Bài GÓC NỘI TIẾP A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định nghĩa Góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai cung đường tròn gọi góc nội tiếp Cung nằm bên góc gọi bị cung chắn Định lí Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn HỆ QUẢ Trong đường trịn Các góc nội tiếp chắn cung Các góc nội tiêp chắn cung chắn cung Các góc nội tiếp (nhỏ 90 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vuông B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tính số đo góc, chứng minh góc nhau, đoạn thẳng Dùng hệ phần kiến thức trọng tâm kiến thức liên hệ cung dây cung để chứng minh góc nhau, đoạn thẳng Ví dụ Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB dây AC căng cung AC có số đo 60 a) So sánh góc tam giác ABC b) Gọi M , N điểm cung AC BC Hai dây AN BM cắt I Chứng minh tia CI tia phân giác góc ACB Lời giải a) ABC 30 (góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn), ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) CAB 180 90 30 60 ACB CAB ABC b) Do M , N điểm cung AC , BC AM , BM phân giác BAC ABC Mà AN BM I CI phân giác ACB Ví dụ Cho (O) điểm M cố định Qua M kẻ hai đường thẳng, đường thẳng thứ cắt đường tròn (O) A B , đường thẳng thứ hai cắt đường tròn C D Chứng minh MA.MB MC.MD Lời giải Trường hợp : M nằm đường tròn AMC ~DMB (g.g) MA MC MD MB MA MB MC MD Trường hợp : M nằm đường tròn BMC ~DMA (g.g) MB MC MD MA MAMB MC MD Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc, ba điểm thẳng hàng Dùng hệ phần Kiến thức trọng tâm Liên hệ dây cung để chứng minh hai đường thẳng nhau, ba điểm thẳng hàng Ví dụ Cho nửa đường trịn (O) có đường kính AB điểm C nằm ngồi nửa đường trịn Đường thẳng CA cắt nửa đường tròn M , CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM a) Chứng minh CH vng góc với AB b) Gọi I trung điểm CH Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường tròn (O) Lời giải a) Dễ dàng chứng minh AN , BM đường cao tam giác ABC Mà AN BM H CH AB MCI CMI (tam giác MCI cân I ) MAO OMA (tam giác MAO cân O ) Mà MCI MAO 90 CMI OMA 90 OMI 90 Vậy MI tiếp tuyến (O) Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác góc A cắt đường trịn M Tia phân giác góc ngồi đỉnh A cắt đường tròn N Chứng minh a) Tam giác MBC cân b) Ba điểm M , O, N thẳng hàng Lời giải a) AM phân giác BAC nên BM CM BM CM tam giác BMC cân M b) AM , AN phân giác phân giác ngồi góc A Do AMN 90 MN đường kính, suy M , O, N thẳng hàng C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho đường tròn (O) hai dây song song AB , CD Trên cung nhỏ AB , lấy điểm M tùy ý Chứng minh AMC BMD Lời giải AMC BMD AB CD AC BD Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB vng góc dây cung CD E Chứng minh CD 4 AE BE Lời giải Tam giác ACB vuông C CE AB E Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABC ta có CE AE BE hay CD 4 AE BE Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , hai đường cao BD CE cắt H Vẽ đường kính AF a) Tứ giác BFCH hình gì? b) Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh ba điểm H , M , E thẳng hàng 1 OM AH c) Chứng minh Lời giải a) Ta có FCA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) FC AC , theo giả thiết ta có BD AC Suy BD FC Chứng minh tương tự ta có CE FB Do tứ giác BFCH hình bình hành b) Do tứ giác BFCH hình bình hành nên BM CM Suy M trung điểm HF c) OM đường trung bình tam giác AHF Do OM AH Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB , M điểm tùy ý nửa đường tròn (M khác A B ) Kẻ đường thẳng MH vng góc với AB ( H AB ) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa đường trịn tâm I đường kính AH tâm K đường kính BH MA MB cắt hai nửa đường tròn ( I ) ( K ) P Q Chứng minh a) MH PQ b) Hai tam giác MPQ tam giác MBA đồng dạng c) PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn ( I ) ( K ) Lời giải a) Ta có AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) BQH 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) MQH 90 APH 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) MPH 90 Do tứ giác MPHQ có ba góc vng, nên MPHQ hình chữ nhật MH PQ b) Do tứ giác MPHQ hình chữ nhật nên MPQ MHQ Mặt khác MHQ QHB 90 MBA QHB 90 Suy MHQ MBA Do MPQ ~MBA (g.g) c) Do tứ giác MPHQ hình chữ nhật nên PQH MHQ Theo câu trên, ta có MHQ MBA , PQH MBA (1) Ta có tam giác QKB cân K Do MBA BQK Kết hợp với (1) ta MBA PQH BQK (2) Ta có tam giác QKH cân K Do QHB HQK (3) Ngồi QHB MBA 90 (4) Từ (1), (2), (3), (4) ta nhận PQH HQK 90 hay PQ tiếp tuyến ( K ) Chứng minh tương tự ta nhận PQ tiếp tuyến ( I ) D BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Hai đường trịn có tâm B , C điểm B nằm đường tròn tâm C (như hình vẽ bên) a) Biết MAN 30 , tính PCQ b) Nếu PCQ 136 MAN có số đo bao nhiêu? Lời giải a) Ta có PCQ 2MBN 4MAN 4 30 120 b) Theo câu ta có 136 PCQ 4MAN MAN 34 Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB , lấy M (khác A B ) Vẽ tiếp tuyến (O) A Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến C Chứng minh MA MC MD Lời giải AMB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn Do AMB 90 AM BC Áp dụng Hệ thức lượng vào tam giác ABC vng A ta có AM đường cao tuong ứng với cạnh huyền BC AM MB MC Ví dụ Cho đường trịn (O) đường kính AB , S điểm nằm bên ngồi đường tròn SA SB cắt đường tròn M N Gọi H giao điểm BM AN Chứng minh SH vng góc với AB Lời giải Ta có AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) BM AC hay BM đường cao tam giác ABC Chứng minh tương tự ta có AN đường cao tam giác ABC Do H trực tâm tam giác ABC Vậy SH AB Bài Cho đường tròn (O) hai dây MA, MB vng góc với Gọi I , K điểm cung nhỏ MA MB Gọi P giao điểm AK BI Chứng minh a) Ba điểm A, O, B thẳng hàng b) P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB Lời giải a) Theo đề ta có AMB 90 , nên AB đường kính (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Vậy ba điểm A, O, B thẳng hàng Gọi I K điểm cung , MB AK , BI MA phân giác MAB MBA Mà AK BI P P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB - HẾT -