De thi hsg toan 12 tphcm 07032017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ (Đề gồm 01 trang) ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn thi: Tốn – Lớp 12 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28 tháng 11 năm 2015 2x − (1), đường thẳng d : y = −x + m (m tham x −2 số) hai điểm M (3; 4), N (4; 5) Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân Câu (3,0 điểm) Cho hàm số f (x ) = biệt A, B cho điểm A, B, M , N lập thành tứ giác lồi AMBN có diện tích Câu (5,0 điểm) Giải phương trình (2 cos 2x − 1) cos x − sin x = (sin x + cos x ) sin 3x x x + y + x + y = 2y + 2y (1) )  ( Giải hệ phương trình  (x , y ∈ ℝ)  x y − 5x + 7x + 7y − = xy − x + (2)  Câu (5,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vng A có AC = 2AB Điểm M (2; −2) trung điểm cạnh BC Gọi E điểm thuộc cạnh AC cho EC = 3EA , 4 8 điểm K  ;  giao điểm AM BE Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết  5  điểm E nằm đường thẳng d : x + 2y − = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 0; 0), M (1;1;1) Mặt phẳng (α) thay đổi qua AM cắt trục Oy,Oz ( ) điểm B(0;b; 0), C (0; 0; c) b > 0, c > bc Tính b, c để diện tích tam giác AB C nhỏ Câu (2,0 điểm) Trên cạnh AD hình vng ABCD có cạnh a , ta lấy điểm M với AM = x (0 < x ≤ a ) tia Ax vng góc với mặt phẳng (ABCD ) , ta lấy điểm S với Chứng minh rằng: b + c = SA = y (y > 0) Với giả thiết x + y = a , tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S ABCM Câu (3,5 điểm) 1 Tính tích phân I = ∫ (x e x ) + 2017x + e x dx 2016 + xe Cho n số nguyên dương x n = a + a1(x − 1) + a2 (x − 1)2 + + an (x − 1)n x Tìm n biết: a2 + a + a = 83n Câu (1,5 điểm) Cho a, b, x , y số thực dương thỏa mãn a + b = x , y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + 2y + 24 ( xy a + b ) -Hết Họ tên thí sinh : Số báo danh Số 3, tháng năm 2017 SPUTNIK NEWSLETTER CHÚC MỪNG CÁC BẠN NỮ NHÂN NGÀY 08/03 ! Số 3, tháng năm 2017 SPUTNIK NEWSLETTER Tạp chí điện tử khoa học giáo dục phổ thông Liên hệ vở: newsletter@sputnikedu.com Trang web: http://sputnikedu.com Trong số này: Những điều cần thay đổi SGK toán (Nguyễn Tiến Dũng) Toán tuổi thơ: Bé học toán chơi đồ hàng (Chu Cẩm Thơ) 18 STEM: Phỏng vấn Nguyễn Thị Tố Khuyên (Mr Index) 24 Kỹ sống: Cái dốt người (Lão Tao) 32 Tin học: Tự học lập trình SCRATCH (Bùi Việt Hà) 36 Toán 6D: Học sinh Top 1% Singapore (Ngô Văn Minh) 46 Toán 6D: Đề thi thử APMOPS (Sigma-Math) 50 Tốn Olympic: Các kỳ thi VMO (Nhóm Epsilon) 59 Điểm sách: Hùm Xám đường số (Sputnik) 73 10 Học tiếng Anh Thỏ Peter (Sputnik) 75 (Mục Câu đố đăng trang web Sputnik Education) Những điều cần thay đổi sách giáo khoa toán Nguyễn Tiến Dũng GS Nguyễn Tiến Dũng (Đại học Toulouse, Pháp) người sáng lập Sputnik Education Bài viết dành cho Sputnik Newsletter, đồng thời đăng thành kỳ báo Giáo Dục điện tử (giaoduc.net.vn) ba ngày 06-08/03/2017 nhận tổng cộng hàng trăm nghìn lượt đọc báo Gần đây, tơi có đọc kỹ số sách giáo khoa tốn thức cho học sinh phổ thơng Việt Nam, đặc biệt sách giáo khoa toán lớp 6, ngại nhận thấy có nhiều điểm bất cập, mà muốn viết Các giáo viên, học sinh phụ huynh học sinh cần biết đến điểm bất cập sách giáo khoa tại, nhằm giảm thiểu tác hại chúng Hy vọng người viết sách giáo khoa ý thay đổi nhằm đem lại sách tốt cho học sinh Các ví dụ viết chủ yếu lấy từ hai tập (của hai học kỳ) sách giáo khoa toán lớp 6, gọi tắt SGK6 Các sách giáo khoa cho lớp khác gặp vấn đề tương tự Toán học cần có tính hiệu Để giàu có lên, phải học cách làm việc hiệu lên Nhiều nước khác phồn vinh Việt Nam, khơng phải họ chăm làm hơn, mà họ làm việc hiệu có tổ chức xã hội hiệu Chúng ta cần dạy cho học sinh cách suy nghĩ làm việc hiệu quả, mơn học Tuy nhiên, SGK6 thiếu ý đến tính hiệu Xin đơn cử vài ví dụ 1a) Tìm ước số Trong SGK6 có câu: Cách làm viết câu để tìm ước số phải gọi ngớ ngẩn, kể số nhỏ 20, cịn số lớn (ví dụ 1000 trở lên) phải gọi vơ ngớ ngẩn, tốn thời gian cách khác hàng trăm hàng nghìn lần, trái ngược lại hồn tồn với hiệu 1b) Tìm ước chung lớn bội chung nhỏ SGK6 dạy ước chung lớn bội chung nhỏ nhất, khơng nói đến thuật tốn Euclid, thuật tốn đơn giản để tìm ước chung lớn (rồi từ suy bội chung nhỏ nhất) Thay vào đó, sách nói đến việc tìm ước chung lớn bội chung nhỏ cách phân tích thừa số nguyên tố Tuy nhiên, thực tế, việc phân tích số thừa số nguyên tố việc tốn thời gian Tốn bao nhiêu? Tốn nhiều đến mức người ta nghĩ máy tính đại nhất, mà dùng để tính ước chung lớn số có hàng trăm chữ số thuật tốn Euclid khơng q giây, có chạy hàng tỷ năm chẳng phân tích số lớn thừa số nguyên tố Nhiều hệ thống bảo mật thơng tin ngày dựa khó khăn việc phân tích số thừa số nguyên tố Thế mà ta lại dạy cho học sinh phương pháp khó khăn để tìm ước số chung lớn bội số chung nhỏ nhất, mà khơng nói đến thuật tốn Euclid vừa đơn giản vừa hiệu quả, thật khơng hợp lý 1c) Làm phép trừ Chính khơng ý đến tính hiệu quả, nên sách có chỗ biến đơn giản thành phức tạp cách không cần thiết Ví dụ phép trừ Sách viết đại ý: "Muốn trừ số cho số, ta cộng số bị trừ cho cho số đối số trừ" ("Số" số nguyên phân số) Công thức a - b = a + (-b) đúng, giúp ta đơn giản hố vấn đề số trường hợp Nhưng lấy làm quy tắc bất di bất dịch phải làm y tính tốn với phép trừ lại thành dở hiệu nhiều trường hợp Có làm phép tính 7-2 cách lấy + (-2) khơng?! Hay 4/7 - 3/7 tính thành 4/7 + (-3/7) ?! Việc chuyển phép trừ thành phép cộng trường hợp khơng làm cho phép tính đơn giản đi, mà làm cho rối rắm thêm Khơng nên lẫn lộn định nghĩa tính chất Mỗi khái niệm tốn học có ý nghĩa xuất phát từ nhu cầu giải vấn đề đó, định nghĩa tốt khái niệm phải thể chất khái niệm, lý đưa Khi đó, có nghĩa, ứng dụng được, cịn khơng thành “tốn vơ nghĩa” Từ lâu, tơi xúc với định nghĩa số hữu tỉ sách giáo khoa cho học sinh trung học sở kiểu "số hữu tỉ số thập phân hữu hạn vơ hạn tuần hồn" Định nghĩa kiểu (biến tính chất thành định nghĩa) làm cho thứ sáng số hữu tỉ (chẳng qua giá trị phân số) thành thứ khó hiểu học sinh trung học sở, thực để hiểu xác mặt tốn học khái niệm "phân số thập phân vơ hạn tuần hồn" trước hết cần biết giới hạn, thứ mà thường lên đến đại học hay năm cuối trung học phổ thông biết tới Ngay SGK6 bị lẫn lộn tính chất khái niệm định nghĩa chất khái niệm Xin lấy hai ví dụ: 2a) Thế hai phân số nhau? Học sinh trước hết cần hiểu "phân số số", tức đại lượng để đo độ lớn nhỏ thứ Vậy hai phân số đại lượng Ví dụ 1/2 bánh pizza to 3/6 bánh pizza Đấy khái niệm "nguyên thuỷ" cho hay không đại lượng Thế "a/b = c/d ad=bc" gì? Đó tính chất, hay gọi quy tắc để kiểm tra xem hai phân số có hay khơng, khơng phải định nghĩa nguyên thuỷ Tất nhiên, bậc đại học, người ta dùng định nghĩa "a/b = c/d ad=bc" cho việc mở rộng từ vành lên trường, tốn mức độ trừu tượng cao Học sinh lớp chưa cần trừu tượng cao đến thế, mà cần có tảng cụ thể, vững chắc, trực quan trừu tượng sau 2b) Phép trừ gì? Định nghĩa nguyên thuỷ phép trừ, mà cần biết, phép trừ phép ngược lại phép cộng: a-b = c có nghĩa c+b=a Thế SGK6 lại định nghĩa phép trừ phép "cộng với số đối" (như viết ví dụ 1c)) Viết khơng tồi mặt hiệu thuật tốn, mà cịn tồi chất khái niệm, sai mặt lịch sử Phép trừ có từ trước có khái niệm số âm, 2n+3 u + +5 n+1 ≤q 2n+3 n+1 2n+3 n+1 un + + |un − 3| + q Chú ý với n ≥ un > 2n+3 n+1 q 2n+3 n+1 un + < q 2n+3 n+1 un + + < n+1 + + n+1 2n+3 n+1 un + + < 52 , ta có 2 + n+1 2n+3 n+1 n = = n+1 Do đó, kết hợp với đánh giá trên, ta thu |un+1 − 3| ≤ |un − 3| + , n+1 ∀n ≥ Đến đây, cách sử dụng bổ đề quen thuộc (có thể chứng minh định nghĩa giới hạn) sau: Cho số thực q ∈ (0, 1) Xét hai dãy không âm (an ), (bn ) thỏa mãn an+1 ≤ qan + bn với n ∈ N∗ lim bn = Khi đó, ta có lim an = Ta dễ dàng suy lim un = hoàn tất lời giải cho toán Dưới đây, xin nêu lại đề hai toán năm 2012 2015 để bạn đọc thử sức áp dụng phương pháp hai cách giải nêu trên: (VMO, 2012) Cho dãy số thực (xn ) xác định   x1 =  x = n + (x ∀n ≥ n−1 + 2), n 3n Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ tính giới hạn (VMO, 2015) Cho a số thực không âm (un ) dãy số xác định u1 = 3, n2 p un + 3, un+1 = un + 2 4n + a ∀n ≥ a) Với a = 0, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn b) Với a ∈ [0, 1], chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn Bài (5.0 điểm) Tồn hay không đa thức P (x) với hệ số nguyên thỏa mãn   √ √ 3 P 1+ =1+  √  √ P + = + 5? Chứng minh Giả sử đa thức P (x) nói tồn Đặt Q(x) = P (1 + x) − Q(x) đa thức với hệ số nguyên Từ giả thiết, ta có √
√ √
√ Q = Q = + √ Như vậy, đa thức Q(x) − x có nghiệm vơ tỉ Do x3 − √ đa thức bậc nhỏ có hệ số nguyên nhận làm nghiệm nên Q(x) − x phải bội đa thức Nói cách khác, tồn đa thức R(x) có hệ số nguyên cho Q(x) − x = (x3 − 2)R(x) √
√ Do R(x) có hệ số nguyên nên R có dạng a + b với √ a, b ∈ Z Thay x = vào đẳng thức trên, ta  √  √ √  √ + = 5 − a + b = 25b − 2a + (5a − 2b) 5, suy 5a − 2b = 2a = 25b − Tuy nhiên, khơng có cặp số nguyên thỏa mãn đồng thời hai tính chất Mâu thuẫn nhận chứng tỏ đa thức P (x) thỏa mãn đồng thời tính chất đề không tồn Ghi 8.1 Đây toán đặc trưng đa thức tối tiểu số đại số Lời giải trình bày dựa vào định lý quan trọng sau: Nếu P (x) Q(x) đa thức đơn khởi, hệ số nguyên có chung nghiệm α Q(x) bất khả quy P (x) chia hết cho Q(x) Kiểu xuất nhiều lần kỳ thi Olympic: (VMO, 1984) Tìm đa thức bậc nhỏ với hệ số nguyên √ √ nhận + 3 làm nghiệm √ (VMO, 1997) Đặt k = 3 a) Tìm đa thức P (x) bậc nhỏ với hệ số hữu tỉ thỏa mãn P (k + k) = k + b) Tồn không đa thức Q(x) có hệ số nguyên thỏa mãn Q(k + k) = k + 3? (International Zhautykov Olympiad, 2014) Tồn không đa √
