Chuyên đề về thể tích khối chóp chương trình toán họcTHPT từ cơ bản đến nâng cao lớp 12, được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng câu, từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, ôn luyện cho học sinh, học sinh tham khảo tài liệu này rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về thể tích khối chóp lớp 11, 12 và để ôn thi TN THPQG và ôn thi đại học.
Chun đề 10 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP DẠNG CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI LĂNG TRỤ A¢ B¢ C ¢ S C B A 1 Vchóp = ìS áy chiều cao = ìS áy d( ỉ nh; mặ t phẳ ng đáy) 3 Th tớch chúp Vlăng trụ = S ¸y chiỊu cao Thể tích khối lăng trụ g Thể tích khối lập phương V = a a g Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc c b a Tỉ số thể tích g Cho khối chóp S.ABC , đoạn thẳng SA, SB, SC VS A ¢B ¢C ¢ = SA ¢ SB ¢ SC ¢ × × × SA SB SC V lấy điểm A ¢, B ¢, C ¢khác S Khi ta ln có tỉ số thể tích: S.ABC g Ngồi cách tính thể tích trên, ta phương pháp chia nhỏ khối đa diện thành đa diện nhỏ mà dễ dàng tính tốn Sau cộng lại g Ta thường dùng tỉ số thể tích điểm chia đoạn theo tỉ lệ Tính chất hình chóp g Đáy đa giác (hình chóp tam giác có đáy tam giác đều, hình chóp tứ giác có đáy hình vng) g Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp g Các mặt bên tam giác cân g Góc cạnh bên mặt đáy g Góc mặt bên mặt đáy đa giác đáy Tứ diện bát diện đều: g Tứ diện hình chóp có tất mặt tam giác g Bát diện hình gồm hai hình chóp tứ giác ghép trùng khít hai đáy với Mỗi đỉnh đỉnh chung bốn tam giác Tám mặt tam giác Nếu nối trung điểm hình tứ diện tâm mặt hình lập phương ta thu hình bát diện Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ đều: g Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy Do mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy g Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a) Hình chóp có mợt cạnh bên Ví dụ: Hình chóp S.ABC có cạnh bên vng góc với đáy: Chiều cao SA vng góc với mặt phẳng đáy, tức hình chóp độ dài cạnh bên SA ^ (ABC ) chiều cao hình vng góc với đáy chóp SA b) Hình chóp có mặt bên Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có mặt vng góc với mặt đáy: Chiều bên (SAB ) vng góc với mặt cao hình chóp chiều cao (ABCD ) chiều cao tam giác chứa mặt bên phẳng đáy vng góc với đáy hình chóp SH chiều cao D SAB c) Hình chóp có mặt bên Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có hai vng góc với mặt đáy: Chiều mặt bên (SAB ) (SAD) cao hình chóp giao tuyến (ABCD ) hai mặt bên vng góc vng góc với mặt đáy với mặt phẳng đáy chiều cao hình chóp SA d) Hình chóp đều: Ví dụ: Hình chóp Chiều cao hình chóp đoạn S.ABCD có tâm đa giác đáy thẳng nối đỉnh tâm đáy giao điểm hai đường Đối với hình chóp đáy chéo hình vng ABCD tam giác tâm trọng tâm G có đường cao SO tam giác DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC đặt AB = c, BC = a, CA = b a +b +c : nửa chu vi Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khi đó: p= g SD ABC 1 = a.ha = bh b = ch 2 c 1 = ab sinC = bc sin A = ac sin B = 2 abc = = pr 4R = p(p - a)(p - b)(p - c), (Héron) g Stam giác vuông = ì (tớch hai cnh góc vng) A ch r b B H aR a C (cạnh huyền)2 ì (cạnh)2 cạnh g Stamgiác = ị Chiều cao tam giác = ì g Stamgiác vuông cân = Shỡnh chữ nhật = dài ´ rộng Shình vng = (cnh)2 (đáy lớ n + đáy bé)ì(chiều cao) ì TÝch hai ®êng chÐo TÝch ®êng chÐo STø giác có đờng chéo vuông góc = ị Shình thoi = × 2 Sh×nh thang = HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vng Cho D ABC vng A, có AH đường cao, AM trung tuyến Khi đó: 2 * BC = AB + AC (Pitago), AH BC = AB AC * AB = BH ×BC AC = CH ×CB 1 = + 2 AB AC AH = HB ×HC * AH * BC = 2AM 1 SDABC = ×AB ×AC = ×AH ×BC 2 * Hệ thức lượng tam giác thường AB = c, BC = a, CA = b, p = A B HM C a +b +c Cho D ABC đặt (nửa chu vi) Gọi R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khi đó: a b c A = = = 2R sinC * Định lý hàm sin: sin A sin B ìï c b b2 + c2 - a2 µ µ ïï g a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Þ cosA = ïï 2bc ïï 2 a µ Þ cosB µ = a + c - b ×B ïí g b2 = a2 + c2 - 2ac cosB C M ïï 2ac 2 ïï µ Þ cosC µ = a +b - c ïï g c = a2 + b2 - 2abcosC 2ab * Định lý hàm cos: ïïỵ 2 ìï ïï g AM = AB + AC - BC ïï ïï 2 BA + BC AC ïí g BN = × ïï ïï CA2 + CB AB ïï g CK = ïïỵ A * Cơng thức trung tuyến: ìï ïï g MN P BC Þ AM = AN = MN = k ïï AB AC BC ì ổ ùù SDAMN AM ữ ỗ ữ =ỗ =k ùù g ữ ỗ ữ S AB è ø ï D ABC * Định lý Thales: ỵ M N B C Dạng Cạnh bên vng góc với đáy Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B = chiều cao h = Thể tích khối chóp cho A B 12 C 36 D Lời giải Chọn D 1 V = B.h = 3.4 = 3 Ta có cơng thức thể tích khối chóp Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B = chiều cao h = Thể tích khối chóp cho bằng: A B C D 12 Lời giải Chọn C V = Bh = Thể tích khối chóp Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy chóp cho A B 12 Chọn C Thể tích khối chóp cho Câu Câu C Lời giải 1 V = Bh = 3.2 = 3 B=3 chiều cao D h=2 Thể tích khối (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6a chiều cao h = 2a Thể tích khối chóp cho bằng: 3 3 A 2a B 4a C 6a D 12a Lời giải Chọn B 1 V = B.h = 6a 2a = 4a 3 (Đề Minh Họa 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Tính thể tích V khối chóp S ABCD 2a V= A 2a V= B 2a V= D C V = 2a Lời giải Chọn D Ta có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA đường cao hình chóp 1 a3 V = SA.S ABCD = a 2.a = 3 Thể tích khối chóp S ABCD : Câu (Mã 105 2017) Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, SA = , AB = 6, BC = 10 CA = Tính thể tích V khối chóp S.ABC A V = 32 B V = 192 C V = 40 D V = 24 Lời giải Chọn A S = 24 Ta có BC = AB + AC suy ∆ABC vuông A ABC , Câu 2 V = SABC SA = 32 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Tính thể tích khối chóp S ABCD A 2a B 2a C 2a Lời giải D 2a 3 Chọn D Ta có Câu S ABCD 2a V = SA S = S ABCD ABCD =a 3 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a3 a , cạnh bên SA vng góc với đáy thể tích khối chóp Tính cạnh bên SA a A a B 3V VS ABC = S ∆ABC SA ⇒ SA = S ABC S ∆ABC Câu C a Lời giải D 2a a3 = =a a (THPT Minh Châu Hưng n 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Biết SA ⊥ ( ABC ) SA = a Tính thể tích khối chóp S ABC a3 a3 3a a A B C D Lời giải Chọn C Ta có SA đường cao hình chóp Tam giác ABC cạnh a nên S ∆ABC = a2 a2 a3 VS ABC = a = 4 Vậy thể tích cần tìm là: Câu 10 (THPT Việt Đức Hà Nợi 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , SC = a Thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 A B 12 C D 12 Lời giải Chọn D S ABC Câu 11 a2 a a3 = ⇒ VS ABC = a = 4 12 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng ( ABC ) biết đáy ABC tam giác vuông B AD = 10, AB = 10, BC = 24 Tính thể tích tứ diện ABCD A V = 1200 B V = 960 C V = 400 Lời giải D V= 1300 Chọn C Ta có Câu 12 VABCD = 1 AD AB.BC = 10.10.24 = 400 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vng góc với ( ABC ) Biết SA = a , tam giác ABC tam giác vuông cân A , AB = 2a Tính mặt phẳng đáy theo a thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 2a V= V= V= A B C D V = 2a Lời giải 1 S ABC = AB AC = 2a.2a = 2a 2 Diện tích tam giác ABC vuông cân A là: 1 2a VS ABC = SA.S ABC = a.2a = 3 Thể tích khối chóp S ABC là: Câu 13 (Chuyên KHTN 2019) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a, AC = 2a, SA ⊥ ( ABC ) SA = a Thể tích khối chóp cho a3 A a3 B a3 C Lời giải 2a D 2 2 Ta có BC = AC − AB = 3a ⇒ BC = a 1 1 a3 VS ABC = S ∆ABC SA = AB.BC.SA = a.a 3.a = 3 6 Vậy Câu 14 (Sở Cần Thơ 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 3a AD = 4a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) SA = a Thể tích khối chóp S ABCD 2a 2a 3 3 A 2a B 12 2a C D Lời giải Chọn A Diện tích đáy hình chữ nhật S = AB ×AD = 3a ×4a = 12a (đvdt) 1 V = Sh = ×12a ×a = a 3 Thể tích hình chóp có đáy hình chữ nhật Câu 15 3 (Sở Cần Thơ 2019) Thể tích khối chóp có diện tích đáy chiều cao A B C D Lời giải Chọn B 1 V= = chiều cao diện tích đáy Thể tich khối chóp Câu 16 (Sở Nam Định 2019) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , độ dài cạnh AB = BC = a , cạnh bên SA vng góc với đáy SA = 2a Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 V= V= V= 3 A B C V = a D Lời giải Chọn A Ta có: Câu 17 VS ABC 1 a3 = SA ×S ABC = ×2a × ×a = 3 (Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC tam giác vuông cân A ( ABC ) Thể tích khối chóp S ABC , SA = AB = a , SA vng góc với mặt phẳng a3 a3 a3 3a A B C D Lời giải Chọn B a3 VS ABC = SA.S ABC = Thể tích khối chóp S ABC : Câu 18 (Nguyễn Khuyến HCM-2019) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = a Khi thể tích tứ diện OABC a3 a3 a3 a3 A 12 B C D Lời giải Chọn B 1 a3 V = SOBC OA = OB.OC.OA = 3 Ta có: Câu 19 (THPT Minh Khai - 2019) Cho hình chóp S ABC có diện tích đáy a , cạnh bên SA vng góc với đáy, SA = a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a a3 a3 a3 3 A a B C D Lời giải Chọn B a3 V= V = Bh 3 Áp dụng cơng thức ta có Câu 20 (Thpt Vĩnh Lợc - Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Thể tích khối chóp S ABCD A V = 2a B V= 2a V= C Lời giải 2a D V= 2a 3 Chọn D 1 a3 VS ABCD = SA.S ABCD = a 2.a = 3 Câu 21 (Hợi trường chun ĐBSH - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình SA ⊥ ( ABC ) SA = 3a vng cạnh a , , Thể tích V khối chóp S ABCD là: V = a3 3 3 A V = a B V = 3a C D V = 2a Lời giải Chọn A 10 A V= a3 12 B V= a3 V= C Lời giải a3 D V= a3 Chọn A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC SO ⊥ ( ABC ) Vì S ABC hình chóp tam giác nên S ABC Do hình chóp tam giác nên cạnh bên tạo với mặt đáy góc · Góc cạnh SC với đáy góc hai đường thẳng SC OC góc SCO Theo · ta có SCO = 45° ⇒ ∆SOC vuông cân O a a CO = SO = = 3 Tam giác ABC cạnh a nên a2 Diện tích đáy: 1 a a a3 V = S ABC SO = = 3 12 Thể tích khối chóp S ABC = Câu 10 Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh 2a Thể tích khối chóp cho bằng: 8a 2a 2a 2a 3 A B C D Lời giải Chọn D SO ⊥ ( ABCD ) Gọi O tâm hình vng ABCD , ta có 1 SA = 2a, AO = AC = 2a = a 2 Xét tam giác SOA vuông O có Suy SO = SA2 − AO = ( 2a ) ( − a ) =a 1 4a 2 VS ABCD = SO.S ABCD = a ( 2a ) = 3 Vậy 60 Dạng Thể tích khối chóp khác Câu (Đề Minh Họa 2017) Cho tứ diện ABCD có cạnh AB , AC AD đơi vng góc với nhau; AB = 6a , AC = 7a AD = 4a Gọi M , N , P tương ứng trung điểm cạnh BC , CD , DB Tính thể tích V tứ diện AMNP 28 V= a V = a3 3 A V = a B V = 14a C D Lời giải Chọn A 1 AB AD AC = 6a.7 a.4a = 28a 3 Ta có 1 S MNP = S MNPD = S BCD ⇒ VAMNP = VABCD = a 4 Ta nhận thấy VABCD = Câu (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a Gọi I trung điểm BC , hình chiếu vng góc đỉnh S uu r uuu r ABC ) ( IA = − IH , góc SC mặt phẳng ( ABC ) H lên mặt phẳng điểm thỏa mãn 60° Thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a 15 a 15 A B C D 12 Lời giải Chọn C 1 AB AC = a 2.a = a 2 a IH = BC = 2a, IA = a, S ABC = HC = HI + IC = a2 5a a + a2 = ⇒ HC = 4 Tam giác HIC vuông I ta có SH a a 15 · · tan SCH = ⇔ SH = HC.tan SCH = 3= HC 2 61 1 a 15 a3 15 VS ABC = SH S ABC = a = 3 Vậy Câu (Sở n Bái - 2020) Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác cạnh 3a , · · SAB = SCB = 900 , góc (SAB ) (SCB ) 600 Thể tích khối chóp S ABC 2a3 A B 2a3 C 2a 24 2a3 D Lời giải Chọn D Trong mặt phẳng (ABC ) lấy D nằm đường trung trực AC cho SD ⊥ (ABC ) · · · · BCD = BAD = 900 ⇒ SAB = SCB = 90 BC O = AC ∩ BD ⇒ BD = = 2a ⇒ CD = a OB Gọi · · Dựng AM ⊥ SB , ∆SAB = ∆SCB ⇒ CM ⊥ SB ⇒ ((SAB ),(SCB )) = (AM ,CM ) OC · AMC = 600 ⇒ MC = = 3a = BC sin300 + Nếu vơ lí tam giác MBC vuông M OC 3a 3a · AMC = 1200 ⇒ MC = = ⇒ SC = ⇒ SB = 2 sin60 + Nếu a 1 9a2 a 9a3 SD = SB − BD = ⇒ VS ABC = SABC SD = = 3 Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi G trọng tâm tam giác SBC Thể tích tứ diện SGCD 2 A 36 B C 36 D 18 Lời giải Chọn A 62 Gọi O tâm hình vng ABCD , M trung điểm BC SO ⊥ ( ABCD ) Vì S ABCD hình chóp tứ giác nên VSGCD SG 2 = = VSGCD = VSMCD VSMCD SM suy (1) Mặt khác: Hình chóp S ABCD S MCD có chung đường cao SO S ∆MCD = 1 S ∆BCD = S ABCD VSMCD = VS ABCD nên (2) VSGCD = VS ABCD Từ (1) (2) suy ra: Mặt khác VSGCD = Vậy Câu 1 2 VS ABCD = SO.S ABCD = = , 3 SO = SA2 − AO = 36 · · Cho hình chóp S ABC có AB = AC = , BC = , SA = , SAC = SAB = 30 Tính thể tích khối chóp S ABC A B C D Lời giải Chọn A Ta có: · SC = SA2 + AC − 2SA AC cos SAC ⇒ SC = 48 + 16 − 2.4 3.4 ⇒ SC = · SB = SA2 + AB − SA AB.cos SAB ⇒ SB = Gọi M , N trung điểm cạnh BC , SA Ta có: ∆SBC cân S , ∆ ABC cân A SM ⊥ BC ⇒ ⇒ BC ⊥ ( SAM ) AM ⊥ BC Kẻ SH ⊥ AM Mà BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ SH Vậy, SH ⊥ ( ABC ) 63 2 Ta có, SM = SC − MC = 15 = AM Nên ∆SAM cân M ⇒ MN ⊥ SA Ta có: MN = AM − AN = ; MN SA = SH AM ⇒ SH = S∆ABC = Câu MN SA 15 = AM ; 1 15 AM BC = 15 VS ABC = SH S∆ABC = 15 =4 3 Do đó: (Chun - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA = BC = ; SB = AC = ; SC = AB = Tính thể tích khối chóp S ABC A 390 B 390 C Lời giải 390 12 D 390 Chọn A Áp dụng cơng thức thể tích khối tứ diện gần đều: 390 = a + b − c ) ( a − b + c ) ( −a + b + c ) = ( VS ABC 12 Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , SA = SB = a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) a Thể tích khối chóp cho A a3 B a3 a3 C Lời giải a3 D Chọn D Gọi I J trung điểm AB CD theo đề ta có: SA = SB = a nên hình chiếu H S lên đáy nằm đường thẳng IJ Dễ thấy CD ^ ( SIJ) d ( A, ( SCD )) = d ( I , ( SCD )) = d ( I , SJ ) = a Suy SI = d ( I , SJ ) = a Þ SI ^ (SCD) Tam giác SAB vuông cân S nên SI = a suy 2 SI SJ a ( 2a ) - a a SH IJ = SI SJ Þ SH = = = IJ 2a Trong tam giác vng SIJ ta có: 1 a 3a V = S ABCD AH = 4a = 3 Thể tích khối chóp S ABCD là: Câu · Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , AB = a, BAD = 60°, SO ^ ( ABCD) mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt phẳng đáy góc 60° Thể tích khối chóp cho 64 A 3a 3a B 24 3a C 48 Lời giải 3a D 12 Chọn A · Từ giả thiết hình thoi ABCD có AB = a, BAD = 60° nên BD = a, AC = a Dựng OK ^ CD, ( K Ỵ CD ) CD ^ ( SOK ) Þ CD ^ SK Ta có SO ^ ( ABCD ) Þ SO ^ CD OK ^ CD nên · Do góc mặt phẳng ( SCD ) ( ABCD ) góc SKO = 60° 1 1 16 = + = + = 2 2 2 OK OC OD ỉa ỉa ÷ 3a ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç è2 ứ ữ ỗ à ỗ ố ứ Trong tam giác vng OCD, (COD = 90°) có a Þ OK = a 3a · SO = OK tan SKO = tan 60°= · 4 Trong tam giác vuông SOK , ( SOK = 90°) có AC.BD a 3.a 3a S ABCD = = = 2 Diện tích hình thoi ABCD là: 1 3a 3a 3a VS ABCD = S ABCD SO = = 3 Vậy Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , khoảng cách từ điểm A đến mặt a 15 a 15 phẳng ( SBC ) , khoảng cách SA BC Biết hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) nằm tam giác ABC , tính thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B a3 C Lời giải a3 D Chọn D 65 Dựng hình bình hành ABCD Gọi O hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD) Dựng đường thẳng d qua O , vuông góc với BC cắt BC , AD H , M Khi AD, BC ^ ( SHM ) Trong D SHM , dựng HK ^ SM ( K Ỵ SM ) MN ^ SH ( N Ỵ SH ) Ta có MN ^ SH MN ^ BC nên MN ^ ( SBC ) Vì MN = d ( M , ( SBC )) = d ( A, ( SBC )) = a 15 a 15 Do nên d ( BC , SA) = d ( BC , ( SAD )) = d ( H , ( SAD )) = HK Suy Do D SHM có hai đường cao MN = HK nên cân S Suy O trung điểm MH a a MH = d ( AD, BC ) = d ( A, BC ) = MO = (do D ABC đều, cạnh a ) Suy Ta có Xét hai tam giác đồng dạng MKH MOS , ta có HK = BC / / ( SAD ) a a 15 ´ KH MK MO.KH a = Þ SO = = = 2 SO MO MK ổa ổa 15 ữ ữ ỗ ç ÷ ÷ - ç ç ÷ ÷ ç ç ữ ố ữ ỗ ứ ỗ ứ ố V = SO ´ SD ABC Vậy thể tích khối chóp S ABC a a a3 = ´ ´ = · SO ⊥ ( ABCD ) Câu 10 Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , AB = a , BAD = 60° , ( SCD ) tạo với mặt đáy góc 60° Tính thể tích V khối chóp S ABCD mặt phẳng 3a3 3a 3a3 3a3 V= V= V= V= 24 48 12 A B C D Lời giải Chọn D 66 · Do ABCD hình thoi tâm O , AB = a , BAD = 60° , nên tam giác BCD cạnh a a2 · S ABCD = AB AD.sin BAD = Ta có Gọi E trung điểm CD I trung điểm ED OI ⊥ CD Nên góc mặt phẳng BE = a a OI = BE = , BE ⊥ CD nên 3a ·SIO ·SIO = 60° SO = OI tan 60° = mặt đáy góc , suy ( SCD ) 1 a 3a a 3 V = S ABCD SO = = 3 Vậy thể tích V khối chóp S ABCD · Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh x , BAD = 60° , gọi I giao điểm AC BD Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) H cho H trung điểm BI Góc SC ( ABCD) 45° Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V= 39 x 12 B V= 39 x 36 V= C Lời giải 39 x3 24 D V= 39 x3 48 Chọn C Tam giác ABD cạnh x Þ BD = x Þ IH = Áp dụng định lí cosin cho tam giác x ABC : AC = x + x - x.x.cos120° = x Þ IC = x x 3x x 13 HC = IH + IC = + = 16 4 Xét tam giác IHC vuông I : · SCH = ( SC , ( ABCD ) ) = 45° Do tam giác SHC vng H , có nên tam giác SHC vuông cân x 13 HC = SH = H Suy ra: Vậy thể tích khối chóp S ABCD : VS ABCD 1 x 13 x3 39 = AC.BD.SH = x 3.x = 24 · · Câu 12 Cho hình chóp S ABC có AB = AC = , BC = , SA = , SAB = SAC = 30º Tính thể tích khối chóp S ABC A VS ABC = B VS ABC = C VS ABC = D VS ABC = 12 67 Lời giải Chọn C Gọi M trung điểm cạnh BC Vì D ABC cân A (do AB = AC = ) nên AM ^ BC SD ABC = AM BC = 15 2 AM = AC - MC = 15 ; D SAB = D SAC ( c - g - c ) phẳng nên SB = SC Gọi H hình chiếu vng góc điểm S mặt ( ABC ) suy H Ỵ AM 2 Áp dụng định lí cosin cho D SAB , ta có: SB = SA + AB - 2SA AB.cos 30°= 16 Þ SB = 2 D SMB vuông M nên SM = SB - MB = 15 SM + AM - SA2 · cos SMA = =2.SM AM Áp dụng định lí cosin cho D SAM , ta có · · Þ sin SMA = - cos SMA = 4 15 · Þ SH = SM sin SMA = 15 = 5 1 15 VS ABC = SDABC SH = 15 =4 3 Vậy Cách 2: Áp dụng định lí cosin cho D ABC , ta có AB + AC - BC cos A = = AB AC abc V= 1- cos α - cos2 β - cos γ + cos α cos β cos γ Sử dụng cơng thức AB AC.SA Þ V= 1- cos 30°- cos 30°6 ỉư 7÷ ç + cos 30°.cos 30° = ÷ ç ữ ỗ ố8 ứ 0 à à Câu 13 Cho hình chóp S ABC có SA = a, AB = a , AC = a Góc SAB = 60 , BAC = 90 , · AS = 1200 C Thể tích khối chóp S ABC 68 a3 A a3 B a3 D a3 C Lời giải Chọn B Lấy cạnh AB ; AC điểm M ; P cho AS = AM = AP = a Ta có: SM = a ; MP = a ; SP = a Þ D SMP vng M ( SMP) tâm đường trịn ngoại tiếp tam Do AS = AM = AP = a Þ Hình chiếu A đáy giác SMP , H 1 a2 SD SMP = SM MP = a.a = 2 Ta có: ỉSP ÷ AH = SA - ỗ ữ ỗ ữ= a ỗ ố2 ứ 2 ỉa a a3 ÷ ỗ ữ = ị V = S AH = ç ÷ ASMP D SMP ç ÷ ç 12 è ø VA.SBC AB AC a a3 = = Þ VS ABC = VA.SBC = 6.VA.SMP = = AM AP 12 Ta lại có: VA.SMP Câu 14 (THPT Minh Khai - lần 1) Cho hình chóp S ABC có AB = 7cm, BC = 8cm, AC = 9cm Các mặt bên tạo với đáy góc 30° Tính thể tích khối chóp S ABC Biết hình chiếu vng góc S ( ABC ) thuộc miền tam giác ABC 20 63 3 cm3 cm3 20 cm 72 ( cm3 ) ( ) A B C D Lời giải Chọn A ( ) ( ) 69 Ta có p= AB + BC + AC = 12 ( cm ) S= Diện tích tam giác ABC p ( p − AB ) ( p − AC ) ( p − BC ) = 12 ( cm ) ( ABC ) Gọi H hình chiếu vng góc S Gọi K , N , M hình chiếu vng góc H AB, BC , CA · · · Theo ta có SKH = SNH = SMH = 30° Ta có ∆SKH = ∆SNH = ∆SMH · · · SHK = SHN = SHM = 90° , SH chung, · · · SKH = SNH = SMH = 30° KH = NH = MH Suy Vậy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC S KH = NH = MH = ∆ABC = ( cm ) p Khi SH = HK tan 30° = 15 ( cm ) 1 15 20 V = SH S∆ABC = 12 = cm3 ) ( 3 3 Thể tích khối chóp S ABC ( SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) tạo với đáy góc Câu 15 Cho hình chóp S ABC có mặt bên 60° Biết AB = 13a , AC = 14a , BC = 15a , tính thể tích V khối chóp S ABC A V = 28 3a B V = 112 3a C V = 84 3a Lời giải 3 D 84a Chọn B 70 ( ABC ) Gọi H hình chiếu S mặt phẳng Gọi M , N , K hình chiếu H cạnh BC , AC , AB Khi đó,ta có tam giác ∆SHK , ∆SHM , ∆SHN ⇒ HM = HN = HK = r ,với r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Ta có nửa chu vi tam giác ABC Ta có: Mà S ABC = AB + BC + CA 13 + 14 + 15 = = 21 2 p ( p − AB ) ( p − BC ) ( p − AC ) = 21.( 21 − 13) ( 21 − 14 ) ( 21 − 15 ) = 84 S ABC = pr ⇔ r = Ta lại có: p= S ABC 84 = = = HM p 21 · = 60° ⇒ SH = r.tan 60° = (·( SBC ) , ( ABC ) ) = SMH ⇒ VS ABC = 84.4 = 112 3 Câu 16 Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC = , AC = ; ABC tam giác vng cân B Tính thể tích V khối chóp S ABC 16 16 V= V= 3 A V = 16 B C V = 16 D Lời giải Chọn D Gọi H hình chiếu S mặt phẳng ( ABC ) 71 Do SA = SB = SC nên ∆SHA = ∆SHB = ∆SHC (cạnh huyền-cạnh góc vng) ⇒ HA = HB = HC ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tam giác ABC vuông cân B nên H trung điểm AC HA = HC = AC = ⇒ SH = SA2 − HA2 = 2 Suy Ta có: BA = BC = AC =2 2 ( )( ) 1 16 VS ABC = S ABC SH = 2 2 = 3 Vậy Câu 17 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC biết SA = SB = SC = a , ·ASB = 120° BSC · = 60° ·ASC = 90° Thể tích khối chóp S ABC , a3 a3 a3 a3 A 12 B C D Lời giải · Ta có SB = SC = a , BSC = 60° suy tam giác BSC ⇒ BC = a · Lại có SA = SC = a , ASC = 90° suy tam giác ASC vuông cân S ⇒ AC = a · Mặt khác, SA = SB = a , ASB = 120° , áp dụng định lí cosin cho tam giác ASB , ta được: AB = SA2 + SB − SA.SB.cos ·ASB = 3a ⇔ AB = a 2 2 2 Xét tam giác ABC có BC + AC = a + 2a = 3a = AB suy tam giác ABC vuông C a2 S ∆ABC = AC.BC = 2 Vậy diện tích tam giác ABC là: Gọi O trung điểm cạnh AB suy O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ SO ⊥ ( ABC ) Mà SA = SB = SC 3a a SO = SA − AO = a − = ÷ ÷ Xét tam giác vuông ASO vuông O có 1 a a a VS ABC = S ∆ABC SO = = 3 2 12 Vậy thể tích khối chóp S ABC là: Câu 18 2 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác 15 ( SBC ) , từ B đến ( SCA) 10 , từ C đến ( SAB ) cạnh , biết khoảng cách từ A đến 30 20 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp VS ABC 72 A 36 B 48 C 12 D 24 Lời giải Chọn B Gọi M , N , P hình chiếu H lên cạnh AC , BC , AB h SH = h ⇒ VS ABC = h = 12 Đặt AP = Ta có 2S SAB 6VS ABC h 30 = S SAB = = : = h 10 AB 20 d ( C ; ( SAB ) ) Tương tự, tính HM = 2h, HN = h ⇒ PH = SP − SH = 3h Ta có Vậy S ABC = S HAB + S HAC + S HBC = VS ABC = 3 ( HP + HM + HN ) ⇔ 3h = ⇔ h = 12 3 = 12 12 48 73 74 ... Bh A Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chi? ??u cao h B Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chi? ??u cao h V = Bh C Thể tích khối hộp chữ nhật tích ba kính thước D Thể tích khối chóp có diện... chóp có diện tích đáy chóp cho A B 12 Chọn C Thể tích khối chóp cho Câu Câu C Lời giải 1 V = Bh = 3.2 = 3 B=3 chi? ??u cao D h=2 Thể tích khối (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích. .. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B = chi? ??u cao h = Thể tích khối chóp cho bằng: A B C D 12 Lời giải Chọn C V = Bh = Thể tích khối chóp Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối