28 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ BÀ RỊA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI OLIMPIC 27/4 NĂM HỌC: 2020 – 2021 MƠN TỐN LỚP Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4,0 điểm) a) Chứng minh hiệu bình phương hai số nguyên lẻ hết cho M x x x x 10 128 b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử Bài 2: (4,0 điểm) 2x2 4x x 2 x 2x x x a) Cho biểu thức với x 1; x Rút gọn A tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên A 2 1 1 D a b biết a b 1 a 0; b b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 3: (4,0 điểm) 214 x 265 x 216 x 167 x 10 71 31 11 a) Tìm giá trị x biết 91 y z 1 z x x y x y z xyz b) Cho x, y, z số thực thỏa mãn 2021 2021 Tính giá trị biểu thức A 2020 x y z Bài 4: (5,0 điểm) Vẽ hình thoi ABCD có O giao điểm hai đường chéo Vẽ hình chữ nhật AOBE Đường thẳng OE cắt AB , CD G, F Đường thẳng DE cắt AB , OA H , I Gọi M , N trung điểm AD OF Chứng minh: a) Tứ giác ADOE hình bình hành b) Ba điểm G, I , M thẳng hàng c) Ba đường thẳng AC , CD, MN đồng quy 2 d) 12.EH ED 4 BD AC Bài 5: (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB , O trung điểm AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax By vng góc với AB Gọi C điểm thuộc tia Ax Đường thẳng vng góc với OC O cắt tia By D Chứng minh: a, AC BD CD b, CO tia phân giác ACD = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI OLIMPIC 27/4 NĂM HỌC: 2020 – 2021 MƠN TỐN LỚP HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) a) Chứng minh hiệu bình phương hai số nguyên lẻ chia hết cho M x x x x 10 128 b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử Lời giải y x, y Z Gọi hai số nguyên lẻ x a) 2 x 1 y 1 4 x x y y Ta có 4 x x 1 y y 1 chia hết cho M x x x x 10 128 b) x 10 x x 10 x 24 128 Đặt x 10 x 12 t Khi đó: M t 12 t 12 128 M t 144 128 M t 16 t t M x 10 x 16 x 10 x 8 M x x x 10 x Bài 2: (4,0 điểm) 2x2 4x x 2 x 2x x x a) Cho biểu thức với x 1; x Rút gọn A tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên A 2 1 1 D a b biết a b 1 a 0; b b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải a) 2x2 4x x 2 x 2x x x 3 x 1 x 1 x 3 x x x x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x A x x x x 3x x x x 1 x 3 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com x2 4x x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x x 1 Z 1 Z x x Ta có A nhận giá trị nguyên A x 1 2; 1;1; 2 x 1; 0; 2;3 a b 1 a 0; b b) Biết 1 1 D a b Ta có 2 a b a b 1 a b 2 b a a b 2 a b a b 8 a b a b Theo bất đẳng thức Cauchy D 8 4.2 18 Vậy giá trị nhỏ D 18 a b Bài 3: (4,0 điểm) 214 x 265 x 216 x 167 x 10 71 31 11 a) Tìm giá trị x biết 91 y z 1 z x x y x y z xyz b) Cho x, y, z số thực thỏa mãn Tính giá trị biểu thức a) A 2020 x y 2021 z 2021 Lời giải 214 x 265 x 216 x 167 x 10 91 71 31 11 214 x 265 x 216 x 1 2 91 71 31 123 x 123 x 123 x 123 x 0 91 71 31 11 1 1 123 x 0 91 71 31 11 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 167 x 3 0 11 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com 123 x 0 x 123 Vậy x 123 b) y z 1 z x x y y z 1 z x x y x y z 2 x y z x yz xyz 1 2 x y z x yz y z 1 2 y z 2 x x y z 3x x Ta có 1 3 x x 2 z x2 2 z x 2 y y x y 2 x y 2 z z A 2020 x y 2021 z 2021 5 2020 6 3 y y 3z z 2021 5 6 2021 1010 Vậy A 1010 Bài 4: (5,0 điểm) Vẽ hình thoi ABCD có O giao điểm hai đường chéo vẽ hình chữ nhật AOBE Đường thẳng OE cắt AB , CD G, F Đường thẳng DE cắt AB , OA H , I Gọi M , N trung điểm AD OF Chứng minh: a) Tứ giác ADOE hình bình hành b) Ba điểm G, I , M thẳng hàng c) Ba đường thẳng AC , CD, MN đồng quy 12.EH ED 4 BD AC d) Lời giải Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com a) Ta có AE //OB AE OB (vì AOBE hình chữ nhật) Nên AE //OD AE OD (vì OB OD ) Do tứ giác ADOE hình bình hành b) Ta có G trung điểm AB ( AOBE hình chữ nhật ) I trung điểm AO ( ADOE hình bình hành ) M trung điểm AD Nên IM , IG đường trung bình tam giác AOB , AOD IG //OB IM //OD G, I , M thẳng hàng c) Ta có O, M , F trung điểm AC , AD, CD Nên OM , MF đường trung bình tam giác ACD OM //CD MF //AC hay OM //CF MF //OC Do tứ giác OCFM hình bình hành Mà N trung điểm OF N trung điểm MC Vậy ba đường thẳng AC , CD, MN đồng quy d) AOE có AG , EI hai đường trung tuyến cắt H nên H trọng tâm AOE 2 1 EH EI EH ED ED.ED ED 3 1 EH ED BD EB EH EB BD AC 3 2 12.EH ED 4 BD AC Bài 5: (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB , O trung điểm AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax By vng góc với AB Gọi C điểm thuộc tia Ax Đường thẳng vng góc với OC O cắt tia By D Chứng minh: a, AC BD CD b, CO tia phân giác ACD Lời giải Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Chứng minh a) Gọi I trung điểm CD Tứ giác ACDB hình thang ( AC //BD ) OI đường trung bình hình thang ACDB AC BD OI AC BD 2.OI 1 Ta lại có OCD vng tai O Có OI đường trung tuyến CD OI 2.OI CD 2 Từ suy AC BD CD b) Ta có OCD vng tai O có OI đường trung tuyến OI IC ICO IOC cân I IOC Mà IOC ACO (So le trong) ACO ICO Vậy CO tia phân giác ACD = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC