HSG TOÁN 7 đề đáp án yên ĐỊNH 2021

THIỆU KHẮC ĐẠT THCS LƯƠNG NGOẠI PHÒNG GD -ĐT HUYỆN YÊN ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2021-2022 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: Tính 3 2 9  ữ ì5 + ữ : ữ 16 A =   2    + 512 a Thực phép tính: x + 16 y − 25 z + = = 16 25 x − = 11 Tính B = x − y + z + 2021 b Cho M= x y z t + + + x + y + z x + y + t y + z + t x + z + t với x , y , z , t số tự nhiên c Cho biểu thức 10 khác Chứng minh M < 1025 Bài 2: a Tìm x , biết: 2 2 2013 + + + ×××+ = 2.3 3.4 4.5 x ( x + 1) 2015  P = 1 −  b Cho x, y, z ≠ x − y − z = Tính giá trị biểu thức z  x  y ÷ − ÷ + ÷ x  y  z 7n − c Tìm số tự nhiên n để phân số 2n − có giá trị lớn Bài 3: a Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống b Tìm số nguyên dương n số nguyên tố p cho p= n ( n + 1) −1 Bài 4: Cho ∆ABC có góc A nhỏ 90° Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đoạn thẳng AM cho AM ⊥ AB AM = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ đoạn thẳng AN cho AN vng góc với AC AN = AC a Chứng minh: ∆AMC = ∆ABN Trang THIỆU KHẮC ĐẠT b Chứng minh: BN ⊥ CM THCS LƯƠNG NGOẠI c Kẻ AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Chứng minh AH qua trung điểm MN Bài 5: 100 100 101 101 102 102 Cho số thực dương a b thỏa mãn a + b = a + b = a + b Hãy tính giá trị 2014 2015 biểu thức P = a + b = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = (Đề thi có 01 trang) Trang THIỆU KHẮC ĐẠT THCS LƯƠNG NGOẠI HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO NĂM HỌC: 2021-2022 Môn: Tốn Bài 1: Tính 3 2 ữ ì5 + ữ :  ÷ 16 A =   2    + 512 a Thực phép tính: x + 16 y − 25 z + = = 16 25 x − = 11 Tính B = x − y + z + 2021 b Cho x y z t + + + x + y + z x + y + t y + z + t x + z + t với x , y , z , t số tự nhiên c Cho biểu thức 10 khác Chứng minh M < 1025 M= Lời giải a Ta có: 3 2 9   27 93 33 ×5 + :  ÷ ×5 +  ÷ :  ÷ 5   16    16 A= = 27.52 + 29 27.52 + 512 36 212 × 6 26 ( + 33 ) 26.29 A = 22 32 = + 2 ( + ) 27 ( 25 + ) = 27.29 = 27.29 = 27 + x + 16 + 16 18 = = =2 9 b Ta có: x − = 11 ⇒ x = 16 ⇒ x = ⇒ x = Khi đó: 3 x + 16 y − 25 z + x + 16 − y + 25 + z + = = = 16 25 − 16 + 25 Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: ⇒ x − y + z + 50 =2 ⇒ x − y + z + 50 = 36 ⇒ x − y + z = −14 ⇒ x − y + z + 2021 = 2007 18 Vậy x − y + z + 2021 = 2007 c Với x , y , z , t số tự nhiên Ta có: x x y y x y x y x+ y < < ⇒ + < + = =1 ( 1) x+ y + z x+ y +t x+ y x+ y x+ y • x + y + z x + y x + y + t x + y Trang THIỆU KHẮC ĐẠT THCS LƯƠNG NGOẠI z z z t z t z+t t