ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn lớp Thời gian làm : 150 phút Câu (2,0 điểm) B Rút gọn biểu thức x y z xyz x y 2 y z x z Câu (4,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức x 1 x 3 x x cho x x 12 2 b) Tìm số nguyên x cho x x x chia hết cho x Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: 3 1 3 x x x 0 4 a) 3 x 3 x x x 2 x x b) Câu (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A x x x 14 x x B 3x x b) Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A M , D tương ứng trung điểm BC, AM H hình chiếu M CD AH cắt BC N, BH cắt AM E Chứng minh a) MHD CMD b) E trực tâm ABN Câu (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD N điểm đường chéo AC cho BNM 90 Gọi F điểm đối xứng A qua N Chứng minh FB AC ĐÁP ÁN Câu Ta có: x3 y z 3xyz x y xy x y z 3xyz x y z x y z x y z 3xy x y z x y z x y z xz yz xy x y z x y z xy xz yz xz yz xy x y z x y z xy yz xz 2 *) x y y z x z x xy y y yz z x xz z 2 x y z xy yz xz B Vậy Câu x y z x y z xy yz xz x y z xy yz xz 2 x y z a) Đặt f x x 1 x 3 x x Ta có: A x 1 x x 3 x x x x x 15 x x x x 12 3 x x x x 12 x x x x x x 12 x x 12 15 x x 12 x x 10 Vậy số dư phép chia f x cho x x 12 2 b) Thực phép chia đa thức B x x x cho C x , ta được: Đa thức thương: x 2; đa thức dư: x x3 x x x 3 x x Suy : B x 3 x 1 x 3 (1) Do x nên: Vì x 1 vs 1 x 1 x 1 x 16 x 1 x 3 16 x 49( x 3) 49( x 3) Vì x 3 nên xảy tong hai trường hợp sau: x 49, khơng có giá trị thỏa mãn x 2(tm) x 7 x 4 x 2( ktm) Vậy x 2 Câu 3 a x 3; b x a b x x a b 4 a) Đặt 3 Ta có (pt đề) a b a b 0 a b3 a3 b3 3ab a b 0 3ab a b 0 1 x 0 x 12 a 0 16 b 0 x 0 x 4 a b 0 x 0 x 1 16 S 12; ;1 Vậy b) ĐKXĐ: x 3 x 3x x x x x 3 x x x 2 x x x x 2 3x x x 3 2 x 1 3x3 x x x 2 x x x x3 x x 0 x 1 x x 0 x 0 x x Vậy S 1 x 1(tm) VN Câu a) Áp dụng tính chất a a, dấu " " xảy a 0, ta có: A 3x x x 3x x x 6 A 6 1 x 0 x x x Dấu “=” xảy 3x 0 1 A 6 x Vậy 14 x x B 3 x x b) Ta có 14 x x x x 12 x 12 x x 1 x x 3 x x 3 x 1 2 Với x, ta có: x 1 0, x 1 2 2 x 1 2 0 B 0 B x 3 x 1 Câu A D H E M B N C a) Vì M trung điểm BC nên AM đường trung tuyến ABC Mà ABC cân A (gt) nên AM đường cao ABC Xét MHD CMD có: MHD CMD 90 ; MDH CDM MHD CMD g g b) MHD CMD (câu a) HD HM HD HM (Vi MD CM AD BM MD AD, CM BM ) Mặt khác ta có: ADH 90 DMH BMH Suy HDA HMB (c.g.c) Do đó: AHD BHM AHB DHM 90 BH AN Kết hợp với AM BC E trực tâm ABN Câu B E C I M F A N D Gọi I trung điểm BF, đường thẳng NI cắt BC E Ta có: F đối xứng với A qua N (gt) N trung điểm AF Mà I trung điểm BF nên NI đường trung bình ABF NI / / AB, NI AB AB / / CD ; AB CD (ABCD hình chữ nhật M trung điểm Mặt khác CD) CD AB BC ; CM suy NI BC; NI / / CM NI CM Tứ giác CINM hình bình hành CI / / MN MN BN BNM 900 CK BN Mà K Do I trực tâm BCN BF AC