Hình thang

HÌNH THANG A Tóm tắt lý thuyết A B Định nghĩa: Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song  ABCD la   ABCD hình thang (đáy AB, CD )  AB / / CD D C H +) AB : Đáy nhỏ +) CD : Đáy nhỏ +) AD, BC : Cạnh bên +) AH : Đường cao Nhận xét: A B - Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên hai cạnh đáy  hình thang ABCD  AB / / CD  có AD / / BC D C Thì  AD BC; AB CD - Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song  hình thang ABCD  AB / / CD  có AB CD  AD / / BC; AD BC Hình thang vng: A B a) Định nghĩa: Hình thang vng hình thang có cạnh bên vng góc với đáy b) Dấu hiệu nhận biết: Hình thang có góc vng hình D C thang vng ABCD hình thang A 900  ABCD hình thang vng B Bài tập dạng tốn Dạng 1: Tính số đo góc, tính độ dài cạnh hình thang Cách giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song tổng bốn góc tứ giác Kết hợp kiến thức tính chất dãy tỉ số nhau, tốn tổng hiệu… để tính số đo góc Bài 1:     Hình thang ABCD  AB / /CD  có A  D 40 ; A 2C Tính góc hình thang Lời giải   1800  A  D  A 1100 C 55       0      D 70  B 125 Ta có: ABCD hình thang  A  D 40 Bài 2:     Hình thang ABCD  AB / /CD  có A  D 20 ; B 2C Tính góc hình thang Lời giải   1800  A  D  A 1000 C 60       0      D 80  B 120 Ta có: ABCD hình thang  A  D 20 Bài 3:  Hình thang ABCD  AB / /CD  có D 60  B    D b) Biết Tính B, C a) Tính A Lời giải 0    a) Ta có ABCD hình thang  A  D 180  A 120  B  4 D  480  C  1320   B D 5 b) Ta có: Bài 4: Cho ABC vuông cân A , BC 20cm Vẽ A E tam giác ACE vuông cân E ( E B khác phía với C ) Chứng minh tứ giác AECB hình thang vng, tính góc B cạnh hình thang Lời giải   Ta có A1 , C1 mà hai góc vị trí so le  AECB hình thang 20 C  Lại có E 90  AECB hình thang vuông +) Đặt AB  AC  x  x 4  x  2cm( pytago) +) Đặt AE EC  y  x 2  y 1cm( pytago) Bài 5: ABCD Hình thang vng có A D  900 , C  450 , biết đường A B cao AD 4cm, AB  CD 10cm Tính độ dài hai đáy AC , BC 45 H D C Lời giải Xét hình thang ABHD , có AD / / BH  AD BH ; AB DH (Hình thang có hai cạnh bên song song) 0   Xét BHC (C 45 )  B 45  BHC cân H  BH CH AB  CD 10  AB  DH  HC 10  DH 3cm  CD 7cm, AB 3cm Áp dụng định lý Pytago ta tính AC BC Bài 6:   Hình thang vng ABCD có A D 90 , A 3cm B  ,C  AB  AD 3cm, DC 6cm Tính B hình thang 3cm D E C Lời giải Kẻ BE  CD AD / / BE vng góc với CD nên hình thang ABED có hai cạnh bên song song Áp dụng nhận xét hình thang có hai cạnh bên song song vào hình thang ABED giả thiết ta AD BE 3cm; DE  AB 3cm , EC DC  DE 6  3cm  Suy BEC vuông cân E nên C 45 Do góc B C hai góc phía AB / / DC nên chúng bù 0 0    Hay B  C 180  B 180  45 135 Bài 7:   Hình thang vng ABCD có A D 90 , A B AB 9cm, AC 17cm Tính độ dài cạnh bên D H C Lời giải 2 Tam giác ADC