t ⇒ < + < + = =1 < ( 2) y + z +t x+ z +t z +t z +t z +t • y + z + t z + t x + z + t z + t Từ ( 1) ( 2) suy M= x y z t + + + < 1+1 = x + y + z x + y +t y + z +t x + z +t ⇒ M 10 < 210 ⇒ M 10 < 1024 , mà 1024 < 1025 Vậy M 10 < 1025 Bài 2: a Tìm x , biết: 2 2 2013 + + + ×××+ = 2.3 3.4 4.5 x ( x + 1) 2015  P = 1 −  b Cho x, y, z ≠ x − y − z = Tính giá trị biểu thức z  x  y ÷ − ÷ + ÷ x  y  z 7n − c Tìm số tự nhiên n để phân số 2n − có giá trị lớn Lời giải a Ta có 2 2 2013 + + + ×××+ = 2.3 3.4 4.5 x ( x + 1) 2015  1 1 ⇒ × + + + ×××+ x ( x + 1)  2.3 3.4 4.5  2013 ÷ ÷ = 2015  1  2013 1 1 1 ⇒ × − + − + − + ×××+ − ÷= x x +  2015 2 3 4  2013 1 2013 ⇒ ì = ữ= x +  2015 x + 2015 ⇒ 2013 2 = 1− ⇒ = x +1 2015 x + 2015 ⇒ x + = 2015 ⇒ x = 2014 Vậy x = 2014 y x−z y−x z+ y  z  x  P = 1 − ÷ − ÷ + ÷ = × × x y z x , y , z ≠ x y z       b Với Ta có: Trang THIỆU KHẮC ĐẠT THCS LƯƠNG NGOẠI x − z = y  ⇒  y − x = −z y − z x − xyz = −1 z + y = x ⇒ P = × × = x y z xyz Mà x − y − z =  Vậy P = −1 c Gọi C= 7n − 14n − 16 ( 14n − 21) + ( 2n − 3) + 5 2C = = = =7+ 2n − Ta có: 2n − 2n − 2n − 2n − Do đó: C lớn ⇔ 2C lớn ⇔ 2n − lớn ⇔ 2n − số dương nhỏ Mà n số tự nhiên ⇒ 2n − số tự nhiên nhỏ ⇒ 2n − = ⇒ 2n = ⇒ n = 7n − Vậy với n = phân số 2n − có giá trị lớn Bài 3: a Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống b Tìm số nguyên dương n số nguyên tố p cho p= n ( n + 1) −1 Lời giải ∗ a Gọi số phương phải tìm k = aabb ( k ∈ N ; a , b ∈ ¥ ; < a ≤ ; b ≤ ) Ta có: k = 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11 ( 100a + b ) ⇒ 100a + b chia hết cho 11 ⇒ 99a + ( a + b ) chia hết cho 11 ⇒ a + b chia hết cho 11 Mà ≤ a + b ≤ 18 ⇒ a + b = 11 ⇒ k = 11( 99a + 11) = 112 ( 9a + 1) ⇒ 9a + số phương ⇒ a = ⇒ b = Vậy số tự nhiên phải tìm 7744 n ( n + 1) n + n − ( n − n ) + ( 2n − ) n ( n − 1) + ( n − 1) ( n − 1) ( n + ) p= −1 = = = = 2 2 b Ta có: Với n số tự nhiên n − n + khơng tính chẵn, lẻ ⇒ n − n + chia hết cho Trang THIỆU KHẮC ĐẠT THCS LƯƠNG NGOẠI ∗ n − ⇒ n − = x ⇒ n = x + ⇒ n + = 2x + x ∈ ¥ • Trường hợp 1: chia hết cho ( ) p = ⇒ ⇒ p = x ( x + 3) , mà p số nguyên tố x < x + ⇒ x = n = (thỏa mãn) ∗ • Trường hợp 2: n + chia hết cho ⇒ n + = y ( y ∈ ¥ ) ⇒ n = y − ⇒ n − = y − ⇒ p = y ( y − 3) , mà p số nguyên tố ⇒ y = y − = + Nếu y = ⇒ n = n − < ⇒ p < (loại) p = ⇒ n = (thỏa mãn) + Nếu y − = ⇒ y = ⇒ y = Vậy ( n ; p ) ∈ { ( 3;5 ) ; ( 2; ) } Bài 4: Cho ∆ABC có góc A nhỏ 90° Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đoạn thẳng AM cho AM ⊥ AB AM = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ đoạn thẳng AN cho AN vuông góc với AC AN = AC a Chứng minh: ∆AMC = ∆ABN b Chứng minh: BN ⊥ CM c Kẻ AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Chứng minh AH qua trung điểm MN Lời giải · · · a Vì AM ⊥ AB AN ⊥ AC ⇒ MAC = BAN (cùng 90° + BAC ) Trang THIỆU KHẮC ĐẠT THCS LƯƠNG NGOẠI · · Xét ∆AMC ∆ABN có: AM = AB (gt); AN = AC (gt); MAC = BAN ⇒ ∆AMC = ∆ABN (cạnh-góc-cạnh) b Gọi D E giao điểm MC với AB BN · · · ∆AMC = ∆ABN ⇒ ·AMC = ·ABN hay ·AMD = EBD , mà ADM = EDB (đối đỉnh) · · ⇒ ·AMD + ·ADM = EBD + EDB · · · + EDB = 90° ⇒ DEB = 90° ∆ADM vuông A ⇒ ·AMD + ·ADM = 90° ⇒ EBD Vậy BN ⊥ CM c Kẻ MK ⊥ AH K ; NG ⊥ AH G Gọi I giao điểm MN AH · = 90° ∆AKM vuông K ⇒ ·AMK + MAK · · · · MAB = 90° ⇒ BAH + MAK = 90° ⇒ ·AMK = BAH · · Xét ∆AMK vuông K ∆BAH vuông H có: AM = AB (gt); AMK = BAH ⇒ ∆AMK = ∆BAH (cạnh huyền-góc nhọn) ⇒ MK = AH Chứng minh tương tự: ∆ANG = ∆CAH ⇒ NG = AH Từ ( 3) ( 4) ( 3) ( 4) ⇒ MK = NG · · Do MK ⊥ AH ; NG ⊥ AH ⇒ MK //NG ⇒ IMK = ING (so le trong) · · Xét ∆IMK vuông K ∆ING vuông G có: MK = NG ; IMK = ING ⇒ ∆IMK = ∆ING (cạnh góc vng – góc nhọn kề) ⇒ IM = IN Vậy AH qua trung điểm MN Bài 5: 100 100 101 101 102 102 Cho số thực dương a b thỏa mãn a + b = a + b = a + b Hãy tính giá trị 2014 2015 biểu thức P = a + b Lời giải Trang THIỆU KHẮC ĐẠT THCS LƯƠNG NGOẠI 100 Ta có: a +b 100 =a 101 +b 101 ⇒a 100 −a 101 =b 101 −b 100 ⇒a 100 101 101 102 102 101 102 102 101 ⇒ a Lại có: a + b = a + b ⇒ a − a = b − b ( − a ) = b ( b − 1) ( 5) 101 Từ ( 5) ( 6) 100 ( − a ) = b101 ( b − 1) ( ) ⇒ a101 ( − a ) = a.a100 ( − a ) = ab100 ( b − 1) ⇒ ab100 ( b − 1) = b101 ( b − 1) ⇒ ab100 ( b − 1) − b101 ( b − 1) = ⇒ b100 ( b − 1) ( a − b ) = b − = b = ⇒ ⇒ a − b = a = b Mà b số thực dương 100 • Trường hợp 1: Nếu b = ⇒ b − = ⇒ a ( − a ) = ⇒ − a = (vì a > ) ⇒ a = 100 101 100 101 • Trường hợp 2: Nếu a = b ⇒ 2a = 2a ⇒ a = a ⇒ a = (vì a > ) Do đó: a = b = Vậy P = + = = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang ... ÷ ×5 +  ÷ :  ÷ 5   16    16 A= = 27. 52 + 29 27. 52 + 512 36 212 × 6 26 ( + 33 ) 26.29 A = 22 32 = + 2 ( + ) 27 ( 25 + ) = 27. 29 = 27. 29 = 27 + x + 16 + 16 18 = = =2 9 b Ta có: x − =... ⇒ x − y + z + 50 =2 ⇒ x − y + z + 50 = 36 ⇒ x − y + z = −14 ⇒ x − y + z + 2021 = 20 07 18 Vậy x − y + z + 2021 = 20 07 c Với x , y , z , t số tự nhiên Ta có: x x y y x y x y x+ y < < ⇒ + < +... − = ⇒ 2n = ⇒ n = 7n − Vậy với n = phân số 2n − có giá trị lớn Bài 3: a Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống b Tìm số nguyên dương n số nguyên tố p cho p= n (