Chuyên đề 10 thể tích khối chóp đáp án

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP TÍCH KHỐI CHĨPI CHĨP Chun đề 10 DẠNG CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI LNG TR 1 Vchóp = ìS y chiều cao = ìS áy d ( ỉnh; mặt phẳng đáy) 3 Th tớch chúp Th tớch lng tr g Th Vlăng trụ = Sđ ¸y chiỊu cao tích khối lập phương V = a g Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc a c b Tỉ số thể tích g Cho a S khối chóp S.ABC , đoạn thẳng SA, SB, SC A¢ lấy điểm A ¢, B ¢, C ¢ khác S Khi ta ln có tỉ số thể tích: VS.A ¢B ¢C ¢ SA ¢ SB ¢ SC ¢ = × × × VS.ABC SA SB SC g Ngoài cách tính thể tích trên, ta cịn phương pháp chia nhỏ khối đa diện thành đa diện nhỏ mà dễ dàng tính tốn Sau cộng lại g Ta thường dùng tỉ số thể tích điểm chia đoạn theo tỉ lệ Tính chất hình chóp g Đáy đa giác (hình chóp tam giác có đáy tam giác đều, hình chóp tứ giác có đáy hình vng) g Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy g Các mặt bên tam giác cân g Góc cạnh bên mặt đáy g Góc mặt bên mặt đáy A C¢ B¢ C B Tứ diện bát diện đều: g Tứ diện hình chóp có tất mặt tam giác g Bát diện hình gồm hai hình chóp tứ giác ghép trùng khít hai đáy với Mỗi đỉnh đỉnh chung bốn tam giác Tám mặt tam giác Nếu nối trung điểm hình tứ diện tâm mặt hình lập phương ta thu hình bát diện Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ đều: g Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy Do mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy g Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP S a) Hình chóp có mợt cạnh bên Ví dụ: Hình chóp S.ABC có cạnh bên vng góc với đáy: Chiều cao SA vng góc với mặt phẳng đáy, tức hình chóp độ dài cạnh bên SA ^ (ABC ) chiều cao hình vng góc với đáy C A chóp SA b) Hình chóp có mặt bên Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có mặt B vng góc với mặt đáy: Chiều bên (SAB ) vng góc với mặt cao hình chóp chiều cao (ABCD) chiều cao tam giác chứa mặt bên phẳng đáy vuông góc với đáy hình chóp SH chiều cao D SAB S c) Hình chóp có mặt bên Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có hai vng góc với mặt đáy: Chiều mặt bên (SAB ) (SAD) cao hình chóp giao tuyến (ABCD) hai mặt bên vng góc vng góc với mặt đáy D A với mặt phẳng đáy chiều cao hình chóp SA d) Hình chóp đều: Ví dụ : Hình chóp B C S Chiều cao hình chóp đoạn S.ABCD có tâm đa giác đáy thẳng nối đỉnh tâm đáy giao điểm hai đường Đối với hình chóp đáy chéo hình vng ABCD tam giác tâm trọng tâm G có đường cao SO tam giác A D DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP O C , CA = b  Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC đặt BAB = c, BC = a S A D H B C a +b +c : nửa chu vi Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khi đó: p= g SD ABC 1 = a.ha = bh b = ch 2 c 1 = absinC = bc sin A = ac sin B = 2 abc = = pr 4R = p(p - a)(p - b)(p - c), (Héron) g Stam giác vuông = ì (tớch hai cnh gúc vuụng) A ch r b B H aR a (c¹nh hun)2 g Stam giác vuông cân = ì (cạnh)2 cạnh g Stam giác = ị Chiều cao tam giác = ì Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ C TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Shình chữ nhật = dài ´ rộng v Shỡnh vuụng = (cnh)2 (đáy lớn + đáy bé) ×(chiÒu cao) S h×nh thang = ×   S Tứ giác có đ ờng chéo vuông góc = TÝch hai ® êng chÐo TÝch ® êng chéo ị S hình thoi = ì 2 H THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vng Cho D ABC vng A, có AH đường cao, AM trung tuyến Khi đó: 2 * BC = AB + AC (Pitago), AH BC = AB AC * AB = BH ×BC AC = CH ×CB 1 = + 2 AB AC AH = HB ×HC * AH * BC = 2AM 1 SDABC = ×AB ×AC = ×AH ×BC 2 * Hệ thức lượng tam giác