Chuyên đề 10 thể tích khối chóp đáp án

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP TÍCH KHỐI CHĨPI CHĨP Chun đề 10 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI LĂNG TR 1 Vchóp = ìS y chiều cao = ìS áy d ( ỉnh; mặt phẳng ®¸y) 3 Thể tích khối chóp Thể tớch lng tr g Th Vlăng trụ = S ¸y chiỊu cao tích khối lập phương V = a g Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc c a b Tỉ số thể tích S khối chóp S.ABC , đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A ¢, B ¢, C ¢khác S Khi ta ln có tỉ số thể g Cho VS.A ¢B ¢C ¢ = a A SA  SB  SC  ì ì ì SA SB SC C¢ B¢ V tích: S.ABC g Ngồi cách tính thể tích trên, ta cịn phương pháp chia nhỏ khối đa diện thành đa diện nhỏ mà dễ dàng tính tốn Sau cộng lại g Ta thường dùng tỉ số thể tích điểm chia đoạn theo tỉ lệ Tính chất hình chóp g Đáy đa giác (hình chóp tam giác có đáy tam giác đều, hình chóp tứ giác có đáy hình vng) g Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy g Các mặt bên tam giác cân g Góc cạnh bên mặt đáy g Góc mặt bên mặt đáy A C B Tứ diện bát diện đều: g Tứ diện hình chóp có tất mặt tam giác g Bát diện hình gồm hai hình chóp tứ giác ghép trùng khít hai đáy với Mỗi đỉnh đỉnh chung bốn tam giác Tám mặt tam giác Nếu nối trung điểm hình tứ diện tâm mặt hình lập phương ta thu hình bát diện Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ đều: g Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy Do mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy g Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP S a) Hình chóp có mợt cạnh Ví dụ: Hình chóp S.ABC có cạnh bên bên vng góc với đáy: SA vng góc với mặt phẳng đáy, tức Chiều cao hình chóp SA ^ (ABC ) chiều cao hình độ dài cạnh bên vng góc C A SA chóp với đáy B b) Hình chóp có mặt Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có mặt bên vng góc với mặt bên (SAB ) vng góc với mặt đáy: Chiều cao hình (ABCD) chiều cao chóp chiều cao tam phẳng đáy giác chứa mặt bên hình chóp SH chiều cao vng góc với đáy D SAB S c) Hình chóp có mặt bên Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có hai vng góc với mặt đáy: mặt bên (SAB ) (SAD ) Chiều cao hình chóp (ABCD ) giao tuyến hai mặt bên vng góc với mặt đáy D A vng góc với mặt chiều cao hình chóp SA phẳng đáy B C d) Hình chóp đều: Ví dụ : Hình chóp S Chiều cao hình chóp S.ABCD có tâm đa giác đáy đoạn thẳng nối đỉnh tâm giao điểm hai đường đáy Đối với hình chóp chéo hình vng ABCD đáy tam giác tâm có đường cao SO trọng tâm G tam giác A D DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP O B C AB = c , BC = a, CA = b ABC  Diện tích tam giác thường: Cho tam giác đặt S A D H B C a +b +c : nửa chu vi Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khi đó: p= g SD ABC 1 = a.ha = bh b = ch 2 c 1 = absinC = bc sin A = ac sin B = 2 abc = = pr 4R = p(p - a)(p - b)(p - c), (Hộron) g Stam giác vuông = ì (tớch hai cạnh góc vng) A ch r b B H aR a (cạnh huyền)2 g Stam giác vuông cân = × Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ C TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 (c¹nh) cạnh ị Chiều cao tam giác = ì = dài ´ rộng Shình vng = (cnh)2 g Stam giác = Shỡnh ch nht (đáy lớn + đáy bé) ì(chiều cao) ì TÝch hai ® êng chÐo TÝch ® êng chÐo S Tứ giác có đ ờng chéo vuông góc = ị S hình thoi = ì 2 S h×nh thang = A HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vuông