√ thức P (x) với hệ số nguyên thỏa mãn P + = + √
√ P + = + 5? Mừng thọ Hùm xám Đường số 4! Hùm xám Đường số ai? Ơng Trung đồn trưởng hai trung đoàn chủ lực Quân đội Nhân dân Việt Nam, trung đoàn 174 huyền thoại, tiêu diệt hàng nghìn quân Pháp từ cuối năm 1940 Ông người Pháp nể sợ, coi ông vị tướng tài ba (tuy ông mang hàm trung tá), gọi ông với biệt danh “‘tiểu Napoleon”, “‘Hùm xám Đương số 4” Xem thêm chi tiết tại: https://www.facebook.com/HumXam4/ Ngày 22/03/2017 sinh nhật trịn 97 tuổi ơng Nhà 73 báo Nguyễn Thế Nghiệp, qua giới thiệu ông André Menras Hồ Cương Quyết, với Sputnik Education kịp thời xuất sách "Hùm Xám Đường số 4" kể đời thăng trầm người anh hùng để mừng sinh nhật ông Cuốn sách dài 200 trang, với nhiều ảnh tư liệu, có trang ảnh màu Sách chứa nhiều chi tiết lịch quan trọng giai đoạn lịch sử bi hùng đất nước Việt Nam, Pháp thua thảm hại chiến dịch biên giới 1950, người tài giỏi có nhiều cống hiến Đặng Văn Việt lại không cầm quân từ năm 1954, v.v Ngồi bán lẻ, Sputnik Education có bán sách cho muốn mua nhiều sách ủng hộ cụ Đặng Văn Việt theo hình thức: 20 giá triệu VND (giá bìa 1,3 triệu), Sputnik giữ 700K cịn 300K dành cho cụ Việt (Liên hệ: shop@sputnikedu.com) Trân trọng giới thiệu với bạn đọc! Học tiếng Anh Thỏ Peter 75 Once upon a time there were four little Rabbits, and their names were — Flopsy, Mopsy, Cotton-tail, and Peter Ngày xưa có bốn thỏ con, tên chúng là: Flopsy, Mopsy, Đuôi Bông, Peter They lived with their Mother in a sand-bank, underneath the root of a very big fir-tree Chúng sống với Thỏ Mẹ vùng đất cát, gốc thông to ’Now my dears,’ said old Mrs Rabbit one morning, ’you may go into the fields or down the lane, but don’t go into Mr McGregor’s garden: your Father had an accident there; he was put in a pie by Mrs McGregor.’ "Bây giờ, yêu quý", bà Thỏ Mẹ nói vào buổi sáng, "các đồng xuống đường, đừng có vào vườn Ông McGregor: cha gặp nạn đó, cha bị nhồi vào bánh nướng bà McGregor " ’Now run along, and don’t get into mischief I am going out.’ "Bây chạy đi, đừng gây điều phiền tối Mẹ có việc " Then old Mrs Rabbit took a basket and her umbrella, and went through the wood to the baker’s She bought a loaf of brown bread and five currant buns Nói đoạn, bà Thỏ Mẹ lấy giỏ mình, qua khu rừng phía cửa hàng bánh mì Bà ta mua ổ bánh mì nâu năm bánh nướng nhân nho Flopsy, Mopsy, and Cotton-tail, who were good little bunnies, went down the lane to gather blackberries: Flopsy, Mopsy Đuôi Bông thỏ ngoan ngỗn Chúng xuống phía đường để hái mâm xôi But Peter, who was very naughty, ran straight away to Mr McGregor’s garden, and squeezed under the gate! Nhưng Peter tinh quái, chạy thẳng đến vườn ông McGregor lách người khe cửa First he ate some lettuces and some French beans; and then he ate some radishes; Đầu tiên ăn xà lách đậu que, ăn củ cải đỏ