Hỏi cô An phải thiết kế cạnh đáy của bể trên dài bao nhiêu mét để tổng diện tích phần phải xây là nhỏ nhất?. Tại một buổi liên hoan tri ân khách hàng của một công ty, Ban tổ chức phát hà
Trang 1ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – SỞ CẦN
THƠ –NĂM 2020-2021
Môn: Toán Lớp 12
H C H I - ỌC HỎI - ỎI - CHIA SẺ KI N ẾN
TH C ỨC Thời gian: 1800 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (4,0 điểm)
3
y x m x m x
Tìm tất cả giá trị của m sao cho hàm số đã
cho đồng biến trên khoảng 1;
Câu 2 (3,0 điểm)
không có nắp và có dạng một khối lăng trụ lục giác đều Hỏi cô An phải thiết kế cạnh đáy của
bể trên dài bao nhiêu mét để tổng diện tích phần phải xây là nhỏ nhất?
Câu 3 (4,0 điểm)
Giải các phương trình sau trên tập số thực:
a) cosxsin sin 2x x 3 sin 3x2 1 cos 3x
2
1
x x
x
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại ' ' ' A , AB a Gọi M N,
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng
ABC trùng với điểm O sao cho AO32AN
Góc giữa hai mặt phẳng
ABB A ' ' và ABC
bằng 600
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
b) Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng A CM'
Câu 5 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC (không có góc tù) nội tiếp đường tròn tâm I
thẳng AI cắt đường thẳng AC tại điểm E Tìm tọa độ các điểm A và C biết B5;0
, 1
; 1 2
I
, E 1;0 và A có tung độ âm.
Trang 2Tại một buổi liên hoan tri ân khách hàng của một công ty, Ban tổ chức phát hành 900 tấm vé trúng thưởng, mỗi tấm vé được ghi một số nguyên, liên tiếp từ 100 đến 999 Khách hàng đến tham dự, chọn ngẫu nhiên các tấm vé này Nếu chọn được tấm vé có ghi số lẻ và chia hết cho 9 thì được nhận số tiền thưởng tương ứng với số ghi trên tấm vé nhân với 1500 đồng Nếu chọn được tấm vé có ghi các số còn lại thì được nhận số tiền thưởng tương ứng với số ghi trên tấm
vé nhân với 1000 đồng Hỏi tổng số tiền Ban tổ chức dùng để trao thưởng cho khách hàng là bao nhiêu?
Câu 7 (2,0 điểm)
Cho hàm số f x ax4bx2 (với c a b c , , ) có đồ thị C
như hình vẽ
x
y
O
Chứng minh phương trình f x a 2b c f x a bc có 5 nghiệm phân biệt.0
Trang 3
ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – SỞ CẦN
THƠ –NĂM 2020-2021
Môn: Toán Lớp 12
H C H I - ỌC HỎI - ỎI - CHIA SẺ KI N ẾN
TH C ỨC Thời gian: 1800 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (4,0 điểm)
3
y x m x m x
Tìm tất cả giá trị của m sao cho hàm số đã
cho đồng biến trên khoảng 1;
Lời giải
thì
2
m
x
Xét hàm
2
f x
x
Ta có
2 2
1
0
3
2
x
x x
f x
Bảng biến thiên
Vậy
5 2
m
Câu 2 (3,0 điểm)
không có nắp và có dạng một khối lăng trụ lục giác đều Hỏi cô An phải thiết kế cạnh đáy của
Trang 4Gọi x là cạnh của hình lục giác đều và h là chiều cao của bể Khi đó diện tích đáy
2
3 3 2
x
S
Thể tích bể
2
2
2
x
x
Tổng diện tích phần phải xây là
2
Dấu bằng xảy ra khi
Vậy cạnh đáy của bể dài 2 mét thì tổng diện tích phần phải xây là nhỏ nhất
Câu 3 (4,0 điểm)
Giải các phương trình sau trên tập số thực:
a) cosxsin sin 2x x 3 sin 3x2 1 cos 3x
Lời giải
cosxsin sin 2x x 3 sin 3x2 1 cos x
tương đương với cosx2sin2xcosx 3 sin 3x 2 2cos3x
cosx 2 1 cos x cosx 3 sin 3x 2 2 cos x
6
x
x k
,
x k k
x k k
2
1
x x
x
Lời giải
* Điều kiện xác định:
2
x x