Cho D ABC vng A, có AH đường cao, trung tuyến Khi đó: 2 * BC = AB + AC (Pitago), AH BC = AB AC * AB = BH ×BC AC = CH ×CB B 1 = + 2 AB AC AH = HB ×HC * AH * BC = 2AM 1 SDABC = ×AB ×AC = ×AH ×BC 2 * Hệ thức lượng tam giác thường HM AM C a +b +c Cho D ABC đặt (nửa chu vi) Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khi đó: a b c = = = 2R sinC * Định lý hàm sin: sin A sin B A 2 ïìï b +c - a µ µ 2 ïï g a = b + c - 2bc cosA Þ cosA = c b 2bc ïï 2 ïï a +c - b à 2 ì g b = a + c - 2ac cosB Þ cosB = ïï a 2ac C 2 B ïï a + b c M ị cosC = ïï g c = a2 + b2 - 2abcosC 2ab * Định lý hàm cos: ïïỵ 2 ìï ïï g AM = AB + AC - BC ïï ïï 2 BA + BC AC ïí g BN = × ïï ïï CA + CB AB ïï g CK = ï * Công thức trung tuyến: ïỵ A ïìï AM AN MN = = =k ïï g MN P BC Þ M N AB AC BC ï × í ỉ ïï SDAMN AM ữ ữ =ỗ = k2 ỗ ùù g ữ ç ÷ S AB è ø D ABC * Định lý Thales: ïỵ B C AB = c, BC = a, CA = b, p = Dạng Cạnh bên vng góc với đáy Câu (Mã 105 2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  a Tính thể tích khối chóp cho Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a3 A 3 B a C Lời giải 3a a3 D Chọn A AH  SB  AH   SBC  Ta có BC  AB , BC  SA  BC  AH Kẻ Suy   d A;  SBC   AH  a 2 1  2  SA a SA AB2 Tam giác SAB vng A có: AH a VSABCD  SA.SABCD  3 Vậy Câu (Mã 110 2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a , AD a , SA vng góc với mặt phẳng đáy mặt phẳng  SBC  tạo với đáy góc 60o Tính thể tích V khối chóp S ABCD 3a a3 V V 3 3 A V 3a B C V a D Lời giải Chọn.C S  3a Ta có ABCD  SBC    ABCD  BC      SBC  ,  ABCD   SB; AB  SBA  BC  SB   SBC   BC  AB   ABCD  Vì  o  Vậy SBA 60 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SA tan 60o   SA  AB.tan 60o a AB Xét tam giác vuông SAB có: 1 VS ABCD  S ABCD SA  a 3.a a 3 Vậy Câu (Mã 123 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng  SAB  góc 300 Tính thể tích khối chóp S ABCD 2a3 A B 2a3 C Lời giải 6a3 D 2a3 Chọn B S a +) Do ABCD hình vng cạnh a nên: ABCD · BC   SAB   +) Chứng minh góc SC (SAB) CSB 30 BC · tan CSA  tan 30   2 SB +) Đặt SA x  SB  x  a Tam giác SBC vuông B nên Ta được: SB BC  VSABCD  SA.SABCD Vậy Câu x  a a  x a 2a3  a 2.a  3 (Đvtt) (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân C , cạnh bên a3 SA vng góc với mặt đáy, biết AB 4a, SB 6a Thể tích khối chóp S ABC V Tỷ số 3V A 80 B 40 C 20 Lời giải D 80 Chọn B Ta có: + D ABC vng cân C , AB 4a suy AC BC 2a S ABC  AC.BC 4a Do đó: + SA   ABC   SA  AB  D ABC vuông A Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 SA  SB  AB   6a  2   4a  2a SA   ABC  + Khối chóp S ABC có 1 8a  V  S ABC SA  4a 2a  3 3 a a   3V 3.8a 40 Vậy tỷ số: Câu (Chun Bắc Giang 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB a , ACB 60 , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SB hợp với mặt đáy góc 45 Tính thể tích V khối chóp S ABC A V a3 18 B V a3 12 V C Lời giải a3 D V a3 Chọn A S A C B AB  BC   a  ABC tam giác vuông B , AB a , ACB 60 tan 60 SB,  ABC   SB, AB  450 nên tam giác SAB vuông cân S  SA  AB a 1 1 a3 VS ABC  SABC SA  BA.BC.SA  a.a a 3 18 Câu (Lương Thế Vinh Hà Nội Năm 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB a AD 2a , cạnh bên SA vng góc với đáy Tính thể tích V khối chóp S ABCD SBD  ABCD  biết góc hai mặt phẳng   60 A V a3 15 15 B V a3 15 V C Lời giải 4a 15 15 D Chọn C Kẻ AE  BD  60  SBD  ,  ABCD   SEA Xét ABD vuông A AE  AD AB  2a 2 a  a AD  AB Xét SAE vuông A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ V a3 15 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2a 2a 15 3 5 Khi thể tích S ABCD 1 2a 15 4a 15 V  SA.S ABCD  2a  3 15 SA  AE.tan 600  Câu (Hoàng Hoa Thám 2019) Cho hình chóp S ABCD có AB 5 3, BC 3 , góc   BAD BCD 90 , SA 9 SA vng góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD 66 , tính cotang góc mặt phẳng  SBD  mặt đáy S D A B C 20 273 A 819 B 91 273 C 20 Lời giải 91 D S A D B H C 1 VS ABCD  SA.S ABCD  66  9.S ABCD  S ABCD 44 3 Có: 1 AB AD  BC.CD 44  AD  3CD 44 Suy (1) Áp dụng định lí Pitago tam giác vng ABD; BCD , ta có: AB  AD  BD  BC  CD  CD  AD 48 (2)  AD 4   AD  47 Từ (1) (2) suy  47 44 AD  AD   AD 4 khơng thỏa mãn từ (1) ta có: Trong tam giác ABD , dựng AH  BD lại có SA  BD  BD  SH Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  SBD   đáy góc SHA AB AD 20 273 AH 20 273  BD  91, AH   cot SHA   BD 91 , SA 819 Dễ tính Vậy góc Câu (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, SA   ABC   SBC  cách A khoảng a hợp với mặt phẳng  ABC  góc Mặt phẳng 300 Thể tích khối chóp S ABC 8a A 3a C 12 Lời giải 8a B 4a D S H C A 300 I B  300  SBC  mp  ABC  SIA Gọi I trung điểm sủa BC suy góc mp H hình chiếu vng góc A SI suy d  A,  SBC    AH a AH AI  2 a sin 300 Xét tam giác AHI vuông H suy Giả sử tam giác ABC có cạnh x , mà AI đường cao suy 2a  x 4a  x 3 4a  4a  S ABC    3   ABC Diện tích tam giác 2a SA  AI tan 300  Xét tam giác SAI vuông A suy 1 4a 2a 8a VS ABC  S ABC SA   3 Vậy Câu  SAB   SAD  Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp S ABCD biết SC a A VS ABCD a B VS ABCD  a3 VS ABCD  C Lời giải a3 3 D Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ VS ABCD  a3 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Vì hai mặt phẳng SA   ABCD   SAB  Ta có: AC a ;  SAD  vuông góc với đáy Mà SA  SC  AC   a 3   a 2 VS ABCD  SA.S ABCD Thể tích khối chóp S ABCD là:  SAB    SAD  SA nên a a3  a.a  3 Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vuông C , AB 2a , AC a SA vng ABC  SAB  SBC  góc với mặt phẳng  Biết góc hai mặt phẳng   60 Tính thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 A B 12 C D Lời giải Chọn B  CH   SAB   CH  SB 1 Trong ABC kẻ CH  AB BC  AB  AC a , BH BA BC , 3a a CH  BC  BH  ,  CK  SB  Trong SAB kẻ HK  SB  1 ,    HK  SB Từ  SAB  SBC  Góc hai mặt phẳng   CKH 60  BH  Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a , BK  BH  HK a Trong vng CKH có SA AB 2a a    SA  SAB ∽ HKB  g.g  nên HK BK a a a3  a a  V  SA.S ABC 2 12 Thể tích hình chóp S ABC HK CH cot 60   Câu 11 Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân A với BC 2a , BAC 120 , biết SA  ( ABC ) mặt ( SBC ) hợp với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 A B a C D Lời giải Chọn C S C A I B  Gọi I trung điểm BC + Do ABC cân A nên BC  AI + Mặt khác SA  ( ABC )  BC  SA Suy BC  SI  Do góc ( SBC ) đáy góc SIA 45 IB a IA    tan 60  Xét AIB vng I có IB a , IAB 60 , suy a a IA  SA IA   , SIA 45 nên SAI vuông cân A , SAI vng A có 1 a3 V  S ABC SA  BC AI SA  3  Thể tích khối chóp S ABC Câu 12 (Bạc Liêu – Ninh Bình) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a , a SCD ) Tính thể tích khối AD = 2a ; SA vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến ( chóp theo a 15 15 5 a a a a A 45 B 15 C 15 D 45 Lời giải Chọn A Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/