Bài GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định nghĩa Cho đường trịn (O) có Ax tiếp tuyến điểm A dây cung AB Khi đó, BAx gọi góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Định lí Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc tạo nội tiếp chắn cung B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tính số đo góc, chứng minh góc nhau, đẳng thức tam giác đồng dạng Dùng hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Hệ góc nội tiếp (O;R ) dây cung BC = 3R Hai tiếp tuyến đường tròn (O ) Ví dụ Cho đường trịn B,C cắt A Tính ABC , BAC Lời giải Gọi H trung điểm BC , OH BC (đường kính qua trung điểm dây cung) Xét tam giác OHB , ta có cos CBO CBO 30 Do tam giác BOC cân O nên BCO 30 Suy ABC 90 30 60 BAC 90 30 60 Ví dụ Cho hai đường trịn (O) (O) cắt A B Tiếp tuyến A (O) cắt đường tròn (O) điểm thứ hai P Tia BP cắt đường tròn (O) Q Chứng minh AQ song song với tiếp tuyến P đường tròn (O) Lời giải Px tiếp tuyến ( P) (O) APx ABP ABP góc ngồi đỉnh B tam giác ABQ ABP AQB BAQ sñ AQ PAQ sñ AQ PAQ ABP APx PAQ Px AQ Ví dụ Cho hai đường tròn (O) (O) cắt A B Tiếp tuyến A (O) cắt đường tròn (O) điểm thứ hai C đường tròn (O) cắt đường tròn (O) D Chứng minh CBA DBA Lời giải Xét tam giác ABC tam giác DBA có BAC ADB , ACB BAD DBA ABC ∽ DBA (g.g) CBA Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc, tia tiếp tuyến đường trịn Sử dụng hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Hệ góc nội tiếp Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) , tia phân giác góc A cắt BC D cắt đường tròn M a) Chứng minh OM vng góc với BC b) Phân giác góc ngồi đỉnh A tam giác ABC cắt (O) N Chứng minh ba điểm M , O, N thẳng hàng c) Gọi K giao điểm AN BC , I trung điểm KD Chứng minh IA tiếp tuyến đường tròn (O) Lời giải a) AM phân giác góc BAC nên M điểm cung BC Do OM BC b) AN phân giác xAC xAN NAC (1) CAM MAB (2) AM phân giác BCA Từ (1) , (2) suy NAM NAC CAM 90 Suy MN đường kính, M , O, N thẳng hàng c) ANO NAO tam giác ANO cân O IAD ADI tam giác AID cân I ANO ADI sd AM Mà Suy IAD NAO Mà NAO OAD 90 IAO IAD OAD 90 IA tiếp tuyến (O) C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường trịn Gọi H hình chiếu C AB Chứng minh a) Tia CA tia phân giác góc MCH b) Tam giác MAC tam giác MCB đồng dạng Lời giải MCA CBA sd AC a) ACH CBA (cùng phụ CAB ) MCA ACH Do đó, tia CA tia phân giác góc MCH Theo câu ta có tam giác MAC tam giác MCB đồng dạng theo trường hợp góc-góc Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB , dây AC tiếp tuyến Bx nằm nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đưởng tròn Tia phân giác góc CAB cắt dây BC F , cắt nửa đường tròn H , cắt Bx D a) Chứng minh FB DB HF HD b) Gọi M giao điểm AC Bx Chứng minh AC AM AH AD Lời giải a) AHB 90 BH CF DBH BAH CAH FBH BH phân giác góc DBF Tam giác DBF có BH phân giác vừa đường cao BDF cân B BD BF BH đường trung tuyến BDF HD HF AC AM AB AC AM AH AD AH AD AB b) Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) , tia phân giác góc A cắt đường tròn M Tiếp tuyến kẻ từ M với đường tròn cắt tia AB AC D E Chứng minh a) BC song song với DE b) Các cặp AMB , MCE AMC , MDB đồng dạng c) Nếu AC CE MA MD.ME Lời giải a) BCM BAM MAC CME BC DE b) Xét AMB MEC ta có MAB EMC AMB ~MEC AMB MEC (g.g) c) Xét AMC MDB ta có MAC DMB AMC ~MDB AMC MDB (g.g) AMB ~MEC MA MB ME CE AMC ~MDB MD MB MA AC MA MD MA2 MD ME ME MA Bài Cho đường tròn (O) tiếp xúc với cạch Ax , By góc xAy B C Đường thẳng kẻ qua C song song với Ax cắt đường tròn (O) D , AD cắt đường tròn (O) M , CN cắt AB N Chứng minh a) ANC ~MNA b) AN BN Lời giải a) ACN CDM MAN ANC ~MNA (g.g) ANC ~MNA AN NC MN AN AN MN NC (1) Ta có BCN ~MBN (g.g) BN NC BN MN NC MN BN (2) 2 Từ (1) (2) , ta có AN BN AN BN D BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Cho đường tròn (O; R ) dây cung MN R Hai tiếp tuyến đường tròn (O) M , N cắt P Tính PMN , PNM Lời giải Gọi H trung điểm MN , OH MN (đường kính qua trung điểm dây cung) Tam giác OMN nên OMN 60 ONM 60 Suy PMN 90 60 30 PNM 90 60 30 Bài Cho nửa đường trịn tâm (O) , đường kính AB Lấy điểm P khác A B nửa đường tròn Gọi T giao điểm AB tiếp tuyến P nửa đường tròn Chứng minh APO BPT Lời giải Tam giác AOP cân O nên APO PAB PAB BPT (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung) Vậy APO BPT Bài Cho đường tròn (O) điểm M nằm bên ngồi đường trịn Qua M kẻ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB Chứng minh MT MA.MB Lời giải Tam giác MBT tam giác MTA đồng dạng theo trường hợp g-g MT MB MT MA MB MA MT Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB điểm C nửa đường tròn Gọi D điểm đường kính AB , qua D kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt BC F , cắt AC E Tiếp tuyến nửa đường tròn C cắt EF I Chứng minh a) I trung điểm EF b) Đường thẳng OC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF Lời giải a) ICF BAC IFC ICF cân C IC IF (1) Ta lại có ICE ICF 90 ICE IEC ICF IFC IEC IFC 90 ICE cân I IC IE.(2) Từ (1) va (2) ta có IE IF b) Đường tròn ( I ) đường kính EF ngoại tiếp tam giác CEF Ta có ICE OCA IEC OCA 90 ICO 90 OC IC C Vậy đường thẳng OC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF - HẾT -