Trang 5*
2
1
x x
x
3
x x
ln 3
t
Suy ra f t
đồng biến trên 0;
* Suy ra
f f x x
2
2
2
1 3
x x
x
x x x x x
2
2
x x
x
3
x
x x
* 1 3x3x 2 3x 2 2
3x 2 3x 2 3x 4 0
* Đặt u 3x 2 0 2 u3u2 2 0 u1
Vậy S 2
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại ' ' ' A , AB a Gọi M N,
Trang 6trùng với điểm O sao cho
3 2
Góc giữa hai mặt phẳng
ABB A ' ' và ABC bằng 600
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
b) Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng A CM'
Lời giải a)
Ta có : A BB A' ' , ABC A PO' 600
+
1
a
+
/ /
+
2
3 3
A O OP a và S a
Vậy
3 ' ' '
3 3
8
ABC A B C ABC
V A O S a
1 3
5 6
N A MC O A MC
GN NA
NG
OG
OG ON NG NA
'
OT MC
OK A MC
OK A T
Dựng hình vuông ABEC
Trang 7+ Ta có :
2
2
2 2
5 5
EC
và EF a
E
J
E
+
OT GO
OT a
EF GE
32 '
OT OA
OT OA
Vậy ; ' ; '
N A MC O A MC
d d OK a
Câu 5 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC (không có góc tù) nội tiếp đường tròn tâm I
thẳng AI cắt đường thẳng AC tại điểm E Tìm tọa độ các điểm A và C biết B5;0,
1
; 1 2
I
và A có tung độ âm
Lời giải
- Dựng tiếp tuyến At của đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC Ta có:
Trang 8
1 2
//
g.c.g gt
AB AE ABE
BE.
- Gọi M là trung điểm của BE M 2;0 và có EB 6;0
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AD PT đường thẳng AD là: x 2 0
- Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn tâm I, bán kính IB, có phương trình là:
2
2
1
2
2
2 0
1
x
2
2;4 4
2; 6 6
x
A y
A y
- Ta có: AE 3;6 n2;1
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC
2
2
1
x y
2
2; 6
3;4 2
3
y x
C
y x
C x
x
Vậy A2; 6
và C 3;4
là các điểm cần tìm
Câu 6 (2,0 điểm)
Tại một buổi liên hoan tri ân khách hàng của một công ty, Ban tổ chức phát hành 900 tấm vé trúng thưởng, mỗi tấm vé được ghi một số nguyên, liên tiếp từ 100 đến 999 Khách hàng đến tham dự, chọn ngẫu nhiên các tấm vé này Nếu chọn được tấm vé có ghi số lẻ và chia hết cho 9 thì được nhận số tiền thưởng tương ứng với số ghi trên tấm vé nhân với 1500 đồng Nếu chọn được tấm vé có ghi các số còn lại thì được nhận số tiền thưởng tương ứng với số ghi trên tấm
vé nhân với 1000 đồng Hỏi tổng số tiền Ban tổ chức dùng để trao thưởng cho khách hàng là bao nhiêu?
Lời giải
Giả sử 900 tấm vé trúng thưởng đều có giá trị tương ứng với số trên tấm vé nhân 1000 đồng, thì ta có tổng số tiền Ban tổ chức cần là:
999 1
100
999 100
2
i
T i
đồng
Nhận xét:
+ Số nguyên từ 100 đến 999 mà chia hết cho 9 có
999 108
1 100 9
số
Trang 9+ Để ý, cứ 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 thì có một số lẻ và một số chẵn, suy ra có 50
số nguyên là số lẻ và chia hết cho 9
Từ hai nhận xét trên, ta xét cấp số cộng u n
thỏa mãn:
1
1
117 18
u
u u
Ta có tổng 50 số hạng đầu là 50
50.49
2
Suy ra số tiền tăng thêm từ 50 vé trên là: T 2 27,900.500 13,950,000 đồng
Vậy tổng số tiền Ban tổ chức dùng để trao thưởng cho khách hàng là:
T T T đồng
Câu 7 (2,0 điểm)
Cho hàm số f x ax4bx2 (với c a b c , , ) có đồ thị C như hình vẽ
x
y
O
Chứng minh phương trình f x a 2b c f x a bc có 5 nghiệm phân biệt.0
Lời giải
Đặt t f x a
Phương trình trở thành
t b c t bc
0 0
t t b c t b
t c t b
t c
t b
f x a b
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm phân biệt (ĐPCM)
