Đề thi hsg toán 12 cần thơ năm học 2020 2021

ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – SỞ CẦN THƠ –NĂM 2020-2021 Mơn: Tốn Lớp 12 HỌC HỎI -C HỎI -I - CHIA SẺ KIẾNN THỨCC Câu Thời gian: 1800 phút (Không kể thời gian phát đề) (4,0 điểm) y  x   2m  1 x   m   x  Cho hàm số Tìm tất giá trị m cho hàm số cho đồng biến khoảng Câu  1;  (3,0 điểm) Cô An dự định xây bể tích 18 m dùng để dự trữ nước mưa Biết bể khơng có nắp có dạng khối lăng trụ lục giác Hỏi cô An phải thiết kế cạnh đáy bể dài mét để tổng diện tích phần phải xây nhỏ nhất? Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau tập số thực: a) cos x  sin x sin x  sin x 2   cos x  x x   log b) Câu Giải phương trình sau tập số thực: x 3x    x  1 3 x  x  (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng cân A , AB a Gọi M , N trung điểm cạnh AB BC Hình chiếu vng góc A ' mặt phẳng  3 AO  AN  ABC  trùng với điểm O cho Góc hai mặt phẳng  ABB ' A '  ABC  600 a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C '  A ' CM  b) Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC (khơng có góc tù) nội tiếp đường trịn tâm I Gọi D chân đường phân giác góc A Đường thẳng qua D vng góc với đường B  5;0  thẳng AI cắt đường thẳng AC điểm E Tìm tọa độ điểm A C biết ,   I   ;  1   , E   1;0  A có tung độ âm Câu (2,0 điểm) Tại buổi liên hoan tri ân khách hàng công ty, Ban tổ chức phát hành 900 vé trúng thưởng, vé ghi số nguyên, liên tiếp từ 100 đến 999 Khách hàng đến tham dự, chọn ngẫu nhiên vé Nếu chọn vé có ghi số lẻ chia hết cho nhận số tiền thưởng tương ứng với số ghi vé nhân với 1500 đồng Nếu chọn vé có ghi số cịn lại nhận số tiền thưởng tương ứng với số ghi vé nhân với 1000 đồng Hỏi tổng số tiền Ban tổ chức dùng để trao thưởng cho khách hàng bao nhiêu? Câu (2,0 điểm) Cho hàm số f  x  ax  bx  c  C  hình vẽ (với a, b, c   ) có đồ thị y O x f  x  a     b  c  f  x  a   bc 0 Chứng minh phương trình  có nghiệm phân biệt HẾT Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ĐỀ THI HSG TỐN 12 – SỞ CẦN THƠ –NĂM 2020-2021 Mơn: Tốn Lớp 12 HỌC HỎI -C HỎI -I - CHIA SẺ KIẾNN THỨCC Câu Thời gian: 1800 phút (Không kể thời gian phát đề) (4,0 điểm) y  x   2m  1 x   m   x  Cho hàm số Tìm tất giá trị m cho hàm số cho đồng biến khoảng  1;  Lời giải  Ta có y 4 x   2m  1 x   m    1;   Để hàm số đồng biến khoảng y 0, x   0;    x   2m  1 x   m   0, x   0;    m 2x2  x  2x   Xét hàm  f  x  x2  x   1;  2x  , khoảng  x   4x  4x  f  x   0    x  1  x 3  Ta có Bảng biến thiên Vậy Câu m (3,0 điểm) Cô An dự định xây bể tích 18 m dùng để dự trữ nước mưa Biết bể khơng có nắp có dạng khối lăng trụ lục giác Hỏi cô An phải thiết kế cạnh đáy bể dài mét để tổng diện tích phần phải xây nhỏ nhất? Lời giải 3x S Gọi x cạnh hình lục giác h chiều cao bể Khi diện tích đáy V 18  S h 18  Thể tích bể Tổng diện tích phần phải xây S  xh  3x h 18  h  2 x 3 3 24 3 12 12 x  6.x  x   x   3 648 18 x x x x 3 12 x   x3 8  x 2 x Dấu xảy Vậy cạnh đáy bể dài mét tổng diện tích phần phải xây nhỏ Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau tập số thực: a) cos x  sin x sin x  sin x 2   cos x  Lời giải  Ta có phương trình cos x  sin x sin x  sin x 2   cos x  tương đương với cos x  2sin x cos x  sin x 2  cos x  cos x    cos x  cos x  sin x 2  cos x  3cos x  cos3 x  sin x  cos x 2  3cos x  cos3 x  sin x 2  sin x  cos 3x 2 sin x  cos x 1 2    sin  x   1 6     x    k 2 2 2  x  k ,  k     Vậy phương trình có nghiệm x 2 2 k ,  k   x x   log b) Giải phương trình sau tập số thực: Lời giải 3 x  0    x  0   x 3x   0 * Điều kiện xác định: Trang x 3x    x  1 3 x  x   x 3   x 1   x x  1  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA x 3x   log x 3x    x  1 * 3x  x   3x   log  x  x   1 3 x  x   log  x  1 x    log  x x   1  3x  x   log  x  1 3x    log  x x   1  log 3  x  x 1  log  x  1  x 3x   log x x    log  x  1 3 x  x   x 2  x 3  x  x 3x    log * Đặt Suy f t * Suy x 3x   2 3  x  1  log  x  1  1 f  t  3t  log t  t    f  t  3  t ln  0, t  đồng biến  1   2  0;    x 3x    f    f     x  1   x 