Dạng toán 43 phương trình logari chưa tham so

GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA DẠNG TỐN 43: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CĨ CHỨA THAM SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Thường sử dụng phương pháp sau: Phương pháp đưa số Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp hàm số KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  log a  b.c  log a b  log a c với b, c  0;0  a 1  log a x   log a x   với  0;0  a 1  Nếu a  với x1 , x2  : x1  x2  log a x1  log a x2 Nếu  a  với x1 , x2  : x1  x2  log a x1  log a x2  f  x   log a f  x  log a g  x      a 1 f x  g x         log a f  x  b  f  x  a b   a 1  Phương trình bậc hai có hai nghiệm âm phân biệt  Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương      S  P     0   S  P    Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu  P  Trang1 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA BÀI TẬP MẪU log  x    m   log x  m  0 m Cho phương trình ( tham số thực) Tập hợp tất giá trị 2 m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [1; 2]  1;   1; 2  1;  A B C D  2;  Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm điều kiện tham số để phương trình logarit có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước HƯỚNG GIẢI: B1: Viết lại phương trình logarit dạng phương trình bậc hai biểu thức logarit B2: Đặt ẩn phụ biểu thức logarit tìm điều kiện cho ẩn phụ B2: Tìm điều kiện cho phương trình ẩn phụ Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn C Điều kiện : x > Ta có : Đặt log 22  x    m   log x  m  0    log x    m   log x  m  0  1 t log x , với x   1; 2 t   0;1 , ta có phương trình: 1 t   t 1   m   t  m  0  t  mt  m  0    2  t m  Nhận thấy với số thực t   0;1 cho ta số thực x   1; 2 , u cầu tốn   2 có  m 2 m  1    m  m    0;1 m  1 0;1] [    nghiệm phân biệt thuộc Vậy m  Chú ý: Đối với phương trình bậc hai chứa tham số,  có dạng phương nên tìm cụ thể hai nghiệm phương trình Bài tập tương tự phát triển: Câu 43.1: Cho phương trình log 32 x  3m log  x   m2  2m  0 m ( tham số thực) Gọi S tập  1;3 Số phần hợp tất số thực m mà phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn tử tập S A B C D Lời giải Chọn B Trang2 GV: LÊ QUANG XE Điều kiện: x 0 Phương trình Đặt 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA : log 32 x  3m log  3x   2m  2m  0  log 32 x  3m log x  2m  m  0 t log x , với x   1;3 t   0;1 , ta có phương trình  t  m  t  3mt  2m  m  0    t  2m   0;1 Khi u cầu tốn  phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  m  0  m  1     0  2m  1  0 m   m   2m    m   (Hệ vơ nghiệm) Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 43.2: Cho phương trình log  x    m   log x  3m  10 0 (với m tham số thực) Số giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc  A B C D 1;81 Lời giải Chọn C Ta có: Đặt log  x    m   log x  3m  10 0 t log x x   1;81  t   0; 4  t 3  t   m  1 t  3m  0  t m  Khi phương trình cho trở thành: 0 m  4   ycbt  m  3 2 m 6  m 5 Vậy có số nguyên m thoả ycbt Câu 43.3: Cho phương trình 4log3 x + (m - 3)log3 x + - m = ( m tham số thực ) Có giá  1;9 ? trị nguyên m để phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn A B C D Lời giải Chọn B 1  log 32 x  (m  3) log x   m 0   log x   ( m  3) log x   m 0 2  Ta có Trang3 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA x 3   log x 1  log x  ( m  3) log x   m 0     log x 2  m  log x 2  m  1 Phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn  