Hình thang cân

HÌNH THANG CÂN A Tóm tắt lý thuyết A B Định nghĩa Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy  AB / /CD    ABCD hình thang cân (đáy AB, CD ) C D D C A B  AB / /CD    Hoặc  A B Tính chất: a) Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên GT D C ABCD hình thang cân (đáy AB, CD ) KL AD BC b) Định lí 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo GT ABCD hình thang cân (đáy AB, CD ) KL AC BD Dấu hiệu nhận biết hình thang cân Để chứng minh hình thang hình thang cân ta phải chứng minh hình thang có tính chất sau a) Hai góc đáy b) Hai đường chéo Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên chưa hình thang cân (hình bình hành) B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình thang cân Cách giải: Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình thang cân Bài 1: Cho tam giác ABC cân A có BD CE A hai đường trung tuyến tam giác Chứng minh tứ giác BCDE hình thang D E cân B C Lời giải Xét ABC có DE đường trung bình tam giác  DE / / BC  BCDE hình thang   Lại có B C ( gt )  BCDE hình thang cân (dấu hiệu nhận biết) Bài 2: ABC CK Cho tam giác cân A có BH A hai đường cao tam giác Chứng minh BCHK hình thang cân K H B C Lời giải Chứng minh BKC CHB(ch  gn)  CK BH ; AK  AH  1800  KHA   AHK   ABC  HK / / BC Bài 3: Cho tam giác ABC cân A , điểm I thuộc A đường cao AH , BI giao với AC D , CI giao với AB E E D a Chứng minh AD  AE I b Xác định dạng tứ giác BDEC C c Xác định vị trí điểm I cho BE ED DC Lời giải H B   a AIC AIB (cgc)  C1 B1  ACE ABD( gcg )  AE  AD b Ta có AED, ABC cân A , có chung A 1800  A  DE / / BC  ADE AED  ABC  ACB     BDEC  C   B hình thang cân (đpcm)   c Ta có: DE / / BC  B2 D2     B D2  B     B   B  D   2 Để BE ED tam giác BED cân E     Tương tự ta phải có C1 C2 Vậy CE BD phân giác B, C Vậy I giao điểm đường phân giác Bài 4: Cho tam giác ABC đều, M điểm nằm A tam giác Qua M kẻ đường thẳng 60° song song với AC cắt BC D , kẻ E đường thẳng song song với AB cắt cắt AC E , kẻ đường thẳng song song với BC F cắt AB F Chứng minh 60° B a Tứ giác BFMD, CDME , AEMF hình thang cân    b DME , EMF , DMF Lời giải a) Chứng minh hình thang có hai góc kề đáy    b) Ta có: DME , EMF , DMF 120 Bài 5: 3 M 60° D C Cho hình thang cân ABCD  AB / /CD  có A B AC BD Qua B kẻ đường thẳng song song với AC , cắt đường thẳng DC E Chứng minh rằng: a) BDE tam giác cân 1 D b) ACD BDC C E c) Hình thang ABCD hình thang cân Lời giải a) Áp dụng nhận xét hình thang có hai cạnh bên song song giả thiết vào hình thang ABEC , ta thu được: BE  AC , BD  AC  BD BE BDE có hai cạnh nên cân B b) Áp dụng tính chất góc vào tam giác cân BDE tính chất góc đồng vị AC / / BE ,  E   D  C   1  D  1   C1 E   ta được: Lại có AC BD (giả thiết) (2) CD DC  3 Từ  1    3  ACD BDC  cgc  c) Hình thang ABCD có hai đường chéo nên hình thang cân Bài 6: Hình thang cân ABCD  AB / /CD, AB  CD  , O AD cắt BC O a) Chứng minh OAB cân I A B b) Gọi I , J trung điểm AB CD Chứng minh ba điểm I , J , O thẳng N M hàng c) Qua điểm M thuộc cạnh AC , vẽ đường D thẳng song song với CD , cắt BD N Chứng minh MNAB, MNDC hình C thang cân Lời giải   a) Vì ABCD hình thang cân nên C D  OCD cân     Ta có: OAB D C OBA (hai góc đồng vị)  OAB cân O b) OI trung tuyến tam giác OAB nên