) ADM #CND( gg )( DAN CND, N D ) c) ICD , có: AM / / CD  AI AM AI AD   (AID#CIN ) IC CD (Hệ TaLet) mà: IC CN AD AM   AM CN  AD.DC  AB.BC Vậy: CN DC d) Xét CIN , có: Xét ADM , có: Từ (3)(4)(5)  AD // CN  AM // DC  ID AD  (3) IN CN IM AM AD AM  (4) ADM #CND   (5) ID CD CN CD Mà ID IM   ID IM IN IN ID 13 C Bài 6: Cho tam giác ABC  AB  AC  , phân giác AM A   Ở miền tam giác vẽ tia Cx cho BCx BAD Gọi N giao điểm Cx AM Chứng minh rằng: M B C a BM MC MN MA b ABM #ACN N c BCN cân d AM  AB AC  MB.MC Lời giải a BAM #NCM ( g  g )  BM MC MN MA   b) Từ câu a  ABM CNM  ABM #ANC ( gg ) c Từ câu a, có:   BM MN   BMN #AMC (cgc) MA CM BM MN 1       BMN #AMC (cgc )  NBM CAM  BAC  NBM BCN MA CM d AMB#ACN ( g  g )  AM AB   AM AN  AB AC (1) AC AN AMB#CMN ( g  g )  AM MB   AM AN MB.MC (2) CM MN Trừ vế (1) (2) ta được: AM ( AN  NM )  AB AC  MB.MC  AM  AB AC  MB.MC Bài 7: [GVG Tỉnh 2016 – 2017] E Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn C B BD Từ C hạ đường vng góc CE, CF lần K lượt xuống tia AB AD Chứng minh rằng: H AB AE  AD.FA  AC A Lời giải 14 D F Kẻ BH  AC H , DK  AC K ABH #ACE ( gg )  AB AE  AC AH (1) ADK #ACF ( gg )  AD AF  AK AC (2) (1)(2)  AB AE  AD.FA  AC ( AH  AK )  AC ( AH  AK ) Bài 8: Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 60 quay quanh điểm M cho cạnh Mx, My cắt cạnh AB, AC a BC I D D E Chứng minh: BD.CE  y A x H 2 K B E M b DM , EM tia phân giác góc  ; CED  BDE c Chu vi tam giác ADE không đổi Lời giải a) Ta chứng minh: BDM #CEM BD CM   C  ;D  1800  60  M  1200  M  ,M  180  M   BDM #CEM ( gg )  B 1 BM CE Có:  BD.CE CM BM  BC b Ta chứng minh BMD#MED  BD MD  BD MD  BDM #CEM     BM ME CM EM B    DME 60 Do:   (do BM CM )  BMD#MED(cgc)  D1 D2   Chứng minh tương tự ta có: E1 E2 c Gọi H , I , K hình chiếu M AB, DE , AC Chứng minh: DH DI ; EI EK 15 C Chu vi ADE  AD  AE  DH  EK  AH  AK 2 AK Bài 9: Cho tam giác ABC d đường thẳng tùy ý A qua B Qua E điểm AC , vẽ đường thẳng song song với AB, BC , cắt d M N Gọi D giao điểm ME BC Đường E N D C B thẳng NE cắt AB MC F K M Chứng minh a AFN #MDC b AN / / MK Lời giải a) Ta có BFED hình bình hành  BF ED, FE BD  BF BD FE.ED(1) BFN #MDB( gg )  NF DM BD.BF (2) AEF #ECD( gg )  AF CD EF ED (3) Từ (1)(2)(3)  NF CD   AF N #MDC  cgc  FA MD   b Ta được: FAN EKC  AN / / MK 16 K F BÀI TẬP TỔNG HỢP  Bài 1: Cho ABC ( A 90 , AB  AC ) Vẽ đường cao F AH ( H  BC ) Lấy điểm D đối xứng với B qua H a Chứng minh ABC#HBA B H b Qua C dựng đường thẳng vng góc với tia AD E cắt AD E Chứng minh AH CD CE AD c Chứng minh HDE#ADC d Cho D AB 6cm, AC 8cm Tính diện tích DEC A e AH cắt CE F Chứng minh tứ giác ABFD hình thoi Lời giải a) Ta có: ABC#HBA( gg ) b) Từ AHD#CDE ( gg )  AH CD CE AD c) HDE#ADC (c  g  c ) S ABC  AB AC 24(cm ) d) BC 10cm; BH 3, 6cm  BD 7, 2cm; DC 2,8cm Ta có: DEC#BAC ( g.g )  S DEC DC 1176 ( )  S DEC  S BAC BC 625   e) Theo ý d có: DEC#BAC  DEC BCA; CH  FA  ACF  HA HF mà BD  FA H  tứ giác hình thoi 17 C Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn Kẻ đường cao A BE CF cắt H E a Chứng minh: AE AC  AB.FA; AEF #ABC K F b Qua B kẻ đường thẳng vng góc với CF cắt tia H AH M , AH cắt BC D Chứng minh BD  AD.DM 45° D B ˆ 450 c Cho ACB kẻ AK vng góc với EF K C M S AFH Tính tỉ số S AKE d Chứng minh AEB#HEC ; AFC #HEC e Chứng minh AB AC BE.CF  AE AF Lời giải a AEB#AFC ( g.g )  AE AC  AF AB  AEF #ABC (cgc) b ADB#BDM ( gg )  BD  AD.DM S  AH  AFH #AKE ( gg )  AFH   S AKE  AE  c 0   Bài cho ACB 45  EAH 45  AEH vuông cân E  AE HE  AH  AE  HE 2 AE  d Ta có: Ta có: AEB#HEC ( gg )  AE  AB AFC#HEC ( gg )  AF  AC S AFH 2 S AKE HE CE ; BE  AB HC HC HE CE ; CF  AC HC HC e Từ ta có: 2 HE CE  AE AF  BE.CF  AB AC  HE  CE   AB AC (dpcm)  HC  AE AF  AB AC ; BE.CF  AB AC   HC HC 18 A AB  AC  Bài 3: Cho tam giác ABC vuông  Kẻ A AH  BC H Gọi E F hình chiếu I H AB AC E a Chứng minh: AH  AE AB N K B H b Chứng minh: AFE#ABC c Lấy M đối xứng với A qua E , tia MH cắt cạnh AC F O M   N Chứng minh ABH  ANH FE / / HN d Gọi O trung điểm BC ; AO giao với HN S KAN K Cho biết ACB 300 Hãy tính tỉ số S HCA Lời giải a Ta có: AEH #AHB  AH  AE AB   b Gọi I giao điểm AH EF AEI cân  AEF EAH     Mà EAH  ACB  AEF  ACB c Ta có EI đường trung bình AMH  (slt )  FE / / HN  ANH  AFE mặt khác ABC  AFE (vi : AFE ABC )  ABH  ANH    d Ta có AOC cân  OAC  ACO 30 (1)  Lại có HAN 60 ANH HAN   )  AKN    ) ( AFI 1800  ( KAN  KNA 900  AK  HN AHN N trung điểm AC  S AHC 2S AHN  AK HN  19 S KAN KN   S HCA HN C Bài 4: Cho hình vng ABCD , lấy điểm E trung E A điểm AB Qua D kẻ đường thẳng vng góc với B CE I cắt BC F a Chứng minh CIF #CBE F I b Chứng minh IC IF ID H c Chứng minh ADI cân D K C d Gọi K trung điểm DC , AK cắt DF H Tính diện tích tứ giác KHCI biết AB 6cm Lời giải      b Từ IFC ICD( phu.ICF ); CIF CID 90  IFC#ICD( gg )  IC IF   IC IF ID ID IC c Gọi AD trung điểm CD  AECK hình bình hành  AK / /CE  HD HI , AK  DI Ta có AHD AHI (cgc)  AD  AI  ADI cân d Tứ giác KHCI hình thang vng có diện tích S KHIC  2 - Ta có KD KC 3cm  AK  DA  DK 3 5(cm) - Xét DAK #HDK ( gg )  DK  AK HK  HK  (cm) Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác, ta có: HI HD  DK  HK  HI  27 (cm)  S  (cm ) 5 20 CI 2 HK  5 ( HK  IC ).IH