thường B A HM C a +b +c Cho D ABC đặt (nửa chu vi) Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khi đó: a b c A = = = 2R sinC * Định lý hàm sin: sin A sin B 2 ỡù c b ị cosA = b +c - a ïï g a2 = b2 + c2 - 2bc cosA ïï 2bc ïï 2 ị cosB = a +c - b ì a ïí g b2 = a2 + c2 - 2ac cosB B C ïï M 2ac 2 ïï ị cosC = a +b - c ïï g c = a2 + b2 - 2abcosC 2ab * Định lý hàm cos: ïïỵ 2 ìï ïï g AM = AB + AC - BC ïï ïï 2 ïí g BN = BA + BC - AC × ïï 2 ïï CA + CB AB ïï g CK = A * Công thức trung tuyến: ïïỵ ìï M N ïï g MN P BC Þ AM = AN = MN = k ïï AB AC BC × í ỉ ïï SDAMN AM ữ ỗ ữ =ỗ =k B C ùù g ữ ữ ỗ S AB ố ứ D ABC * Định lý Thales: ïỵ AB = c, BC = a, CA = b, p = Dạng Cạnh bên vng góc với đáy Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B 3 chiều cao h 4 Thể tích khối chóp cho A B 12 C 36 D Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 V  B.h  3.4 4 3 Ta có cơng thức thể tích khối chóp Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B 6 chiều cao h 2 Thể tích khối chóp cho bằng: A B C D 12 Lời giải Chọn C V  Bh 4 Thể tích khối chóp Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B 3 chiều cao h 2 Thể tích khối chóp cho A B 12 C D Lời giải Chọn C 1 V  Bh  3.2 2 3 Thể tích khối chóp cho Câu Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B 6a chiều cao h 2a Thể tích khối chóp cho bằng: 3 3 A 2a B 4a C 6a D 12a Lời giải Chọn B 1 V  B.h  6a 2a 4a 3 (Đề Minh Họa 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a Tính thể tích V khối chóp S ABCD 2a V A 2a V B C V  2a Lời giải 2a V D Chọn D Ta có SA   ABCD   SA đường cao hình chóp 1 a3 V  SA.S ABCD  a 2.a  3 Thể tích khối chóp S ABCD : Câu (Mã 105 2017) Cho khối chóp S ABC có SA vng góc với đáy, SA 4 , AB 6 , BC 10 CA 8 Tính thể tích V khối chóp S ABC A V 32 B V 192 C V 40 D V 24 Lời giải Chọn A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có BC AB  AC suy ABC vuông A SABC Câu 2 V  SABC SA 32 24 , (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Tính thể tích khối chóp S ABCD A 2a B 2a C 2a Lời giải D 2a 3 Chọn D Ta có S ABCD Câu 2a V  SA S  ABCD a S ABCD 3 (THPT Đồn Thượng - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a3 a , cạnh bên SA vng góc với đáy thể tích khối chóp Tính cạnh bên SA a A a B 3V VS ABC  SABC SA  SA  S ABC SABC C a Lời giải D 2a a3  a a Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Minh Châu Hưng n 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Biết SA   ABC  SA a Tính thể tích khối chóp S ABC a3 a3 3a a A B C D Lời giải Chọn C Ta có SA đường cao hình chóp Tam giác ABC cạnh a nên S ABC  a2 a2 a3 VS ABC  a  4 Vậy thể tích cần tìm là: Câu 10 (THPT Việt Đức Hà Nợi 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Cạnh bên SC vng góc với mặt phẳng  ABC  , SC a Thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 A B 12 C D 12 Lời giải Chọn D S ABC Câu 11 a2 a a3   VS ABC  a  4 12 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng  ABC  biết đáy ABC tam giác vuông B AD 10, AB 10, BC 24 Tính thể tích tứ diện ABCD A V 1200 B V 960 C V 400 Lời giải 1300 V D Chọn C Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Ta có Câu 12 VABCD 1  AD AB.BC  10.10.24 400 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vng góc với  ABC  Biết SA a , tam giác ABC tam giác vuông cân A , AB 2a Tính mặt phẳng đáy theo a thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 2a V V V A B C D V 2a Lời giải 1 S ABC  AB AC  2a.2a 2a 2 Diện tích tam giác ABC vuông cân A là: 1 2a VS ABC  SA.S ABC  a.2a  3 Thể tích khối chóp S ABC là: Câu 13 (Chuyên KHTN 2019) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB a, AC 2a, SA   ABC  SA a Thể tích khối chóp cho 3 2a a a a3 A B C D Lời giải S C A B 2 2 Ta có BC  AC  AB 3a  BC a 1 1 a3 VS ABC  S ABC SA  AB.BC.SA  a.a 3.a  3 6 Vậy Câu 14 (Sở Cần Thơ 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB 3a AD 4a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  SA a Thể tích khối chóp S ABCD 2a 2a 3 3 A 2a B 12 2a C D Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Diện tích đáy hình chữ nhật S  AB AD 3a 4a 12a (đvdt) 1 V  Sh  12a a 4 2a 3 Thể tích hình chóp có đáy hình chữ nhật 3 Câu 15 (Sở Cần Thơ 2019) Thể tích khối chóp có diện tích đáy chiều cao A B C D Lời giải Chọn B 1 V  chiều cao diện tích đáy Thể tich khối chóp Câu 16 (Sở Nam Định 2019) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , độ dài cạnh AB BC a , cạnh bên SA vng góc với đáy SA 2a Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 V V V  3 A B C V a D Lời giải S C A B Chọn A 1 a3 VS ABC  SA S ABC  2a  a  3 Ta có: Câu 17 (Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC tam giác vuông cân A ( ABC ) Thể tích khối chóp S ABC , SA = AB = a , SA vng góc với mặt phẳng a3 a3 a3 3a A B C D Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B a3 VS ABC = SA.S ABC = Thể tích khối chóp S ABC : Câu 18 (Nguyễn Khuyến HCM-2019) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA OB OC a Khi thể tích tứ diện OABC a3 a3 a3 a3 A 12 B C D Lời giải Chọn B A a B a O a C 1 a3 V  SOBC OA  OB.OC.OA  3 Ta có: Câu 19 (THPT Minh Khai - 2019) Cho hình chóp S ABC có diện tích đáy a , cạnh bên SA vng góc với đáy, SA a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a a3 a3 a3 3 A a B C D Lời giải Chọn B a3 V V  Bh Áp dụng công thức ta có Câu 20 (Thpt Vĩnh Lợc - Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a Thể tích khối chóp S ABCD A V  2a B V 2a V C Lời giải 2a D V 2a 3 Chọn D Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 S D A B C 1 a VS ABCD  SA.S ABCD  a 2.a  3 Câu 21 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình SA   ABC  SA 3a vng cạnh a , , Thể tích V khối chóp S ABCD là: V  a3 3 3 A V a B V 3a C D V 2a Lời giải Chọn A S 3a A a B a D C Diện tích đáy ABCD S ABCD a SA   ABC  Vì nên chiều cao khối chóp SA 3a 1  S ABCD SA  a 3a a Vậy thể tích khối chóp S ABCD là: V Câu 22 (THPT Hàm Rồng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết SA   ABCD  SA a Thể tích khối chóp S.ABCD là: a3 a3 a3 3 A 12 B a C D Lời giải Chọn C Khối chóp S ABCD có chiều cao h a diện tích đáy B a Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SH  a Gọi H trung điểm AB SH  AB  SAB    ABCD    SAB    ABCD   AB  SH   ABCD   SH  AB Ta có  Suy SH đường cao hình chóp Diện tích đáy S ABCD a Vậy thể tích khối chóp S ABCD Câu VABCD 1 a a3  SH S ABCD  a  3 (Chuyên ĐH Vinh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , a SA  , tam giác SAC vuông S nằm mặt phẳng vng góc với  ABCD  Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD A V 6a 12 B V 6a 3 V C Lời giải 6a D V 2a Chọn A Gọi H hình chiếu vng góc S lên AC a SO  AC  2 suy SAO tam giác Ta có a a a3 V a  12 Vậy  SH  Câu  Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cân A , AB  AC a , BAC 120 Tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính thể tich V khối chóp S ABC a3 a3 V V 3 A B V 2a C V a D Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 SH  a Gọi H trung điểm AB , ta có SH  AB  SAB    ABC    SAB    ABC   AB  SH  AB  SH   ABC  Khi  a3 a V  SH SABC  a sin120  3 2 Thể tích khối chóp a V Vậy Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAB cân S nằm 4a mặt phẳng vng góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD Gọi  góc SC mặt đáy, tính tan  A tan   3 B tan   5 tan   C Lời giải 7 D tan   5 Chọn D  SAB    ABCD  SH   ABCD    SCH Dựng SH  AB ,  theo giao tuyến AB nên 1 4a VS ABCD  SH S ABCD  SH 4a  3  SH a Ta có 2 Do SAB cân S nên H trung điểm AB  HC  BH  BC a SH  a     tan  tan SCH HC a 5 Câu 10 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A Hình chiếu  ABC  trung điểm H BC , AB a , AC a , SB a Thể S lên mặt phẳng tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 A B C D Lời giải Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 S A C H B  BC  AB  AC  a  a Xét tam giác ABC vng A có: H trung điểm BC nên BH a SH  SB  HB   a 2  2a  a a SBH H Xét tam giác vng có: 1 S ABC  AB AC  a 2 Diện tích đáy ABC là: 1 a3 V  SH S ABC  a .a  3 Thể tích khối chóp S ABC là: Dạng Thể tích khối chóp Câu (Chun Hùng Vương Gia Lai 2019) Thể tích khối chóp tứ giác có tất cạnh a a3 a3 a3 A B C a D Lời giải S A B H D C Giả sử khối chóp tứ giác cho S ABCD Khi ABCD hình vng cạnh a SA SB SC SD a SH   ABCD  Gọi H tâm hình vng ABCD nên SH chiều cao khối chóp S ABCD Tính SH : 2 2 Xét tam giác ABC vng B ta có: AC  AB  BC  a  a a AC  a SH  2 2 Nhận thấy AC SA  SC nên tam giác SAC vuông S Suy Diện tích đáy khối chóp S ABCD S ABCD a a a3  a V  S ABCD SH  3 Vậy thể tích khối chóp S ABCD là: Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Mã 104 2017) Cho khối chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích V khối chóp S ABC 11a 11a 13a 11a V V V V 12 12 A B C D Lời giải Chọn D S A C O I B Do đáy tam giác nên gọi I trung điểm cạnh BC , AI đường cao tam giác a2 a 2a a  AO  AI   , 3.2 đáy Theo định lý Pitago ta có a2 11a SO  4a   3 Trong tam giác SOA vng O ta có 1 a 11a 11a V a  2 12 Vậy thể tích khối chóp S ABC AI  a  Câu (Chun Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a , góc cạnh bên mặt phẳng đáy 45 Thể tích khối chóp a3 A 12 a3 B 12 a3 C 36 Lời giải a3 D 36 Chọn B + +  45  SA;  ABC   SAO SO  AO tan 45  a 3 1 a a a3 V  SO.S ABC   3 12 + Câu (Dề Tham Khảo 2019) Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh 2a Thể tích khối chóp cho Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2a A 8a B 3 2a C Lời giải 2a 3 D Chọn D Gọi hình chóp tứ giác có tất cạnh 2a S ABCD I tâm đáy ta có: SA SC BA BC DA DC  SAC BAC DBC  SAC ; BAC ; DAC vuông S , B, D 1 SI  AC  2a a 2 I trung điểm AC suy 1 2a VS ABCD  S ABCD SI   2a  a  3 Câu (Mã 123 2017) Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp cho A V 2a3 B V 14a3 V C Lời giải 2a3 D V 14a3 Chọn D S A D I B C a 2 a 14 SI  SA  AI  4a         Chiều cao khối chóp: 1 a 14 14a V  SI SABCD  a  3 Thể tích khối chóp: Câu (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy 2a cạnh bên a Thể tích khối chóp cho 5a 3 3 A 5a B 3a C 3a 3 D Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải 2 2 Ta có S ABCD 4a ; SO  SB  OB  5a  2a a a 3.4a 3a VS ABCD  SO.S ABCD   3 Vậy Câu (THPT Lương Tài Số 2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính thể tích V khối chóp S.ABC? A V 9a C V 3a Lời giải B V 2a D V 6a Chọn D Diện tích đáy là:  S ABCD  AB  a  6a  ,  ABCD  SDO    SDO 600  ABCD  SD Góc cạnh bên SB mặt đáy 1 DO  BD  AB  a a ABCD hình vng suy 2  Xét tam giác vuông SOD : SO DO.tan SDO a 3.tan 60 3a 1 VS ABCD  SO.S ABCD  3a.6a 6a 3 Vậy Câu (THPT Gia Lợc Hải Dương 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a , góc hợp cạnh bên mặt đáy 60 Thể tích khối chóp cho a3 A 12 a3 B a3 C a3 D Lời giải Gọi H tâm tam giác ABC a SH   ABC  BH  Khi , Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/