OI đường cao tam giác OAB  OI  AB Mà AB / /CD  OI  CD Tam giác OCD cân O có OI  CD nên OI cắt CD trung điểm J CD Vậy ba điểm O, I , J thẳng hàng c) Xét ACD BDC có: AC BD (hai đường chéo hình thang cân); AD BC (hai cạnh bên hình thang cân); CD DC     Do ACD BDC  ccc   ACD BDC hay MCD NDC   Hình thang MNDC có MCD NDC nên MNDC hình thang cân  MC  ND  AC  MC BD  ND  AM BN Hình thang MNAB có hai đường chéo AM BN nên MNAB hình thang cân Bài 7:   Tứ giác ABCD , có B 105 , D 75 H AB BC CD B a) AC tia phân giác góc A C b) ABCD hình thang cân A K D Lời giải  Kẻ CH  AB, CK  AD ( H thuộc tia đối tia BA BAC  90 , K thuộc cạnh AD   900 D ) CBH CDK (cạnh huyền – góc nhọn) nên CH CK Vậy AC tia phân giác góc A   A  A  BC / / AD C 1 0   Ta lại có: A 180  105 75 D  ABCD hình thang cân Dạng 2: Tính số đo góc, độ dài diện tích hình thang cân Cách giải: Sử dụng tính chất hình thang cân cạnh, góc, đường chéo cơng thức tính diện tích hình thang để tính tốn Bài 1: Cho hình thang cân ABCD  AB / /CD  có A B A 2C  Tính góc hình thang cân D C Lời giải          Vì ABCD hình thang cân nên: A  D 180 ; A 2C 2C  C D 60 ; A B 120 Bài 2: Cho hình thang cân ABCD  AB / /CD  có A B A 3D  Tính góc hình thang cân D C Lời giải         Vì ABCD hình thang cân nên A  D 180 ; A 3D  C D 45 ; A B 135 Bài 3: Cho hình thang cân ABCD  AB / / CD  có AH A B H K BK hai đường cao hình thang a Chứng minh: DH  CD  AB D b Biết AB 6cm, AD 5cm, CD 14cm , tính AH , DH diện tích hình thang cân ABCD Lời giải a Ta có ADH BCK (ch  gn)  DH CK Hình thang ABKH  AB / / HK  , có AH / / BK  AB HK C Vậy DH  CD  AB b) Tính DH 4cm, AH 3cm, S ABCD 30  cm  Bài 4: Cho hình thang cân ABCD  AB / /CD  có A B  600 ; AB 4, 5cm; AD BC 2cm D C K H Tính độ dài đáy CD diện tích hình thang cân A ABCD B Lời giải Hạ CH DK vng góc với AB AK BH  AD 1cm  CD 2,5cm; CH  3cm Ta có: S ABCD   AB  CD  CH   cm2  Bài 5: Cho hình thang cân ABCD  AB / /CD  có A AD  AB AC CD Tính góc hình thang cân B D Lời giải   A1 C  C  B  C   A  C   Ta có ABC cân   Tương tự ta chứng minh được: D  A2    A  C  1800  D  C  1800  D   C 1800  D   D 1800  D  360 D 2 2 Có: Bài 6: C Cho hình thang cân ABCD  AB / /CD  đáy lớn CD 2, 7cm Cạnh bên dài A B 1cm , ADC 600 , Kẻ AE / / BC Tính độ dài AB 60° D 60° E C Lời giải  AE BC AE / / BC    AED  AB EC Kẻ tam giác  DE DA 1cm  EC  AB 1,7cm Bài 7: Cho hình thang cân ABCD có tổng hai góc D A B nửa tổng hai góc C D Đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC A a Tính góc hình thang M C B  b Chứng minh AC phân giác DAB c Tính chu vi hình thang, biết CD 6cm Lời giải A B  ;C  D  ; A  B  1 C  D   A D   1 a) Ta có:   0           Mà A  B  C  D 360  A 2 D 360    A B 60 ; C D 120 0 0    b)  C1 120  90 30  A1  A2 30   Tia AC nằm AB AD A1  A2 30  đpcm MBC : cân CM / / AD  CM  AD CB    MBC  600 B   c Kẻ ADC cân D  AD DC 6cm CB MB 6cm +) AD / / CM  CD  AM 6cm Chu vi hình thang ABCD là:    12 30  cm  Dạng 3: Chứng minh cạnh nhau, góc hình thang cân Cách giải: - Dựa vào tam giác suy cạnh tương ứng góc tương ứng - Dựa vào góc so le nhau, góc đồng vị Bài 1: Hình thang cân ABCD  AB / / CD   , có C 60 A B DB tia phân giác góc D , AB 4cm a) Chứnh minh BD vuông góc với BC b) Tính chu vi hình thang D C Lời giải 0     Ta có: D C 60  D1 