Chuyên đề 23 mặt cầu, khối cầu đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 MẶT CẦU - KHỐI CẦUT CẦU - KHỐI CẦUU - KHỐI CẦUI CẦU - KHỐI CẦUU Chuyên đề 23 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP MẶT CẦU Một số công thức: Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện  Tâm I , bán kính R IA IB IM  Đường kính AB 2 R  Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường tròn tâm I , bán kính R Mặt cầu nội tiếp Mặt cầu ngoại Hình thành: Quay đường  Diện tích mặt cầu: S 4 R tiếp đa diện đa diện mặt cầu AB 4 R mặt cầu qua tất tiếp xúc với tất R V I mặt đa diện đỉnh đa trịn tâm , bán kính  Thể tích khối cầu: diện quanh trục AB , ta có mặt cầu hình vẽ CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP THƯỜNG GẶP Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh Hình chóp góc vng  Xét hình chóp có SA  ( ABCD )  Xét hình chóp có SA  ( ABC ) ABC 900  Ta có   SAC SBC 900 nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC , SC R bán kính ABCD hình chữ nhật hình vng    Ta có: SAC SBC  SDC 900 Suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC , SC R bán kính Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy  Xét hình chóp tam giác có cạnh bên b đường cao SH h  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b2 R 2h  Xét hình chóp tứ giác có cạnh bên b chiều cao SO h  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R hình chóp b2 2h Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính ỉư h÷ ÷ R= ç ç ÷ + rđ ç è2 ÷ ø  Nếu đáy tam giác cạnh a  Xét hình chóp có SA ^ (đáy) SA = h ; bán kính đường trịn ngoại tiếp r đáy đ rđ =  Xét hình chóp có mặt bên (SAB) ^ (đáy), bán kính r r ngoại tiếp đáy đ , bán kính ngoại tiếp D SAB b , d = AB = (SAB) Ç (đáy) (đoạn giao tuyến)  Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a 3  Nếu đáy hình vng cạnh a rđ = a 2  Nếu đáy hình chữ nhật cạnh a, b R = rñ + rb2 - d2 a + b2 rñ = Dạng Khối cầu ngoại tiếp khối lăng trụ Câu (THPT Ninh Bình-Bạc Liêu-2019) Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c nội tiếp mặt cầu Tính diện tích S mặt cầu A C S 16 a  b2  c2    B S 4 a2  b2  c2   S  a  b2  c2    S 8 a2  b2  c2   D Lời giải   Chọn B Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật  a2  b  c2 S 4 r 4    Câu r OA  AC  a2  b2  c2  2     a  b2  c      (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho lăng trụ tam giác có cạnh đáy a cạnh bên b Tính thể tích khối cầu qua đỉnh lăng trụ Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 18  C 18 3  4a  3b   4a  b2   B 18  D 18 Lời giải  4a A  4a  3b   3b  C I B M O A I B C M Gọi I , I  tâm hai đáy, O trung điểm II  Khi ta có O tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ a b AI  , IO  suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Ta có: a b2 R   4a  3b 3  V O; R    R  4a  3b   18 Vậy Câu Một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có kích thước AB 4a, AD 5a, AA ' 3a Mặt cầu có bán kính bao nhiêu? 2a A B 6a C 3a Lời giải 2a D Chọn A Gọi I tâm hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình 1 2a R IA  AC  AB  AD +A'A  2 hộp Câu (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chữ nhật có ba kích thước 1, 2,3 Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 9 A 9 B 14 D C 36 Lời giải Chọn D 2 Ta có AC   AA  AB  AD  14 Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật nhận đường chéo AC  đường kính, bán kính mặt 14 4 14 14 14 R  AC   V   R3    2 Vậy thể tích khối cầu 3 cầu Câu (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh 2a A R a 3 B R a C R 2a Lời giải D R a Chọn D Hình lập phương ABCD ABC D hình vẽ I tâm hình lập phương Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương AC AA2  AC AA2  AB  AD R   a 2 Ta có Câu (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có kích thước a , a 2a A 8a B 4 a C 16 a Lời giải D 8 a Chọn D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A’ D’ B’ O C’ A D B C Xét khối hộp chữ nhật ABCD ABC D tâm O , với AB a , AD a AA 2a Dễ thấy O cách đỉnh khối hộp nên mặt cầu ngoại tiếp khối hộp có tâm O , bán kính R AC  Ta có AC  a AC  AB  AD 2a , AC   AC  CC  2a 2 2 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp S 4 R 8 a Câu 2  R (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB a , AD  AA 2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp cho 3 a B A 9 a 9 a C Lời giải D 3 a Chọn A Ta có tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp ABCD ABC D trung điểm đường chéo AC (giao đường chéo) hình hộp Hình hộp chữ nhật có độ dài cạnh dài, rộng, cao là: AD 2a , AB a , AA 2a AC AD  AB  AA2 3a R    Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là: 2  S mc Câu  3a  4 R 4   9 a   Cho hình lập phương có cạnh a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương A V 3 a B V 4 3 a  a3 V C  a3 V D Lời giải Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn D B A C D I B' A' C' D' Tâm I mặt cầu ngoại tiếp lập phương ABCD ABC D trung điểm đường chéo AC  R IA  AC  Khối lập phương cạnh a nên: AA  a, AC   a   AC   AA2  AC 2  a  a  a  R  AC   a Vậy thể tích khối cầu cần tính là: 4 a 3  a 3 3 3 V   R        a 3   Câu (đvtt) (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD ABC D A 3 a 4 a C Lời giải B  a  a2 D Chọn A Gọi O tâm hình lập phương ABCD ABC D bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD ABC D R OA  a Do diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lập a 3 S 4 R 4   3 a   phương ABCD ABC D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 10 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABBC  A R a B R a R C Lời giải a D R 2a Chọn C Gọi I trung điểm AC ' Ta có ABC  vng B ( AB  ( BB ' C ' C ) ) ABC  vng B (vì BC   ( ABBA) ) Khi IA IB IB IC  , suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABBC  2 2 R a AC   AB '  BC   AB  BB  BC  a Vậy Cách khác: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABBC  mặt cầu ngoại tiếp tứ diện hình lập phương ABCD ABC D Bán kính mặt cầu nửa đường chéo hình lập phương cạnh a , tức a Câu 11 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác ABC vng cân A , AB a , AA a Tính bán kính R mặt cầu qua tất đỉnh hình lăng trụ theo a A R a B R a C R 2a Lời giải D R a 2 Chọn A Hình vẽ Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi M trung điểm BC , suy M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M  trung điểm BC , suy M  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  Gọi I trung điểm MM , I tâm đường tròn ngoại tiếp lăng trụ Theo đề ta có MB  BC a MM  AA a  IM    2 2 Tam giác MIB vuông M nên ta tính Câu 12 R IB  IM  MB  a Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác có tất cạnh a 7 a  a3 7 a 2 A B C  a D Lời giải Chọn A Gọi O, O’ tâm đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC, A’B’C’ Trên OO’ lấy trung điểm I Suy IA = IB = IC = IA’= IB’ = IC’ Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ 2 a 21 a a 3 R IA  OI  OA  OI  OA         2   Suy bán kính mặt cầu Diện tích mặt cầu Câu 13 S 4 R 4 2 a 7 a  12 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hình lập phương có cạnh Thể tích mặt cầu qua đỉnh hình lập phương 2 A B 3 3 C 3 D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B Mặt cầu qua đỉnh hình lập phương có đường kính AC Bán kính mặt cầu R AC  2 3 v   R3  Thể tích khối cầu Câu 14 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương A a a C Lời giải B a a D Chọn A Độ dài đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương độ dài đường chéo hình lập phương AC ' Ta có ABCD hình vng cạnh a  AC a Xét tam giác A ' AC vuông Câu 15  A  AC '  AA '2  AC  a  a  a Tỉ số thể tích khối lập phương khối cầu ngoại tiếp khối lập phương  A B 3 C 2 Lời giải  D Chọn B Facebook Nguyễn Vươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 S Xét hình lập phương ABCD ABC D cạnh 2a nội tiếp mặt cầu   2a 3 R V1  2a  8a S  Khi ấy, khối lập phương tích bán kính mặt cầu a 4 S  V2   R   a  Thể tích khối cầu :   4 a 3 Vậy tỉ số thể tích khối lập phương khối cầu ngoại tiếp khối lập phương V1 8a 2    V2 4 a  3 Câu 16 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB a , AD 2a , AA ' 3a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' 28 14 a 3 A B 6 a 14 a 3 C Lời giải D 6 a Chọn C Gọi O tâm hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Tứ giác ABC ' D ' hình chữ nhật có tâm O nên OA OB OC ' OD ' (1) Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/