3x    x  1 x 3x    x  1  x x   3  x  1 2  x x   x 3  x  1  x     x  x  x  *  3x     x   3 x  x  3x   3x    3x  8x  3x   x    3x   3x   3x 3x   1 3x   x  0  1  3x  3x    3x     3x  x   3x   x    x   x   x  0   x   x   x   0      u  u  0  u 1 * Đặt u  3x  0 x  1  x 1 (loại) S  2 Vậy  Câu (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB a Gọi M , N trung điểm cạnh AB BC Hình chiếu vng góc A ' mặt phẳng   ABC  trùng với  ABB ' A '  ABC  O điểm cho 3 AO  AN Góc hai mặt phẳng 60 a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C '  A ' CM  b) Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng Lời giải a) Kẻ OP  AB  AB   A ' OP    ABB ' A ' ,  ABC    A ' PO 60  Ta có : a MN  AC  2 + OP AP AO 3 MN / / OP      OP  a MN AM AN + 3 a A ' O tan 600.OP  a S ABC  + Vậy VABC A ' B ' C '  A ' O.S ABC  3 a  GN  NA  NG 6     d  N ; A ' MC    d  O; A ' MC    OK ON  NA OG 15 15 15   OG ON  NG  NA b) Ta có :  OT  MC  OK   A ' MC   + Kẻ OK  A ' T Dựng hình vng ABEC Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA + Ta có : a EC a EJ     a  EF   a EJ  2 OT GO 5    OT  a + EF GE OT OA ' 30 OK   a 2 32 OT  OA ' + 6 30 d  N ; A ' MC    d O ; A ' MC    OK  a 15 15 80 Vậy Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC (khơng có góc tù) nội tiếp đường trịn tâm I Gọi D chân đường phân giác góc A Đường thẳng qua D vng góc với đường B  5;0  thẳng AI cắt đường thẳng AC điểm E Tìm tọa độ điểm A C biết ,   I   ;  1   , E   1;0  A có tung độ âm Lời giải - Dựng tiếp tuyến At đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC Ta có:    At //DE  DEA tAE  AC  ABD      ADB  ADE  ABD AED  g.c.g     BAD  EAD  gt    AB  AE  ABE cân A , có AD phân giác góc A nên AD đường trung trực BE   M  2;0 EB  6;0    - Gọi M trung điểm BE có vectơ pháp tuyến đường  x   thẳng AD PT đường thẳng AD là: - Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường trịn tâm I , bán kính IB , có phương trình là: 1 125   x     y  1  2   x  0   1 125 x     y  1   2 Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình:   x 2  A  2;      y 4     y   A  2;    A âm nên A  2;     Do tung độ AE   3;6   n  2;1 - Ta có: vectơ pháp tuyến đường thẳng  AC : x  y  0 AC 2 x  y  0   1 125  x     y  1   Điểm C có tọa độ nghiệm hệ PT:   y  x   C  2;    y  x       x 2   C   3;  x  x   C   3;       x    A  2;   C   3;  Vậy điểm cần tìm Câu (2,0 điểm) Tại buổi liên hoan tri ân khách hàng công ty, Ban tổ chức phát hành 900 vé trúng thưởng, vé ghi số nguyên, liên tiếp từ 100 đến 999 Khách hàng đến tham dự, chọn ngẫu nhiên vé Nếu chọn vé có ghi số lẻ chia hết cho nhận số tiền thưởng tương ứng với số ghi vé nhân với 1500 đồng Nếu chọn vé có ghi số cịn lại nhận số tiền thưởng tương ứng với số ghi vé nhân với 1000 đồng Hỏi tổng số tiền Ban tổ chức dùng để trao thưởng cho khách hàng bao nhiêu? Lời giải Giả sử 900 vé trúng thưởng có giá trị tương ứng với số vé nhân 1000 đồng, ta có tổng số tiền Ban tổ chức cần là: 999  999 100  1000 494,550, 000 T1    i.1000  900 i 100 đồng Nhận xét: 999  108  100 + Số nguyên từ 100 đến 999 mà chia hết cho có số Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA + Để ý, số nguyên liên tiếp chia hết cho có số lẻ số chẵn, suy có 50 số nguyên số lẻ chia hết cho u1 117  u un   18 u  Từ hai nhận xét trên, ta xét cấp số cộng n thỏa mãn:  n , (với n  , n 1 ) 50.49 S50 50.117  18 27,900 Ta có tổng 50 số hạng đầu Suy số tiền tăng thêm từ 50 vé là: T2 27,900.500 13,950, 000 đồng Vậy tổng số tiền Ban tổ chức dùng để trao thưởng cho khách hàng là: T T1  T2 508,500, 000 đồng Câu (2,0 điểm) Cho hàm số f  x  ax  bx  c  C  hình vẽ (với a, b, c   ) có đồ thị y O x Chứng minh phương trình  f  x  a     b  c  f  x  a   bc 0 có nghiệm phân biệt Lời giải t  f  x  a  Đặt  Phương trình trở thành t   b  c  t  bc 0  t  t  b   c  t  b  0   t  c   t  b  0  t c   t  b  f  x  a  c  t c có nghiệm phân biệt  Từ đồ thị ta có a   Vì đồ thị có điểm cực trị nên ab   b   f  x  a   b  f  x  a  c có nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt (ĐPCM)