vuông D , theo định lí pytago ta có: AC  AD  DC  AD  AC  CD 17  152 64 82 Vậy AD 8cm Kẻ BH  CD Hình thang ABHD có AD / / BH , nên: BH  AD 8cm, DH  AB 9cm  HC 15  6cm 2 2 2 Tam giác BHC vuông H , theo định lí pytago ta có: BC BH  HC 8  10 Vậy BC 10cm Bài 8:   Cho hình thang ABCD có A D 90 , A AD 20cm, AC 52cm, BC 29cm Tính độ dài ? B 52 29 20 AB D H C Lời giải Vẽ BH  CD ta được: AB DH ; BH  AD 20 2 2 Xét BHC vng H có: HC BC  BH 29  20 441  HC 21 2 2 Xét ADC vng D có: CD  AC  AD 52  20 2304  CD 48 Do DH CD  HC 48  21 27  AB 27 *) Nhận xét: Bài toán vẽ thêm đường cao BH hình thang Đó cách vẽ hình phụ thường dùng giải tốn hình thang Dạng 2: Dạng tốn chứng minh Cách giải: - Chứng minh tứ giác hình thang, hình thang vng (định nghĩa) - Bất đẳng thức độ dài ( bất đẳng thức tam giác ) - điểm thẳng hàng (Tiên đề Ơclit, cộng góc,….) - Tia phân giác góc Bài 1: Tứ giác ABCD có AB BC AC phân C B giác góc A Chứng minh ABCD hình thang A D Lời giải       Ta có: A1 C1 ; A1  A2  A2 C1  AD / / BC  ABCD hình thang Bài 2: ABCD Cho hình thang , đáy A B AB 40cm, CD 80cm, BC 50cm, AD 30cm Chứng minh ABCD hình thang D vng H Lời giải Gọi H trung điểm CD Ta có DH CH 40cm Xét ABH CBH có:  AB CH 40cm    ABH CHB  slt   ABH CHB  cgc   AH CB 50cm  BH HC  2 2 2 Tam giác ADH có: AD  DH 40  30 50  AH  ADH vng D Vậy hình thang ABCD hình thang vng Bài 3: C Cho hình thang ABCD  AB / /CD  , tia A phân giác góc A , góc D cắt M Thuộc cạnh BC Cho biết AD 7cm Chứng B M minh hai đáy hình thang có đồ dài nhỏ 4cm C D N Lời giải Gọi N giao điểm tia AM tia DC   Ta có AB / /CD  A2  N (so le trong)     Mặt khác A1  A2  A1  N  DAN cân D  DA DN  1   Xét DAN có D1 D2 nên DM đồng thời đường trung tuyến  MA MN Ta có: ABM NCM  gcg   AB CN Lại có: DC  AB DC  CN DN DA 7cm Vậy AB  CD  8cm Vậy hai đáy AB, CD phải có độ dài nhỏ 4cm Bài 4: Cho hình thang ABCD  AB / /CD  , tia phân A E B giác góc C qua trung điểm M AD cắt cạnh AB E Chứng minh rằng: M  a) BMC 90 b) BC  AB  CD D C Lời giải  C  900 ( gt ) C  EBC    C  E ( Slt ) a Ta có  cân B Ta chứng minh ME MC  BM đường trung tuyến ứng với cạnh BC đường cao EAM CDM ( gcg )  EM MC  MB đường trung tuyến ứng với cạnh EC  Lại có EBC cân B  MB đường cao  BMC 90 b) BC BE BA  AE BA  CD (đpcm) Bài 5: Cho hình thang ABCD  AB / /CD  , A B AB  CD  AD Chứng minh phân giác M góc A D cắt trung điểm BC D E C Lời giải Gọi M trung điểm BC , kéo dài AM cắt CD E  AB CE ABM ECM ( gcg )    AB  CD DE  AD  ADE  AM EM cân D Có AM đường    trung tuyến  DM phân giác D  D1 D2 (đpcm) Bài 6: Cho hình thang ABCD  AB / /CD  , A B 1 CD BC  AD Hai đường phân giác hai góc A B cắt K Chứng minh D C , D, K thẳng hàng E C Lời giải Trên CD lấy điểm E cho CE CB  AD ED  CBE cân C  B   E  B  E     