1;9 ( ) có 0 2  m 2 0 m 2    1;9 \  3 tức   m 1  m 1 nghiệm thuộc đoạn Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn toán log32 3x  log3 x  m  0 có Câu 43.4: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình nghiệm phân biệt thuộc khoảng  0;1 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình log32 3x  log3 x  m  0 có nghiệm phân biệt thuộc khoảng  0;1 9 0m 0m m m 4 4 A B C D Lời giải Chọn B log 32 3x  log x  m  0  log 32 x  3log x  m 0  1 Ta có Đặt t log3 x với x   0;1 t  , ta có phương trình t  3t  m 0   x   0;1 Nhận thấy với số thực t  cho ta số thực , u cầu tốn  Phương trình   có hai nghiệm âm phân biệt Câu 43.5: Cho phương trình  log3 x       S   P   3m log (3 x) 2m  2m  10 32  4m    3 0  0m    m  Gọi S tập tất số tự nhiên 10 x x  m mà phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn Tính tổng phần tử S A B C D 10 Lời giải Chọn B Với m   PT   log x  3m  1log x  2m  m 10 Đặt t log x  x 3t Trang4 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA  t   m   t 1  2m Ta phương trình: t 3mt  2m m  10 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt  2m   m  m 2 10 10 x1  x2   31 m  3 1 m   9.3 m  3 m  10 0 3 Khi  3 m 1   m 0  m 0 Câu 43.6: Tìm tất giá trị tham số thực m để phương trình  0;1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng 1 m  0m 4 A B C m  log x   log x  m 0 D  có hai m0 Lời giải Chọn A Ta có  log x  2  log x  m 0   log x   log x  m  1 x   0;1 t  t  m  * t  log x t  Đặt với , ta có phương trình f '  t  2t  1; f '  t  0  t  f  t  t  t  t    ;0   Xét Có Bảng biến thiên x   0;1 Nhận thấy với số thực t  cho ta số thực , u cầu tốn  có hai nghiệm phân biệt Dựa vào bảng biến thiên suy   * 1  m0 0m 4 log 22  x   2log x  m  0 Câu 43.7: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có 1   ;16  nghiệm, có nghiệm thuộc đoạn ? 10 A B C D Lời giải Chọn D Điều kiện: x  Khi phương trình cho tương đương với Trang5 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA   log x  t log x , với Đặt  4log x  m  0  log 22 x  log x m 1  x   ;16    cho giá trị t    1; 4 Khi ta phương trình t  2t m Xét hàm số Ta có f  t  t  2t đoạn   1; 4 f  t  2t  f  t  0  t 1 Bảng biến thiên , f  t Từ bảng biến thiên suy m    1   3;8 thỏa mãn yêu cầu toán Vậy có tất giá trị nguyên m thỏa mãn u cầu tốn Câu 43.8: Tìm m để phương trình :  m  1 log 21  x     m   log 2  4m  0 x có nghiệm thuộc 5   ,  đoạn A m   B  m  C m  D 3m Lời giải Chọn D Điều kiện: x  Khi phương trình cho tương đương với   m  1   log  x      m   log  x    4m  0   m  1 log 22  x     m   log  x    4m  0   m  1 log 22  x     m   log  x    m  0 (1) 5  x   ;   t    1;1 t log  x   2  Đặt Vì  m  1 t   m   t  m  0 Phương trình (1) trở thành t  5t   m  2 t  t 1 Trang6 GV: LÊ QUANG XE Xét hàm số 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA f  t  f ' t   t  5t  t  t  , t    1;1  4t  t Ta có Bảng biến thiên  t  1  t 2 0    t  5  x   ; 4    phương trình (2) có nghiệm t    1;1 Phương trình cho có nghiệm Từ bảng biến thiên suy  m  log  mx  2 log  x  1 Câu 43.9: Tất giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt A m 4 B m  C m  m 4 D m  m  Lời giải Chọn B  x    x 1  log  mx  2 log  x 1   (*)   mx  x  x  mx  x       Ta có Ta thấy x 0 không nghiệm (*) x    (*)   m  x   x Với x 0 : Xét hàm số Ta có f  x  x   f  x  1  x với x    1;  \  0 x2   x2 x ; f  x  0  x 1 (do x    1;  \  0 ) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên suy m  giá trị cần