PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CỦ CHI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Ngày 04 tháng 04 năm 2016 Mơn thi: TỐN Câu (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x x b) x x 14 x 24 3x3 14 x 3x 36 A 3 x 19 x 33 x Câu (3 điểm) Cho biểu thức a) Tìm giá trị x để biểu thức A xác định b) Tìm giá trị x để biểu thức A có giá tri c) Tìm giá trị nguyên x dể biểu thức A có giá trị nguyên Câu (5 điểm) Giải phương trình: a) x 2 x x x 12 x 1 x x x x x b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 c) x x 38 x x 0 (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4) Câu (4 điểm) 2 a) Tìm GTLN : x y xy x y 2015 x 1 b) Tìm GTLN : x x x Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA ', BB ', CC ' , H trực tâm HA ' HB ' HC ' AA ' BB ' CC ' a) Tính tổng b) Gọi AI phân giác ABC; IM , IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AI BI CM BN IC AM AB BC CA 2 2 c) Chứng minh : AA ' BB ' CC ' 4 ĐÁP ÁN Câu a) x x x x 3x x x x x 3 x b) x3 x 14 x 24 x3 x x x 12 x 24 x x x x 12 x x x x 12 x x x x 12 x x x 3 Câu x 3x 19 x 33x 0 x 3 a) ĐKXĐ: 3x 14 x x 36 b) 3x 19 x 33 x 2 x 3 x 3 x 3x 1 x 3 3x A 0 x 0 x Vậy c) x 4 (tm) A 0 A 3x 3x 5 1 3x 3x 3x x A Vì 3x x x 1 U 1; 5 3x 5 / 3( ktm) 1 0(tm) / 3(ktm) Vậy x 0;2 A Câu a) x 2 x x x 12 Giải phương trình tập nghiệm S 2;1 x 1 x x x x x b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x2 x 3 x4 x 5 x6 1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 x 2009(Vi 0) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 c) x x 38 x x 0 Chia vế cho x ta được: 0 x x2 1 1 x x 38 0 x x 1 x y x2 y2 x x Đặt x x 38 (*) Thay vào phương trình (*) giải phương trình ta được: 2(tm) 1 S 2; ;0; 3 Câu 2 a) P= x y xy x y 2015 P x y xy x y 2015 P x xy y x y y y 2010 2 x y 4( x y ) y 1 2010 2 x y y 1 2010 2010 MinP 2010 x ; y 2 Suy x 1 Q x x2 x b) x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 Q đạt GTLN x đạt GTNN mà x 1 GTLN C x 0 Câu A x B' C' N M H A' I B C S HBC HA '.BC HA ' S ABC AA '.BC AA ' a) S HAB HC ' S HAC HB ' ; S CC ' S BB ' ABC Tương tự: ABC HA ' HB ' HC ' S HBC S HAB S HAC 1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC , ABI , AIC : BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN CM BN IC AM c) Vẽ Cx CC ' Gọi D điểm đối xứng A qua Cx - Chứng minh BAD vuông; CD AC , AD 2CC ' - Xét điểm B, C , D ta có: BD BC CD - BAD vuông A nên: AB AD BD D AB AD BC CD AB 4CC '2 BC AC 2 4CC '2 BC AC AB 2 2 BB '2 AB BC AC Tương tự: AA ' AB AC BC ; AA '2 BB '2 CC '2 AB BC AC Chứng minh được: AB BC CA 4 AA '2 BB '2 CC '2 Đẳng thức xảy BC AC AB ABC