1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu) Câu 1. a) Giải phương trình: ( ) 62223 ++=−+ xxx . b) Giải hệ phương trình: +=+− =++ yyxx yxyx 344 02 2 3 24 323 . Câu 2. a) Cho hàm số 2 2 + = x x y có đồ thị là (C). Tìm hai điểm A, B trên (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt: 22 44 xxmxx −+=−+ . Câu 3. Xác định các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: 2 3 sin 2 3 2 cos 2 cos ACABA += − + − . Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có các mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc với nhau, các cạnh AB = AC = SA = SB = a. Tìm độ dài cạnh SC sao cho khối chóp S.ABC có thể tích V = 8 3 a . Câu 5. Cho cba ,, là các số thực dương thỏa abccba 3 222 =++ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 181818 222 + + + + + c c b b a a . _____________ Hết _____________ - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Giám thị không giải thích gì thêm. 2 SỞ GD − ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 4 trang) Câu Đáp án Điểm Điều kiện: 2 ≥ x . Ph ươ ng trình đ ã cho ⇔ 62623 −=+−− xxx ⇔ ( ) 32 623 248 −= ++− − x xx x =++− = ⇔ (*)4623 3 xx x 1 Gi ả i (*): (*) ⇔ ( ) ( ) 166261210 =+−+− xxx ⇔ ( ) ( ) xxx 514623 −=+− ⇔ ( )( ) ( ) −=+− ≥− 2 514629 0514 xxx x 1 1.a 3 điểm ⇔ =+− ≤ 01911 5 14 2 xx x ⇔ ± = ≤ 2 5311 5 14 x x ⇔ 2 5311− =x (th ỏ a mãn). V ậ y ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m: 3 = x , 2 5311− =x . 1 Ta th ấ y 0 = y không thỏa mãn hệ đã cho nên 0 ≠ y . Phương trình: 02 323 =++ yxyx ( ) ( ) 02 22 =+−+⇔ yxyxyx 0 = + ⇔ yx (vì 0 ≠ y nên 0 4 7 2 1 2 2 2 22 >+ −=+− yyxyxyx ) x y − = ⇔ . 1 Thay x y − = vào phương trình sau ta được: xxxx 344 23 24 −=+− 0,5 ⇔ 434 23 24 −−=− xxxx ⇔ 3 1 4 1 3 − −=− x x x x (chia cả hai vế cho 0 ≠ x ). 0,5 Đặt 3 1 x xt −= , pt trở thành 034 3 =−− tt ⇔ ( ) ( ) 03441 2 =++− ttt ⇔ 1 = t . 0,5 1.b 3 điểm Với 1 = t ta có: 1 1 =− x x ⇔ 2 51± =x . V ậ y h ệ có hai nghi ệ m: − − − + − + 2 51 , 2 51 ; 2 51 , 2 51 . 0,5 G ọ i A + 2 2 , a a a , B + 2 2 , b b b v ớ i baba ≠ − ≠ ;2, . Vì (C) không có ti ế p tuy ế n kép nên các ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i A và B song song ⇔ )(')(' byay = ⇔ ( ) ( ) 22 2 4 2 4 + = + ba Do ba ≠ nên ta có ( ) 22 +−=+ ba ⇔ ab − − = 4 . 1 2.a 3 điểm Khi đ ó ta có t ọ a độ B ( ) + + −− 2 42 ,4 a a a . Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i A, B l ầ n l ượ t là: 02)2(4 22 =++− ayax và 0)4(2)2(4 22 =+++− ayax 1 3 Khoảng cách giữa chúng: h = ( ) 4 22 216 2)4(2 ++ −+ a aa = ( ) 4 216 216 ++ + a a ( ) 24 28 216 2 = + + ≤ a a . 0,5 Đẳng thức xảy ra ⇔ ( ) 42 2 =+a ⇔ −= = 4 0 a a . Vậy các điểm cần tìm là: A ( ) 0,0 ; B ( ) 4,4− hoặc A ( ) 4,4− ; B ( ) 0,0 . 