tìm Trang7 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA ln  x  1  8ln  x  1  m 0 Câu 43.10: Cho phương trình (với m tham số thực) Có giá trị ngun m để phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt A B 15 C 16 D 17 Lời giải Chọn B t ln  x  1 Đặt t  8t m  * (vì x  1 nên t 0 ), ta có phương trình t Nhận thấy: t 0 ta có giá trị x 0 Nếu t  x  e  Xét hàm số f  t  t  8t với t 0 Ta có bảng biến thiên :   * có hai nghiệm dương phân biệt   16  m  u cầu tốn Vậy có 15 giá trị nguyên m thỏa mãn đề Câu 43.11: Cho phương trình log 22 x  log x  m  log x  3 với m tham số thực Tìm tất  16;  giá trị m để phương trình có nghiệm thuộc m  A  m 2 B  m  C D m  Lời giải Chọn B t log x với x   16;   t 4 , ta có phương trình t  2t  m  t  3  *  t  2t   , t 4  t     m  - Với phương trình vơ nghiệm, Đặt - Với 2 m   *  t  2t  m  t  3    m  t   3m  1 t    3m  0  1 m 1  t 3 : không thỏa mãn + Nếu  t 3  loai   1    3m2  t   m2 m 1 Nếu +  3m   4   m   thỏa   m2 Do để phương trình cho có nghiệm Câu 43.12: Cho phương trình log 32 x  log x  m  log x  1 với m tham số thực Tìm tất  27;  giá trị m để phương trình có nghiệm thuộc A  m  B  m 2 C m 1 D m  Trang8 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Lời giải Chọn D Đặt t  4t  m  t  1  * t log x với x   27;   t 3 , ta có phương trình  t   Điều kiện xác định:  t 5  t  4t  0 , t 5  t     m  - Với phương trình vơ nghiệm,  *  - Với m 0  t  (loaïi) t  4t  0   t 5 (thỏa mãn) 2     2 2 2 m   *  t  4t  m  t  1   m t  2m  t   m 0  ** - Với m 1  t  : không thỏa mãn + Nếu  t  (loaïi)   t m  2   t  1    m  t  m  5 0    m2 m 1 (**) Nếu + m2  6m  5  0    m  1  m2  m2 Do để phương trình cho có nghiệm , kết hợp m  suy  m  Vậy với m  phương trình cho có nghiệm thuộc [27;  ) 2 log cos x  m log cos x  m  0 Câu 43.13: Tìm tất giá trị thực m để phương trình vơ nghiệm A m  2;  B  m   2;  C  m   2;  D  m   2;  Lời giải Chọn C Ta có: Đặt log cos x  m log cos x  m  0  log cos x  2m log cos x  m  0 log cos x t Do (*) cos x 1  t 0 2 Khi phương trình (*) trở thành: t  2mt  m  0 (1) Phương trình (*) vơ nghiệm phương trình (1) vơ nghiệm có nghiệm dương Điều xảy Trang9 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA  m    m        m2    m2   0       2m   0   0    t1  t2     m 4 0  t t      Câu 43.14: Cho hàm số  2m     2m  0    2m      m     m     m       m    m2 3log 27  x   m  3 x   m   log x  x   3m 0   Số giá trị x  x  15 x ,x nguyên m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn là: A 14 B 11 C 12 D 13 Lời giải Chọn D Ta có: 3log 27  x   m  3 x   m   log x  x   3m 0     log  x   m  3 x   m  log x  x   3m   x  x   3m   2 2 x   m  3 x   m x  x   3m  x  x   3m   *   x   m   x  2m 0  1  x  x   3m   *    x m    x 2 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm m  m   3m    22    3m   m 2  phân biệt thỏa mãn (*)  m  4m    m  2    3m  Theo giả thiết x1  x2  15   x1  x2   x1 x2  225  m  4m  221    13  m  17 Do  13  m   Vậy số giá trị nguyên m thỏa mãn 13 log x  log  x  1  log m 3 Câu 43.15: Cho phương trình ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm? A B C Vô số D Lời giải ChọnA Trang10 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Từ đồ thị suy  2m 3   2m 2   2m 1 I có nghiệm phân biệt   3 Vậy tổng giá trị m Câu 43.18: Cho phương trình m    15;15  3x  m log  x  m    m 2   m 1  m   với m tham số Có giá trị nguyên để phương trình cho có nghiệm? B 16 A 15 C Lời giải D 14 Chọn D Đặt log ( x  m) a  x  m 3a Ta có: 3x  m