30  CBD 90 Tính AD 4cm, BC 4cm, CD 8cm Chu vi hình thang ABCD 20cm Bài 2: Cho hình thang cân ABCD  AB / / CD  với O AB  CD Gọi O giao điểm AD BC , gọi E giao điểm AC BD Chứng minh A a Tam giác OAB cân O B E b ABD BAC c EC ED B d OE đường trung trực chung AB CD Lời giải   a Ta có OAB OBA  OAB cân O     c ADB BCA  EDC ECD  ECD cân E d Ta có OA OB, EA EB  OE đường trung trực chung AB C Tương tự ta có: OE đường trung trực chung CD Bài 3: Cho hình thang ABCD  AB / / CD  , A B 21 CD BC  AD Hai đường phân giác hai góc A B cắt K Chứng minh C , D, K thẳng hàng D C E Lời giải Trên CD lấy điểm E cho CB CE  AD ED  CBE cân C     E B1  B  E     B     E2 B2 ( soletrong )    Chứng minh tương tự: A1  A2 E2  EA, EB phân giác góc A góc B    giao điểm hai đường phân giác A, B cắt E  BC  E K  D, E , C thẳng hàng Bài 4: A Cho tam giác ABC cân A điểm M tùy ý nằm tam giác Kẻ tia Mx song song với BC cắt AB D , tia My song D M song với AC cắt BC E Chứng minh B A  DME 900  rằng: E Lời giải A      MD / / BC  DME  MEB 180  DME 1800  MEB 180  ACB 90  Do Bài 5: 10 C Cho hình thang cân ABCD  AB / / CD  A , AB BC BC  BD B O a) Chứng minh AC  AD b) Tính số đo góc hình thang D c) Gọi O giao điểm hai đườn chéo H C Chứng minh điểm O cách hai cạnh bên đáy lớn Lời giải   a) Ta có: CAD DBC  CAD DBC 90  AC  AD    b) Dùng góc A1 trung gian để chứng minh C1 C2     Chứng minh tương tự ta được: D1 D2 Ta cịn có C1 D1 Xét BDC vng B ta có:  C  C  900  3D  900  D  300  ADC     D BCD 60 ; DAB CBA 1200 1 1 c) Vẽ OH  CD  OA OH ; OB OH (tính chất điểm nằm tia phân giác góc) Suy OA OB OH Vậy điểm O cách hai cạnh bên đáy lớn 11 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB A B cạnh bên BC Chứng minh CA tia phân  giác BCD D C Lời giải     Chứng minh được: ACB CAB DCA  CA phân giác BCD Bài 2: Cho hình thang cân ABCD  AB / / CD  có E A E B F trung điểm hai đáy AB CD Chứng minh EF  AB D F C Lời giải Gọi O giao điểm AC BD - Chứng minh OE  AB - Tương tự, có OF  CD  OF  AB  EF  AB Bài 3: Cho hình thang cân ABCD  AB / / CD  có hai A B đường chéo vng góc với Chứng minh chiều cao hình thang cân nửa tổng hai cạnh đáy D C Lời giải Xét hình thang ABCD có đường cao AH BK Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD E  AB ED  Chứng minh ACH 45 12 Do tam giác ACE vuông cân A nên: AH CH EH  AB  CD Bài 4: Cho hình thang cân ABCD  AB / /CD  có A B đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC đồng thời DB tia phân giác D ACD K C a Tính góc hình thang cân ABCD b Biết BC 6cm , tính chu vi diện tích hình thang cân ABCD Lời giải 0        a) DBC ( B 90 ) có BCD 2 BDC  ADC BCD 60 ; DAB CBA 120 b) Tính được: DC 2 BC; PABCD 30cm Hạ đường cao BK , ta có BK 3 3cm  S ABCD 27 3(cm ) Bài 5: Cho tam giác ABC Từ điểm M nằm A bên tam giác ta vẽ tia gốc M song F song với BC cắt AB D , song song với AC cắt BC E , song song với AB cắt AC F Chứng minh chu vi tam D M giác DEF tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh tam giác B E Lời giải Chu vi tam giác ABC là: DE  DF  EF Khoảng cách từ M đến đỉnh là: MA  MB  MC Ta cần chứng minh: DE DF  EF MA  MB  MC    +) Ta có hình thang BDME hình thang cân ( MD / / BE , B E C 60 )  DE MB 13 C Chứng minh tương tự ta có: DF MA, EF MC  DE  DF  EF MA  MB  MC (đpcm) 14