0,5 Điều kiện: 22 ≤ ≤ − x . Đặ t 2 4 xxt −+= . Xem t là hàm s ố c ủ a x, xét hàm s ố t trên [ ] 2;2− : 2 2 2 4 4 4 1' x xx x x t − −− = − −= , 20' =⇔= xt . B ả ng bi ế n thiên c ủ a t trên [ ] 2;2− : 0,5 T ừ b ả ng bi ế n thiên ta có [ ] 22;2−∈t và quan h ệ s ố nghi ệ m c ủ a t và x: +) m ộ t giá tr ị ) [ 2,2−∈t ho ặ c 22=t cho t ươ ng ứ ng m ộ t nghi ệ m x, +) m ộ t giá tr ị ) [ 22,2∈t cho t ươ ng ứ ng hai nghi ệ m x. 0,5 Ta có 22 424 xxt −+= ⇒ 2 4 4 2 2 − =− t xx . Ph ươ ng trình ban đầ u tr ở thành: mtt =++− 2 2 1 2 Xét hàm s ố 2 2 1 )( 2 ++−= tttf trên t ậ p [ ] 22;2− . 1)(' + − = ttf , 10)(' = ⇔ = ttf 1 Bảng biến thiên: 0,5 2.b 3 điểm Từ bảng biến thiên của f(t), phương trình ban đầu có đúng 3 nghiệm x ⇔ phương trình mtf = )( có 1 nghi ệm [ )22,2∈t và 1 nghiệm [ ) { } 222,2 ∪−∈t ⇔ 2222 ≤<− m . 0,5 t −2 1 2 2 2 f’(t) + 0 − − f(t) − 2 2 5 2 222 − x −2 2 2 t’ + 0 − t − 2 2 22 4 Biến đổi, giả thiết tương đương với −+= −−− 22 3 cos 2 3 4 cos 4 2 cos2 π ACBCBA ⇔ 4 3 cos2 2 1 4 cos 4 3 cos2 2 π π − += − − ACBA 1 ⇔ 01 4 cos 4 3 cos4 4 3 cos4 2 =+ − − − − CBAA π π ⇔ 0 4 sin 4 cos 4 3 cos2 2 2 = − + − − − CBCBA π 1 3. 3 điểm ⇔ = − = − − − 0 4 sin 0 4 cos 2 3 cos2 CB CBA π ⇔ = − =− 2 1 4 3 cos 0 π A CB (vì 4 4 4 π π < − <− CB ) ⇔ = − = 34 3 ππ A CB (vì 2 4 3 4 π π π < − <− A ) ⇔ == = 9 9 7 π π CB A . 1 S C B H A Ta xét hình chóp với đỉnh là A. Gọi H là trung điểm BC. Do AB = AC = a ⇒ AH ⊥ BC. Theo giả thiết hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) vuông góc với nhau theo giao tuyến BC nên suy ra AH ⊥ (SBC). Ta có : AB = AC = AS nên HB = HC = HS ⇒ tam giác SBC vuông tại S. 1 Đặt SC = x. Ta có BC = 22 xa + ⇒ 222 BH AB AH − = = 4 3 22 xa − ⇒ 2 3 22 xa AH − = . Thể tích khối chóp: SCSBAHV . 2 1 . 3 1 = = 22 3 12 1 xaax − . 1 4. 3 điểm Theo giả thiết 8 3 a V = ⇔ 2 3 3 2 22 a xax =− ⇔ 2 6a x = . 1 Từ giả thiết ta có: cabcabcbaabc ++≥++= 222 3 ⇒ 3 111 ≤++ c b a . Đặt c z b y a x 1 , 1 , 1 === thì 0,, > zyx và 3 ≤ + + zyx . 0,5 5. 2 điểm Gọi Q = 1 8 1 8 1 8 222 + + + + + c c b b a a . Ta có: 8 1 8 1 18 2 2 2 + = + = + x x a a a a và hai đẳng thức tương tự nên Q = 888 222 + + + + + z z y y x x . 0,5 5 Do + −= + ≤ ++ = + 72 7 1 2 1 72 7)1(8 22 xx x x x x x và hai bất đẳng thức tương tự nên: Q + + + + + −≤ 72 1 72 1 72 1 2 7 2 3 zyx ( ) 212 9 . 2 7 2 3 +++ −≤ zyx 27 9 . 2 7 2 3 −≤ 3 1 = . 0,5 Áp d ụ ng B Đ T Bunhiacopxki ta có: 1.3 2 ≤≤ QP ⇒ P ≤ 1. D ấ u “=” x ả y ra ⇔ 1 = = = zyx ⇔ 1 = = = cba . V ậ y giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a P là 1. 0,5 Chú ý: Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tương ứng. . DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2 012-2 013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu) Câu. Tìm hai điểm A, B trên (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất. b) Tìm tất cả các giá trị của tham. đỉnh là A. Gọi H là trung điểm BC. Do AB = AC = a ⇒ AH ⊥ BC. Theo giả thi t hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) vuông góc với nhau theo giao tuyến BC nên suy ra AH ⊥ (SBC). Ta có : AB = AC = AS