log  x  m   3x  x log ( x  m)  x  m  3x  x 3a  a (*) t t f t Xét hàm số f (t ) 3  t , với t   Có f' (t ) 3 ln   0, t   nên hàm số   đồng f ( x)  f  a   x a  x log ( x  m)  3x  x  m biến tập xác định Do (*)   3x  x  m    x log   g  x  3  x  ln  , với x   Có g' ( x ) 3 ln  , g' ( x) 0 x Xét hàm số x Ta có bảng biến thiên Trang13 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị tham số để phương trình có nghiệm     g  log     ln    Vậy số giá trị nguyên m    15;15 để phương trình cho  có nghiệm 14  m    ;   ln m  ln  m  sin x   sin x Tìm tất giá trị m để phương trình  có nghiệm 1 m    m e  e A e B m e  C D m  e  Câu 43.19: Lời giải Chọn B Đặt u ln  m  sin x  u ln  m  sin x    ln  m  u  sin x   ta hệ phương trình: Từ hệ phương trình ta suy ra: Xét hàm số Do f  t  et  t eu  u esin x  sin x  * f '  t  et   0, t    Hàm số f  t đồng biến   *  f  u   f  sin x   u sin x Khi ta được: Đặt có u e m  sin x  sin x e m  u ln  m  sin x  sin x  esin x  sin x m  ** a sin x, a    1;1 Xét hàm số Hàm số Phương trình g  a  e a  a g  a  e a  a  ** trở thành: ea  a m  **   1;1 liên tục   1;1 có max g  a  g  1 e  1, g  a   g   1   1;1   1;1  ** có nghiệm  m e  Hệ phương trình ban đầu có nghiệm  phương trình Câu 43.20: Cho phương trình m ln  x  1   x   m  ln  x  1  x  0  1 Tập tất giá trị  x1    x2 tham số m để phương trình   có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn  a;  Khi a thuộc khoảng khoảng  3, 7;3,8  3, 6;3,  A B C  3,8;3,9  D  3,5;3,  Lời giải Chọn A x   ln  x  1  Theo đề ta chọn điều kiện x TH1: m 0   1  ln  x  1   L  Trang14 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA  ln  x  1   L  m 0   1    ln  x  1  x   ln  x  1   m x2 m TH2: Xét hàm số Ta có: ln  x  1 x  với x  f  x  f '  x  0  x2  ln  x  1 0 x 1 1 x2 g ' x    0, x    g  x   ln  x  1 x  x    x 1 Xét hàm số có  Hàm số y  g  x  nghịch biến  0;   g  x  0 có nhiều nghiệm  0;    Mặt khác: Suy Từ 4   g   g  3   ln    ln   y g  x  0;   3   hàm số liên tục  g  x  0 có nghiệm x0   2;3  3   ;  3 suy g  x  0 có nghiệm  f '  x  0 có nghiệm x0   2;3 x0   2;3 Bảng biến thiên 0   x1    x2 m Để   có nghiệm thỏa mãn  a ln  m ln 3, 728 ln log 92  x    2m  3 log x  2m  0 Giá trị thực tham số m để phương trình có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 12 thuộc khoảng sau đây? Câu 43.21: A B C D Trang15 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Lời giải Chọn B Điều kiện x  Ta có pt    log x    2m  3 log x  2m  0  log x 1  log 32 x  (2m  1) log x  2m 0     log x 2m  x 3  2m  x 3 2m Theo đề, ta có: x1  x2 12   12  m 1 2 2 x  x m  3x  x 2  3x  x m Có giá trị nguyên tham số Câu 43.22: Phương trình m  [ 2018; 2018] để phương trình cho có nghiệm phân biệt ? A 2019 B 2018 C 2020 D 2021 Lời giải Chọn C 2x Ta có:  3x x  xm (3x  3x  xm  x 2  9) 3x  3x  x m  x m  32 x   (3x x  x m  3x  1)(3x 2  x 2  xm 3x  x m   9) 0  x 1   x 0  x  x  m  0 (2)   có hai nghiệm phân biệt Để phương trình đầu có nghiệm phân biệt phương trình x 1, x 0  x  x 1    3x  x m 9   '    m 2   m 3   x  x 0   x  x  m   3  m    m 2   m 3  m   m 2  m  m 3  Khi m  [  2018; 2018] Vì m   nên có 2020 giá trị m cần tìm Câu 43.23: Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình hai nghiệm thuộc A 0m 4(log x )  log x  m 0 có  0;1 1 m B  1 m  C Lời giải D 0m Chọn D Pt: 4(log x )  log x  m 0  log x  log x  m (1) Trang16 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA x   0;1 Đặt t log x , ta phương trình t  t  m với t  (  ; 0) x   0;1 Để phương trình (1) có hai nghiệm phương trình t  t  m có hai nghiệm t  ( ; 0)   ;0  Xét hàm số y t  t t - -∞ +∞ +∞ y +∞ -   1  m0 0m 4 log x  ( m  1) log x   m 0 có hai Câu 43.24: Điều kiện cần đủ tham số m để phương trình nghiệm phân biệt thuộc  1; 25 A  m 4 10 m  B 10  m 4 C 10 3m  D Lời giải Chọn D Pt: log x  ( m  1) log x   m 0 (1) t   0; 2 x   1; 25 Đặt t log x , với Ta phương trình t  (m  1)t   m 0  m  Để phương trình (1) có hai nghiệm x   1; 25 t2 t  t 1 phương trình  *  * có hai nghiệm t   0; 2 t2 t  t   0; 2 Xét hàm số  t  t  2t  y'  0   (t  1)  t 1 Ta có y Trang17 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA BBT t -∞ y' y -3 + -1 - - 0 +∞ + +∞ +∞ 10 -∞ -∞ 10  3m Câu 43.25: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 27 A m  B m  C m 1 log 32 x   m   log x  3m  0 D m 2 Lời giải Chọn C Điều kiện x  Đặt t log x , ta có phương trình t  (m  2)t  3m  0 GS : t1 log3 x1 , t2 log3 x2  t1  t2 log3 x1  log x2 log x1 x2 3 Vậy để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề      t1  t2 3  m  8m    m 1   m  3 3x Câu 43.26: Tổng tất giá trị m để phương trình ba nghiệm phân biệt A B 2  x 1 log ( x   x) 9 x  m log (2 x  m  2) C có D Lời giải Chọn D Ta có 3x  x 1 log3 ( x   x) 9 x  m log (2 x  m  2)  1 2  3 x  1 log   x  1  2 32 x  m log  x  m       t f  t  3 log  t   , t 0 Xét hàm số f  t   0, t 0   0;  Vì hàm số đồng biến Trang18 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 2 f   x  1   f  x  m    x  1 2 x  m   Khi  x  x   2m 0  3   4  x 2m   1 có ba nghiệm phân biệt xảy trường hợp sau: Phương trình  3 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt PT   +) PT  m , thay vào PT   thỏa mãn  2  +) PT  4 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt PT  3 , thay vào PT  3 thỏa mãn   có hai nghiệm phân biệt PT  3 có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm +) PT hai PT trùng  m     x  2m  ,với 2 Thay vào PT  3 tìm m 1 1  m   ;1;  2 2 KL:  m Cách 2: Xem phương trình (3) (4) hai đường cong Ta tìm điểm chung hai đường cong  x 1  x  x   2m 0   x 2m  m 1 Ta giải hệ:  Như với m 1 (3) (4) có nghiệm chung x 1  1;3 Vậy ta nhận m 1 Thay m 1 vào vào phương trình ta nghiệm Xét m 1 , phương trình có nghiệm (3) có nghiệm phân biệt (4) có nghiệm kép ngược lại Như ta có:   3  2m    m  m        3  2m 0  m 3     2m   1   ;1;  m Từ ta có giá trị tham số  2  x m log  x  1 m Câu 43.27: Tìm tất giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt A   m 0 B m   C Không tồn m D   m  Lời giải Chọn B  x 1    x    Điều kiện: x     x 0 Trang19 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA Xét hàm số 3 ; f  x  1   0, x    1;0    :   log  x  1  x  1 ln 2.log 22  x 1 Bảng biến thiên f  x  x  x Từ bảng biến thiên suy phương trình m   m log  x  1 có hai nghiệm phân biệt x Câu 43.28: Có giá trị thực tham số m để phương trình m.5 nghiệm thực phân biệt A B C  x 2  54 x 56 x  m có D Lời giải Chọn A 5 x  x 2 u  u.v 56 x  4 x2 v 5 Đặt Khi phương trình trở thành mu  v uv  m  m  u  1  v  u  1 0  x  x2 1  u 1   u  1  m  v  0     52 x2 m  v m  x 1  x  x  0     x 2   x log m  x 4  log m  Để phương trình có ba nghiệm thì: +) TH1: x 4  log m có nghiệm kép Tức  log m 0  m 525 +) TH2: x 4  log m có nghiệm Tức  log m 1  m 75 +) TH3: x 4  log m có nghiệm Tức  log m 4  m 1 Vậy có giá trị m cần tìm Câu 43.29: Với giá trị tham số m phương trình nghiệm trái dấu? A   m    m  1 x   2m  3 3x  6m  0  1 m  B Không tồn m C Lời giải D  1 m   có hai Trang20