B    E1 B2 ( soletrong )    Chứng minh tương tự: A1  A2 E2  EA, EB phân giác góc A góc B  cắt E  BC  E K  D, E , C thẳng  giao điểm hai đường phân giác A B hàng Bài 7: Cho hình thang ABCD  AB / /CD, AB  CD  A E B hai tia phân giác góc B C cắt I I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD E F D C F a Tìm hình thang b Chứng minh tam giác BEI cân E tam giác IFC cân F c Chứng minh: EF BE  CF Lời giải b) Ta có EIB IBC IBE  IBE cân E  Tương tự ta chứng minh  BIC 90 c) EF EI  IF EB  FC (đpcm) Bài 8: Cho hình thang ABCD  AB / /CD  , A CD BC  AD Hai đường phân giác hai góc A B cắt K Chứng minh 2 D C , D, K thẳng hàng B 1 E C Lời giải Trên CD lấy điểm E cho CE CB  AD ED  CBE cân C  B   E 1  B  E     B    E1 B2 ( soletrong )    Chứng minh tương tự: A1  A2 E2  EA, EB phân giác góc A góc B    Giao điểm hai đường phân giác A; B cắt E  BC  E K  D, E , C thẳng hàng Bài 9: Cho hình thang ABCD vng có A B A D  900 , AB  AD 2cm, DC 4cm, BH  CD H a Chứng minh ABD HDB D b Chứng minh BHC vng cân H H C c Tính diện tích hình thang ABCD Lời giải a) ABD HDB(cgc) b) Tam giác vng có hai cạnh góc vng nên tam giác vuông cân c) S ABCD  1  AB  CD  AD     6  cm  2 Bài 10: Cho hình thang ABCD  AB / /CD, AD  BC  , B có đường chéo AC , BD vng góc với N I Trên đáy AD lấy M cho AM C I P độ dài đường trung bình hình A thang Chứng minh tam giác ACM cân M M D L Lời giải Gọi L điểm đối xứng với A qua M Gọi NP đường trung bình hình thang ABCD Gọi I  AC  NP Vì NP / / BC  NI / / BC , mà N trung điểm AB  I trung điểm AC  1  IM / /CL   Xét hình thang ABCD ta có: NP  BC  AD  AM  BC  AD 2 AM  BC  AD  AM  AM  BC  MD  AM ML  BC DL , mà BD  AC  gt   CL  AC  3 Từ  1    3  IM  AC MI đường trung trực đoạn AC Suy MA MC  MAC cân M BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1:     Cho hình thang ABCD  AB / /CD  , biết A 3D; B  C 30 Tính góc hình thang 10 Lời giải 0          Ta có: A  D 180 , mà A 3D  4D 180  D 180 : 45  A  B, C Bài 2: Tính góc hình thang ABCD  AB / /CD  A 1 D  ;B  C  500 , biết rằng: Lời giải     Ta tính A 45 ; B 115 ; C 65 ; D 135 Bài 3:     Cho hình thang ABCD  AB / /CD  , biết A 3D; B C; AB 3cm, CD 4cm Tính đường cao AH hình thang diện tích hình thang Lời giải     a tính A 135 ; B 90 ; C 90 ; D 45  BC  DC Vận dụng nhận xét hình thang ABCH  AB / / CH  có hai cạnh bên song song hai cạnh đáy nhau, để tính CH 3cm từ suy DH 1cm Chứng minh tam giác AHD vuông cân H nên AH 1cm  AABCD 3,5(cm ) Bài 4: Cho hình thang ABCD , biết CD  AD  BC A Gọi K điểm thuộc đáy CD cho B 2 KD  AD Chứng minh rằng: a AK tia phân giác A D b KC BC c BK tia phân giác B Lời giải    a) ADK cân  A1  A2 K1  AK phân giác A  KD  KC DC  CK BC  b)  BC  KD DC 11 K C    c) B1 B2 K  BK phân giác B 12